6.4.1正余弦定理（学案）

正余弦定理（学案）知识自测一.解三角形的概念一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其A,B,C m b,他元素的过程叫做解三角形.二.余弦定理定义三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

1.

2.公式HjF+zbccos22=a+-2〃CCOS8,c2=4+/2abcosC.序+，一〃g2+c2—Z2g2+Z2—c

22.公式变形3cos A—2bc~；cosB=~豆~；cos C=lah~.使用条件

①两边一角求边

②三边求角黄（三边一角）三.正弦定理（大边对大角）4定义在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等L2・公式熹=*=舟=2R（该比值为该三角形外接圆的直径.）—sin A—sin—sin LD.使用条件

①两角一边求边或角

②两边一对应角求角

3.正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为〃，外接圆半径为正弦定理有如下变形:4b,c,R,（角化边）sin C=^.2sin A=l〃=2/sinA,b=2RsinB,c=2Rsin C边化角3b:c=sin AI sin B*sin C.a_____b_____c________a+-+c________⑷sin sinsin Lsin A+sin3+sin C~四.三角形的面积公式

1.在△ABC中，边3C,CA,上的高分别记为心，心,%则知识简用=^Clha=~^bhb=题型一余弦定理C=；〃csin B=^bcsin A.【例1-1】（

2022.广东）在一ABC中，角A,B,所对的边分别为，b,c,若〃=逐，c=2,

2..则人等于cos A=—,【答案】39Q【解析】根据余弦定理得即亦即从人一二，解得/=b2+c2—2ACCOSA,5=+4_2XAX2XQ,或八一;（舍去）h=3【例1-2］（2022•河北）在ABC中，若〃=7/=8,sinC=上叵，则=.【答案】或3VIT7【解析】因为是三角形的内角，且当，所以土加一土］哈）=±*C sinc=cosC=sirC=j—1313当cosC=-；n寸，由余弦定理得/=/+6—2C°SC=72+82—2x7x8x1=9,则c=3141413____________________41同理，当-五时，得=同故答案为或忻.cosC=7:3【例1-3］（2022•江西）在_ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c,若b=c=2a,则cosB等于（）11-11A.-B.—C.—D.—8432【答案】BZ72+「2—/72CT+4〃2—4〃1【解析】因为人=c=2〃，所以cos5h+J一的=L故选B2ac2〃x24【例1-4］（

2022.上海）在ABC中，角ABC所对边分别是？力？，a2^b2-ab=c2,则=【解析】cr-^b1-ab=r,cosC=----------------0C7C,lab2【答案】jr【例1-5］（

2022.湖南）在ABC中，内角A,B,所对的边分别为mb,c.若改=8,〃+=7,3=7,则〃二.【答案】57T【解析】由题知ac=8,a+c=7,3=Q,由余弦定理2=〃+/-2QCCOSB,可得人2=/+C2—4C=（Q+C）2_3QC=72—3x8=25,则b=

5.故答案为

5.题型二正弦定理角的对边分别为，若也，A,B,b,c,sinA=g,a=2【彳列2-1[（2022•青海）在ABC中,V rV20・当L■-----------B.22b=3,PIO sinB=.【答案】B1【解析】因为sinA=g,[=2后，b=3,由正弦定理三3sin A3二得一.故选:nBA_4_aB.【例2-2]（

2020.河北）在43C中，已知A=60,Q=2G/=2,则3=A.30或150B.60C.30D.60或120【答案】C,=百/=由正弦定理有——-=——-,A=6022,sin A【解析】因为在中,.ABCsin BbsinA2xsin60所以sinB解得3=30或150，又因为〃可得4＞夕所以不符合题意，舍去.可得，故错误.3=1506=3A,B,D故选C.走,则角的值是（）b=A3A.15B.75C.105D.15或75【答案】D272X—■…一l-csin B【解析】3=45,c=2，b=上，・SinC=——-3b4G—2亍0C180,・・・=60°或120,・•・A=180—3—C=15或

75.故选D【例2-4].（2022•黑龙江）在ABC中，45=2,3=120,A=30，贝lj ABC外接圆的半径为（）当B.C.2D.4【例2-3】（2022・湖北）在ABC中，若3=45，c=2近,【答案】可得=，由正弦定理得一外接圆的半径C30ABC【解析】因为,,43=2,4=303=12，皿R=

2.2sin C故选c.题型三面积公式TT【例3-1】（

2022.上海崇明）在ABC中，a=2,b=l,C=-那么ABC的面积等于9【答案】B2【解析】由三角形面积公式得为如=葭义心坐=坐.故答案为S32B22222【例3-2］.（

2022.重庆）在A3C中，三个内角A3,C的对边分别是a,c,若=3,c=4,3则此三角形的面积为cosA=-,J24【答案】3/-----------4【解析】因为〃=3,c=4,cosA=-且4£（0,兀）可得sinA=Jl—cos A=—,1142424所以=不*二飞-，故答案为—乙乙S=5csin43*4*1J JJABC【例3-3］（2022•湖南）在.ABC中，a,Ac分别为A,8,C的对边，A=60°,=1,这个三角形的面积为6，则”【答案】V13【解析】依题意S=，Z7csinA=Lxlxcsin60°=逝，解得=4,由余弦定理得22=屈.=712+42-2xlx4cos60°6Z【例3-4］（2022•霍邱县）在.一A8C中，已知=1,3=45，若.一A6c的面积S=2,贝U.ABC的外接圆直径为_________________【答案】逝5【解析】•.S ABC=—〃csin3,Q=l,5=45°,「・一csin45°=2,得C=4A/5;所以由余弦定理可得从=c2-26ZCCOS8=1+32-8=25，则5=5；+因此，由正弦定理可得，△46的外接圆直径为27=）—=5五.sinB题型四边角互换【例4-1］（2022•山东）在乂BC中，，b,分别为内角A,B,的对边，若空4=罕，则3=_a bTT【答案】V4【解析】由正弦定理可得小=半=二0,则sin3=cosB,tanB=l,又3£（0,句，则8=

1.abb4【例4-2］（2022•广东）在中角A、B、C的对边分别为、b、c,且满足后cos A=osin3,角【答案】y【解析】可得石I h\/3/cos A=a sinB,sin SeosA=sin AsinB,因为8£O,7i,・・.sin3wO,故6cosA=sinA,/4e0,71,.sin/1^0,则「.,故答案为—tan A=G,A=j33【例4-3]2022•北京已知锐角A5C的内角A氏C的对边分别为也〜若8〃=2戾inB+C,则8=【答案】5【解析】在锐角「,中，因为从所以由正弦定理可得ABC a=2inB+C,Gsin A=2sinBsinB+C=2sinBsin A,因为所以正，因为所以故答案为£.sinA0,sin5=B=2I2J33【例•山东东营在.中，则角是4-4]2022ABC a=bcosC+csinB,8【答案】v4【解析】由根据正弦定理得即Q=AosC+csinB,sinA=sinBcosC+sinCsinB,sin5+C=sinBcosC+sin Ccos B=sin Bcos C+sin CsinBrr化简得即sin CeosB=sin CsinB,tanB=L;B e0,7i,.\B=—【例4-5]2022•江苏在ABC中，内角A

3、的对边分别为，瓦，若则角的大小为.V2cosC6zcosB+/coSi4+c=0,C兀3【答案】一4【解析】V2cos C6/cos B+b cosA+c=0由正弦定理有V2cosCsin AcosB+sin BcosA+sin C=0・•.V2cosCsinA+8+sinC=

0.・.V2cosCsinC+sinC=0C£0㈤力而

0.・.逝85+1=

0.・.3=一半...=一故答案为口.244【例新疆已知、、分别为一的内角、、所对的边，若满足4-6]2022a bc ABCA Ba+〃一C、・Q+〃+C、=Q〃，则角的大小为【答案】120°【解析】由（Q+b—c）（Q+〃+c）=Qb,则//—2=—他所以cosC=矿+j-」,2ab2则—；,又㈤所以=.cosC=C«0120【例4-7］（2022•全国•高一课时练习）在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,若+/卜则的值为an3=6ac,5【答案】:或年【解析】根据余弦定理可知代入（）可得/+02—6=2accos3,4+°2—/tan3=J5ajlac cosB-S^n=\/3ac,B|J sinB=—,因为8%，所以3=工或8=4cosB233。