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第课时余弦定理精讲1目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究题型已知三边解三角形1:题型已知两边及一角解三角形题型判断三23角形的形状
三、高考模拟题体验
一、必备知识分层透析三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方余、弦ro6=定lea理br-c22leaco%B+a-£+炉一2c公式使用专三边求角「两肥222C COBc=a+A—lab角求边•e’‘一.的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍知识点余弦定理L余弦定理的描述1
①文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言在中，内角所对的边分别是则AABC AB,C,,4c,a2=b2+c2-A;2/ccosb2=a2+c2-2ac Bcosc2=a2+b2-labcos C余弦定理的推论
2.b2+c2-a1A=；---------cos2bca2+c2-b2「B=；---------cos2ac各边增加可得三边长为+L此时+为三边中最长的边，故所对的角是新三角形的最大角，不妨设新三角形最大角为1a,_（〃+_（5+1）2+（C+I）1）2_2（/;+C-^Z）+l iWCOS OL—=«（）（））（）2b+l c+l20+l c+l由于，为三角形的三条边，故人+＞，b,c.\cosa＞0,又a£（0,兀）\a为锐角，因为新三角形的最大角为锐角，故新三角形是锐角三角形.故选A例题
4.（2022•高一课时练习）在ABC中，cos2f=^（分别为角A民的对边），贝！I ABC一22c定是（）等边三角形直角三角形钝角三角形等腰直角三角形A.B.C.D.【答案】B【详解】•・,腐与=£,・・.2腐与=,BP1+COSB=—,根据余弦定理可得22c2c c22f9l+〃+-J”整理得由勾股定理知，ABC为直角三角形.2ac c故选B
5.（2022秋•辽宁葫芦岛・高一校联考阶段练习）若三角形的三边长度分别为2,2021,2022,则该三角形的形状是（）直角三角形钝角三角形锐角三角形不能确定A.B.C.D.【答案】B【详解】由题意知长度为的边所对的角最大，其余弦值22+20212-202级=4-4043＜,20222x2x20212x2x2021则长度为的边所对的角为钝角，故该三角形为钝角三角形，2022故选B同类题型演练
1.（2022秋•甘肃酒泉・高一统考期末）在JLBC中，角A,B,的对边分别为防b,c,若人=2CCQSA,则一ABC的形状是（）等腰三角形锐角三角形直角三角形等腰或直角三角形A.B.C.D.【答案】A【详解】由余弦定理及〃=得，2ccosA卜22_2，整理得b=2c,2bc即为等腰三角形.=C,ABC故选A.
2.（2022秋・江苏淮安・高一统考期末）在中，a,b,c分别是角A,B,的对边，若=ccosB,则/WC的形状（）锐角三角形直角三角形钝角三角形不能确定A.B.C.D.【答案】B【详解】因为Q=CCOS3,cosB=「+H,2ac所以+C2一,整理得〃+〃二4=C.,2,2ac所以三角形的形状是直角三角形.故选B
3.（2022秋・陕西安康•高一校联考期末）在ABC中，角A、B、C成等差数列，其对、b、满足2^=3ac,则时（）A3C等腰三角形直角三角形等腰直角三角形正三角形A.B.C.D.【答案】B77【详解】角4B、C成等差数列，贝ljA+B+C=3B”，B=-,3由余弦定理〃2=a24-c2—2QCCOSB,所以不=+c~—，解得〃或=2c a=2JTQ=2C代入2〃=3ac得，h2=3c2,所以/=2+，，A=—,元1同理时，Q=^C C=—,所以是直角三角形.ABC故选B.
4.（2022秋,宁夏石嘴山•高一平罗中学校考期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、b、c,若-=2cos2-,则△ABC是（）a2等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形A.B.C.D.【答案】C・、、/▼I―R/R Q+b c1+cos C口c b-【详解】由题思，可得---即一==2x---,cosCa2a因为』=/+2_2,所以/=〃+，，即A=90，故△ABC是直角三角形a2ab故选c
5.（2022,高一课时练习）在△ABC中，角A,B,的对边分别为m b,c,若垩^上坨,则该三角cosB a形一定是（）直角三角形等腰三角形等腰直角三角形等边三角形A.B.C.D.【答案】AacosA=bcosB,由余弦定理可得/+，2-1,ax2bc2ac整理可得a2[b2+c2-a2=b2a2+c2-b2,
①」=夜，a・•./=2〃,
②由
①②得2=
3.2=/+/,・•.该三角形是直角三角形.故选A
三、高考模拟题体验•江苏盐城•模拟预测在中，内角的对边分别是
1.20226ABe A,B,C mAc,a+csin A-sin C+/sin B=6z sin B,b+2a=4,CA=3CD-2CB，则线段C长度的最小值为A.2B.C.3D.33【答案】D【详解】解由m+csinA-sinC+〃sin3=asinB及正弦定理，得Q+CQ—c+〃2=ab,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得，cosC/U2•.・C£0,〃，・•・C=f.lab2312由C4=3CO—2C3，CD=-CA+-CB,21442两边平方，%CD=-CA^-CA CB^-CB99914429o即CO=—/+—/+—cos999=—b2+—6z2+—ab=—/+2^2--ab9999V
79、匕+122—Z+26Z--2〃9V9h=2a a—\21,4当且仅当,即片时取等号，即8受S+24-+=24，线段长度的最小值为拽.3故选D.IT（•河南•马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，在中，
2.2022ABC ZB=-,BC=4,An中点，则当喂取最大值时，乐ZlCz【答案】6+277AB2+BD2-2ABBDcosB_X^22~2x2cos^An2x~—2x+【详解】解设令小=AB=x,AC4AB2+BC2-2AB BC-cosB兀^2-4x+160十X4—Z•X•4•COS——3・•.Q-1/—4，—2X+I6r—4=0,A=4z-22-4r-l16r-4=-48r2+64/-
120.・•・12产一⑹+30,解得4-近，/J+近的最大值为一,即然取得最大值,此时『+则上述方程的解％=2t-\万A=-4864,-12=0,=6+2故答案为6+2«.
3.（2022・河南开封・统考一模）已知点A（l,0）,8（2,2）,为》轴上一点，若/雨=；,则3・4=24【答案】5【详解】设CQy）,所以AB=72-12+2-02=75,“|=J0-1+y—02=后了，因为/区4=；,所以由余弦定理得忸C「=2+2AB AC|-2|AB||AC|COS^,即—血逐解得所以y2_4y+8=5+l+y2X=3,0,3,所以A8=l,2,AC=-1,3,所以A3・4C=lx—l+2x3=5,故答案为
54.（2022・天津・统考高考真题）在45中，角
43、的对边分别为，4c已知〃=/=2c,cosA=-,4（）求的值;1c⑵求的值;sinB⑶求的值.sin2A—B【答案】⑴=1⑵sin5=®4⑶sin2A—8=巫8【详解】1因为/=〃+;2—2bccos A,B|J6=Z2+c2+—bc,而/=2c,代入得6=4c+/+/,解得:2
（2）由
（1）可求出匕=2,而04兀，所以sinA=Ji^嬴7=史，又三=3,所以4sin A sin B好一
9./sin AX4V
10.sin B=--------=----f—=-------43因为cos A=所以故087，又sin A=Jl—cos A=,所以工，而巫，所以!运二—巫，cos2A=2cos2A-l=2x--1sinB=84sin2A=2sin Acos A=2x164224cos B-V1-sin2B-4V67MM故sin2A-B=sin2Acos B-cos2Asin B=-----1-X-----=-------
48485.（2022・四川广安・广安二中校考模拟预测）在MC中，角A5C所对的边分别为〃，b,，，已知b=2,且历=C=4,/72+/+2⑴求的面积;ABC⑵若是线段的中点，求的长.【答案】⑴2G273【详解】⑴因为〃+2+历=4，所以/+/—/=—儿,在中由余弦定理得8sA=£匚=青=-；因为4«0,兀），所以与，又A=b=2,c=4,故ABC的面积=Ocsin A=x2x4xsin曰=
26.乙乙J
（2）因为是线段BC的中点，所以AO=g（AB+AC）,则AO=；（A32+2A3・AC+AC2+2A3AC cosZBAC+AC2\=-\c2+2c/cos—+b2413ii A=—x42-2X4X2X-+22=3,4I2所以即的长为|AO|=g,AO—HcosC2ab知识点2解三角形
（1）解三角形一般地,三角形的三个角和它们的对边AB,C a,b,c.
（2）余弦定理在解三角形中的应用
①已知三角形的三边解三角形连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.
②已知两边和它们的夹角解三角形用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.
③已知两边及其中一边的对角解三角形例如已知〃涉及角可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程A,c_（2/COS4）0+（〃=0,根据解一元二次方程的方法,求边J然后应用余弦定理和三角形内角和定理，求出其他两个角.
二、重点题型分类研究题型已知三边解三角形1:典型例题例题（•全国•高三专题练习）在中，角氏所对的边分别为若（〃+与L2023ABC A2-71A.6则=（）C.【答案】C【详解】由a+b2得，^z2+/2-c2=-ab,由余弦定理得cosC=+—=3=-,2ab2ah2O77-因为£（0,»）,所以=干.故选C例题
2.（2023•全国•高三专题练习）在AABC中，角的对边分别为=2,b=3,c=4,设边上的高为则=（）8C/z,V15VTT亚八屈33Rr2248【答案】D.h2-^c2-a29+16-4217cosA=--------------=------------=——=—【详叵3V15则h-ACsinA=hsinA-3x~s~82bc2x3x
4248.*=2,故选D.则=yj\-cos2A=例题
3.（2022春•陕西汉中•高二校考期中）已知ABC的三边之比为3:5:7,则最大角为（）兀兀「兀口兀.2C357A.—B.—C.—D.—34612【答案】A【详解】不妨设的三边满足因为的三边之比为故可设则=ABC ABC3:5:7,a=3x,5x,c=7x,由中最大边所对的角最大，可得的最大内角为由余弦定理可得ABC A5C/C,c a2+Z72-c19X2+25X2-49X21▼小\rrhl2兀日1一人42兀=一一，又/£（町所以/=丁，故最大角为:cosC=---------------=------------------------0,2ab2x3xx5x233故选A.例题
4.（2022春•陕西渭南•高二白水县白水中学校考阶段练习）在ABC中，若则的度数为（）AB=6-1,BC=\,AC=®3A.30B.45C.60D.120【答案】C【详角年】因为=石一431,50=6+1,AC=#,用尸—向笈+G-12+1J4BC-AC2所以由余弦定理得cos8=2AB-BC2xV3-lxV3+l~2因为,05180所以,故选3=60C同类题型演练
1.（2023,全国•高三专题练习）△ABC的内角人民C的对边分别为a/\c,若e4,b=3,c=2,则中线AO的长为（）好巫A.V5B.V10C.D.22【答案】D【详解】如图，由余弦定理得不=4D42+QB2—2D
4.DBcosN ADB,AC2-DA2+DC2—2DA DCcosZ.ADC,又cosZ ADB=—cosZ ADC两式相加得AB2+AC2=1DA2+DB2+DC2,即22+32=2£A2+22+22,・•・2DA2=5,2故选D（•全国•高三专题练习）在△中，角、、的对边分别为、、若则角的
2.2023ABC AB Cb c,2+2/2=635值为【答案】A【详解】由余弦定理和及已知条件得2accos8=c,所以，乂乃，cos B=—0B2所以故选3=2,A.o
3.（2022秋・浙江丽水•高一校考阶段练习）在ABC中，=71=46,G=如，则45c的最小角为（）71A.-兀B.71C.713一一D.4612【答案】C【详解】由已知，在中，ABC a=7,b=4^/3,c=,所以;小女士cosC49+48-13_62ab2x7x4g-2因为所以的最小角为SBC C,又因为（兀）,Ce O,所以C=£.6故选C.
4.（2022・高一课时练习）在ABC中，a:b:c=3:2:4,则cosC的值为（）【答案】C【详解】解因为Q2:C=3:2:4,加_32+22-42a2+h2-c2由余弦定理可得cos C=lab2-37-2m所以设Q=3m,b=2m,c=4m,zvi0,故选C.题型已知两边及一角解三角形2典型例题例题（春•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习）一的内角氏的对边分别
1.2022ABC A是a,b,c,已知=31=2,cosC=；,贝!|c等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【详解】解因为；Q=3,/=2,COSC=又余弦定理得•/所以2=2+/_2cosc=9+4—2x3x2x=9,=
3.7故选B.例题（春•陕西西安•高二校联考期中）在中，角所对的边分别为〃也，若且，
2.2022A5C AdCsin A=2贝！|〃二（）b=3,c=5,或A.7B.Ji C.7M D.19【答案】C【详解】Ae（0,7i）,而4=走，小=^或胃；当4=工时，6Z2=/72+C2-2Zc cos A=34-30cos-=19,解得〃=M；33冗27r2当人=一时，2=^-^€2-2/ccos A=34-30cos—=49,解得a=
7.a33综上所述=或7故选c.例题春•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习在中，内角民所对的边分别是〃,
3.2022A5C4J已知b,=2,c=5cosB=—.9求的值；1b求的值；2sin C兀、⑶求sin2B--.【答案】ib=VT7⑵亚1724+7CJ1~50【详解】由余弦定理匕得12=/+/—2GCCOS5,庐=4+25-2x2x5x3=17,5所以z=VI73在中，因为二,2ABC cosB=4所以sin3=Vl-cos2B5由正弦定理一勺二一—sm B sin C,得V17_54sin5所以sin C=WiZ173由32cosB,sinB=-5o7所以COS23=2COS2B-\=2X----------1=------25253424sin23=2cos BsinB=2x—x—=2555兀7T所以sin2B--7\31=siVn32B_2co4s+—7—/3cos ZBsin241=——x---一25JXT~-50~252例题春•天津西青•高三天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习在中，内角人民
4.2022AABC的对边分别是b,c,h=2/7,c=2,B=^.⑴求；⑵求sin A•求的值.3sin3+2A【答案】⑴6通214⑶.竽1,由余弦定理得从=+，片—解得〃-2QCCOSB2Q—24=a—6Q+4==
6.26_b_______6_277・3/3_3V2l由上弦定理得sinA sinBsin A732771413扇2_228+4-36_28+4—36V7由余弦定理得cosA=--------------2X2A/7X22x2A/7X2142bc3d2]373sin2A-2sin AcosA=2x--------xI14可，14J13cos2A=14所以sinB+2A=sin Bcos2A+cos Bsin2A47313G]~+—x-214I Jr同类题型演练则边8c的长为春•安徽合肥•高二校考学业考试在中，L2022ABC AB=1,AC=6ZB=60A.1B.V2C.2D.2A/3【答案】C【详解】解在一中，ABC AB=1,AC=C,NB=60,由余弦定理=2+2_2A8・BC•cos3,AB BCg|J V32=12+BC2-2xlx BCxl,解得或=一（舍去）.3c=281故选C
2.（2022・陕西西安・统考模拟预测）已知△A3C的内角A,B,C的对边分别为，b,c,若a=4,b，3=120，则△ABC的面积为【答案】46【详解】由已知及余弦定理可得〃=片+/，_2accosB=48=16+c2+4故解得或=一舍02+4c—32=0,c=48—6fcsinB=—x4x4x故答案为4G
133.（222春・陕西宝鸡・高二虢镇中学校考阶段练习）在中，若曲8,，=7,cosC=-,则最大角的余弦值是13【详解】:在中，«=8,Z,=7,cosC=-二由余弦定理得c2=tz24-/72-2^cosC=64+49-104=9,即c=3,h2^c2-a249+9-64则cosA2hc42・•・最大内角为A,故答案为-亍知b=2,cos C=-.
44.（2022春・陕西宝鸡・高二虢镇中学校考期中）在△A5C中，内角A,B,所对的边分别是m b,c,B（）求的值;1求2sinA.【答案】⑴2⑵姮8【详解】
（1）由余弦定理可得C2=2C°SC,即C2=1+4-2xlx2x；=4,解得c=2,且兀,2,/cosC=—0,OvCv41_2由正弦定理一得/万=布,j=—J sinAsinC4题型判断三角形的形状3典型例题例题L（2022春•北京•高三北京市八一中学校考阶段练习）在，48中，角ASC的对比分别为，仇满足c=〃・cos5,则3ABe一定是（）等腰三角形等边三角形A.B.直角三角形等腰直角三角形C.D.【答案】C［详解1由c-a cosBn c-a-————c2+b2-er lac所以为直角三角形.‘ABC故选Ch例题
2.（2022秋•山东滨州•高一统考期末）在ABC中，若cos=二，则此三角形一定是（）2a等腰三角形直角三角形A.B.等腰直角三角形既非等腰三角形也非直角三角形C.D.【答案】A2，2【详解】由余弦定理，+j」,即/+一，=/，即故此三角形一定是等腰三角cosC=2=c,2ab2a形故选A例题
3.（2022春・陕西咸阳-高二统考期中）将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（）锐角三角形直角三角形A.B.钝角三角形由增加的长度确定的C.D.【答案】A【详解】由题意，不妨设为直角三角形的斜边，故〃=/+°2,。
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