7.1角与弧度（解析版）

角与弧度§

7.1去一维练基础题型一找出终边相同的角,设集合加=卜.+入卜则集合,的关系为1•

1.1804527V=Lx=^.18004-45°,Z:eZ,NA.M cN=0B.M\]NC.N口MD.M DN=M【答案】B【点拨】两个集合分别用列举法表示即可求解.【详解】由于加=（工工=^・180+45/£21=,-45°,45°,135°,225°,N=卜x=・180+45,%£Z卜{,—45,0°,45°,90,135,},所以MUN,180°,225°,故选B.

2.若2=攵・360+8,B=m.3o-e（k,m0,则角与角夕的终边一定（）重合关于原点对称A.B.关于轴对称关于轴对称C.x D.y【答案】C【点拨】根据角与角-的终边关于轴对称即可得解.e1【详解】解因为角与角的终边关于轴对称，所以角与角夕的终边一定也关于轴对称.故选x xC与终边相同的角是（）

3.2022A.-488°B.-148℃.142°D.222°【答案】D【点拨】与二终边相同的角可表示为二+»匕2ZcZ.【详解】•/2022=5x360°+222°,，与终边相同的角是2022°222°.故选D已知口则下列四个角中与角终边相同的是（）

4.=30,A.390B.210C.150D.330其终边所在的区域如图中阴影部分所示（不含边界）.（）因为向+归所以—224,62,（（万）（JI\37t所以2k—,2%万+万c[—6,2],k GZ,所以--------------------------一，2兀〜、一兀12J\27^2已知角

10.a=-920°.⑴把角a写成2版+夕（0学V2TT,止Z）的形式，并确定角a所在的象限;

（2）若角？与a的终边相同，且六（-4乃，-3%），求角.QJJ-【答案】（l）a=（-3）x2»+等；角是第二象限角；

（2）7=-等.99【点拨】

（1）化角度制为弧度制，可得=-920=（-3）义2%+,.再由号是第二象限角得答案;

（2）由角y与a的终边相同，y=2k/r+（Z£Z）.结合（-47，-3乃）即可求得了的值.9得【详解】（）=l Va=-920-3x360°+160°,160°=——,8%.\a=-920°=（-3）x2〃+一.9;角与三终边相同，，角是第二象限角；a（）;角？与的终边相同，2Q•二设7=2%〃+—（攵£Z）.（乃）,VyE-4%,-3乃攵乃可倚---|i|-42H V—37r k-------99918kH,.k=-

2.又,万..8/r

28..y=-4%+—=---------.99江三维练素养.设圆的半径为点为圆周上给定一点，如图，放置边长为的正方形（实线所示，正方形的顶12,P2A8CQ点与点重合，点在圆周上）.现将正方形沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点首次回到A3ABC A点的位置时，点所走过的路径的长度为（）A7【答案】B【点拨】作出示意图，分析可知当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次，计算出点每A P312A次滚动时点所走过的路程，即可得解.A【详解】由图可知，圆的半径为厂正方形的边长为==2,A3CO2,n以正方形的边为弦所对的圆心角为（，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示,当点首次回到点的位置时，正方形滚动了圈，共次,A P312V2设第次滚动时，点的路程为叫.，则肛同=£,i A=—x AC=----7163~6,因此，点A所走过的路程为3（班+牡+加#阿卜0+血卜.故选B.硕山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来.如图梨花广场的标志性建筑就是根据梨花

2.1,的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图为其中的一2个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R,弦长为0R,则一个“花瓣”的面积为（）A.曰NB.巴2R222C.个HD.（7T-1）72【答案】B【点拨】利用扇形面积公式和三角形面积公式求弓形面积，由此可得结果.【详解】因为弓形的圆弧所在圆的半径为R,弦长为0H，TT所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为］，所以弓形的面积5=!乂/2一12,/427T—7所以一个“花瓣”的面积为干心，故选B..《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为3弧田面积=；（弦x矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于QJJ.半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为彳，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧4田面积约是（）（6~

1.73）平方米平方米平方米平方米A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】根据已知求出矢弦=再利用已知公式求解.=2,2AD=46,8【详解】由题意可得/AOBH*0A=%43在中，可得RtAOD ZAOD=-,ZDAO=~,OD=-AO=-x4=293622可得矢=4—2=2,由AD=AO^sm-=4x—=2^,32可得弦=24=46，所以弧田面积=；（弦矢+矢）（）百+平方米.x2=J4Gx2+22=429故选B（多选题）下列结论中不正确的是（）

4.A.终边经过点（,一）（彳0）的角的集合是{a=一+左耳攵ez}将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数是B.10（y若是第一象限角，则券是第一象限角，为第一或第二象限角C.a2aD.M={X|X=45O+Z・90°,Z£Z},N={y|y=90+%・45,左wZ},则MqN【答案】BC【点拨】根据角的终边位置判断根据角的定义判断利用特殊值判断根据集合间的包含关系判断A,B,C,D.【详解】对于选项A终边经过点）

（0）的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是\71,正确；\cc a=--二+I4对于选项B将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一,则分针转过的角的弧度数是-错误；ry n对于选项C若a=4002-200,不不是第一象限角，错误；乙乙对于选项D用=卜归=45+攵・90#£2}=3%=（2攵+1）、45ZcZ},而（2攵+1）x45,丘Z表示45的奇数倍,而左+表示的整数倍,所以N={y|y=90°+Ax45°,%£Z}={y|y=k+2x45,AcZ},2x45,45正确.MqN,

5.（多选题）下列命题中正确的是（）故选BC（y若角夕是第三象限角，则可能在第三象限A.3■1C.（315兀兀B.cos-----a+cosD.2若＜且＞则为第二象限角锐角终边上一点坐标为（）则=乃—【答案】tan asiny0,P-COS2,sin2,a2ACD【点拨】运用象限角知识、诱导公式、三角函数定义等知识对四个选项进行判断.【详解】对于A,角a是第三象限角，即2k兀+兀＜a＜2匕r+二不（Z EZ）,所以一攵〃+—不＜4＜一攵；r+—乃（攵EZ）,233332当左=3〃”Z时，最为第一象限角；当Z=3〃+1”Z时，•为第三象限角；当Z=3〃+2,〃£Z时，弥为第wZOf（3兀对于运用诱导公式化简cos-a+cos+a=-sina-sina=-2sina,故3选项不正确.四象限角，故可能在第三象限正确，故选项正确.5A对于，若＜，则为第二象限角或者第四象限角，若〉则为第一象限角或者第二象限角洞时tan asina0,满足＜且＞则为第二象限角，故选项正确.tan asin0,对于，因为锐角终边上一点坐标为（）由三角函数定义可得a P-cos2,sin2,—=一〃一又因为工，所以=»-故选项正确.tan a=tan2=tan2,0a2,-cos22综上选项正确.ACQ故选已知角［的终边在直线上.则角的集合为

6.3y=0B S【答案】伊|万=60°+〃・180°7£Z}【点拨】根据终边相同的角的表示法，可以分别写出终边落在射线上的角是，终边落在射线上的角是0460，即可得答案；240【详解】如图，直线瓜过原点，倾斜角为，在范围内，终边落在射线上的角是，-y=0600〜360OA60终边落在射线上的角是，所以以射线为终边的角的集合分别为03240A,08m={£|尸=60°+攵・360°次EZ},S2={〃|£=240°+k・360°M£Z},所以，角夕的集合={/|/=60°+〃・180°,〃£Z}.故答案为:{⑶尸=60°+〃・180°,〃£Z}.（）时钟走了小时分，则时针所转过的角的度数为,分针转过的角的度数为.

7.1320（）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转到达位置，则2OA458120OC ZAOC=.【答案】-1000-12000-75°【解析】

（1）计算出指针单位时间内走过的度数一乘以时间.（）2ZAOB=45°—ZBOC=-120°—ZAOC=ZAOB+ABOC【详解】

（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转30，分针每小时转360，每分钟转

6、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即3；小时，故时针转J*过的角度数为-3!、30=-100；分针转过的角度数为-3；义360=-

1200.（）由角的定义可得（）=2NAOC=NAO3+ZBOC=45°+-120-75°.故答案为—1（X）；-1200°；-75°.已知角的终边在第四象限.

8.

（1）试分别判断2是哪个象限的角；

（2）求女的范围.【答案】

（1）券是第二或第四象限的角，2a是第三或第四象限或y轴的非正半轴的角；

（2）攵兀攵兀万）’27122-Z—（左w Z）.

（3233）【点拨】

（1）先写出的范围，再求出1和2的范围，即可求解；2

（2）由写出的范围，再求出•的范围，再判断即可.—*【详解】是第四象限的角,Q2kjrH----a2kji+2k e Z,兀273a i兀/.K7T-\--—K7T+k EZ,底42时，k=2nnZ当此时三是第二象限；2当％=2〃+l〃CZ时，此时］是第四象限；37r又+丁2k a2kjr+2k eZ兀兀此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；2a V37r攵»+手22a2k2k Z兀+兀G一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆半径为的圆的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆

9.1cm ALO时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过△角其中尸如果两只蚂蚁都在第0°180°.秒时回到点，并且在第秒时均位于第二象限.14A2求，的值.1P两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点顺时针匀速爬行，2A A♦♦••♦♦求当它们从点出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离.A【答案】侬［,£=］四［；乃1a=22cm.I7I7J5【解析】1根据题中条件，先设14a=Z・360°婕Z,144=力360°〃2£Z,再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，列出不等式求解，得出攵和〃的值，即可得出结果；0°^/180°,2先设它们从点出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，根据题中条件求出，，根据弧长的计算公式，即2A1可求出结果.【详解】由题意可得，与分都是的整数倍，11414360不妨设142=攵・360°左EZ,14/=m-360°meZ,则a=g・180°Z£Z,/=^.18O°/7teZ,790y180180keZ—9021804所以902/1807—m90--180180/neZ14又两只蚂蚁在第秒时均位于第二象限,2因为0＜a＜，＜180,所以攵〈m，所以攵=2,m=3,360,540即3~T两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点顺时针匀速爬行,2A A360540丫14则，即a+A=360t=360°,解得d设它们从点出发后第一次相遇时，所用的时间为，秒,A所以红蚂蚁爬过的角度为必=,144因为圆的半径为1cm,14404所以红蚂蚁爬过的距离为—・2〃•1=24cm.360°

510.已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为L1若a=60，R=10cm,求扇形的弧长1；已知扇形的周长为面积是求扇形的圆心角；210cm,4cm2,⑶若扇形周长为当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大20cm,a【答案】竽；=123/=10,2【点拨】根据扇形的弧长公式进行计算即可.1根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解2根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可.3【详解】la=60°=—rad,x10x..l=a-R=—^\Q=cm.2k+4=

10...ft=A.jp-r I⑵由题意得，一解得•舍去,l5a•aa=2故扇形圆心角为由已知得，3/+2R=

20.所以S=；/R=；20—2RR=10R—R2=一R—52+25,所以当R=5时，S取得最大值25,此时/=10,a=

2.【答案】A【点拨】根据终边相同的角的表示即可求解.【详解】与二=终边相同的角的集合为，,=令左得「=3030+h360°,Z£Z},=1,390;故选A.在到范围内，与终边相同的角为（）

5.0360405A.-45B.45C.135D.225【答案】B【点拨】根据终边相同角的概念判断即可；【详解】解因为所以在到范围内与终边相同的角为405=360+45,036040545;故选B题型二确定已知角所在的象限已知角则角的终边落在（）

1.=2022,第一象限第二象限第三象限第四象限A.B.C.D.【答案】C【点拨】利用象限角的定义判断可得出结论.【详解】因为々而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.=2022=222+5x360,222故选C.77r角所在的象限为（）

2.6第一象限第二象限第三象限第四象限A.B.C.D.【答案】C【点拨】根据角的终边位置可直接得到结果.【详解】•.“¥，..•角位于第三象限.626故选C.

3.给出四个命题

①《）是第四象限角；

②235是第三象限角；

③475是第二象限角；

④-315是第一象限角.其中正确的有（）个.A.IB.2C.3D.4【答案】D【点拨】根据任意角的相关知识，对每一项进行逐一判断和分析，即可选择.【详解】对

①是第四象限角，故

①正确；-60对

②＜＜，故其为第三象限角，故

②正确；180235270对

③=+，又是第二象限角，故是第二象限角，

③正确；475360115115475对

④=一+，又是第一象限角，给是第一象限角，

④正确.—3153604545-315故正确的有个.4故选D.37r若戊=-二，则”是第（）象限角.

4.4一二三四A.B.C.D.【答案】C【点拨】由终边位置可得结果.【详解】终边落在第三象限，为第三象限角.a4二-三,\故选C.

5.若二=45+Z・180（Z$Z）,则a的终边在（）第二或第三象限第一或第三象限A.B.第二或第四象限第三或第四象限C.D.【答案】B【点拨】分左为奇数和偶数讨论可得.【详解】当攵为奇数时，记左=2%+l/£Z,则a=225+〃・360（〃£2）,此时为第三象限角;当攵为偶数时，记％=2〃,〃£Z,则二=45+止360（〃仁Z）,此时为第一象限角.故选题型三角度化为弧度B的角化为弧度制的结果为（）

1.-135A371n3371c371兀cA.——B.——C.——D.2544【答案】C【点拨】根据角度和弧度的换算公式即可得到答案.兀3【详解】-135=-135x——=——7irad.1804故选c.时针经过四个小时，转过了（）

2.27rle2〃i_5i—5TIA.——rad B.---------radC.——radD.----------rad3366【答案】B【点拨】由时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为-2mad,得出时针经过四个小时旋转的弧度数.【详解】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为-2万rad,2A刀则时针经过四个小时，转过了立・（-2万）rad=-y rad.故选B.7A.--B.4C.--D.11212教室里的钟表慢了分钟6，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度？（）

3.30【答案】A【点拨】先由条件确定时针旋转的度数，再由弧度与角度的关系求对应的弧度数.【详解】将钟表校正的过程中，需要顺时针旋转时针其大小为15,-15,故时针需要旋转一立弧度,故选A.7T将化成弧度为（

4.210如A.-^B.2c.D.【答案】D【点拨】根据角度与弧度的关系求解即可.7【详解】==乃,21021021806故选D.将转化为弧度为（）5,120苧A.B.6【答案】【点拨】根据角度制与弧度制的转化公式直接转化.【详解】120O=120°X^=T故选B.题型四扇形弧长公式与面积公式的应用

1.已知某扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则该扇形的圆心角的弧度数为（）或或A.IB.4C.14D.15【答案】C【详解】解设扇形的弧长为/,半径为小所以【点拨】设扇形的弧长为/,半径为〃，解方程组求得弧长与半径，从而可得答案.解得所以圆心角的弧度数是=二=或

14.r

2.已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4,则扇形的面积为（）故选CA.IB.2C.3D.4【答案】A【点拨】由扇形的周长和面积公式求解.•囱」xlx2=l.解得〃所以扇形的面积为.产=1,2【详解】由扇形的周长公式得=尸=尸=2r+/=2r+244,

3.若某时钟的分针长4cm,则从1010至U1045,分针扫过的扇形面积为（）故选A77»28乃2一A.——cm-B・—A—兀cm2-C兀・----------------------------cm D.14〃6239【答案】C【点拨】结合分钟所对应的弧度数和扇形面积公式计算即可.12JT冗【详解】由题意得，分钟所对应的弧度数为二二右，则从到分针转过的角的弧度数为110:1010:456030713厂7〃,所以分针扫过的扇形面积为:x7xl6^c m\3—x35=-------兀30故选~6C.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图其

4.L平面图如图的扇形其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）2A03,ZAO3=120OA=2OC=6,A3A.3/rB.6TTC.9〃D.127【答案】C【点拨】根据扇形面积公式分别求出扇形扇形的面积，作差得解.A03,C1127r【详解】由题意可得扇形的面积是〃，扇形的面积是万.则扇面曲边四边AOB QXQ-X62=12c5X5x32=3形的面积是万—A3QC123»=9».故选C.已知扇形的周长为圆心角为则此扇形的弧长为

5.30cm,3rad,A.6cmB.12cmC.18cmD.24cm【答案】C【点拨】根据扇形的周长求出扇形的半径，然后可求得扇形的弧长.【详解】解由题意得.扇形的半径为小圆心角为3rad・.•扇形的周长为/=2r+3r=30cm,解得r=6cm所以扇形的弧长为6x3=18cm故选C七二维练能力已知角的终边与日的终边重合，则的终边不可能在

1.a第一象限第二象限第三象限第四象限A.B.C.D.【答案】A【点拨】首先表示角的取值，即可得到段的取值，再对攵分类讨论，即可得解.a【详解】解因为角的终边与弓的终边重合，a S77757r2所以=3+2%，keZ,所以巴keZ,3393y STTn则彳=+几双〃£此时的终边位于第二象限；令k=3nncZ,2Z,♦595a117T7令％=3〃+l〃wZ,则=詈+2〃]〃£0,此时2的终边位于第三象限；595a177r7令左=3〃+2〃wZ,则=詈+2〃乃〃£2,此时[的终边位于第四象限.395所以最的终边不可能在第一象限，—*故选A.玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.某

2.扇形玉雕壁画尺寸（单位）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）cmA.1600cm2B.3200cm2C.3350cm2D.4800cm2【答案】D【点拨】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别八16080为小弓，相同的圆心角为凡贝得又因为弓一弓，所以弓IJ8=——=—,6=20=44=80,=40,r\丫2该扇形玉雕壁画面积S=lxl60xr-ix80xr,=-xl60x80--x80x40=4800（cm2）.22-22故选D.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有

3.表现力的瞬间（如图）.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为fm,4jr5肩宽约为Jm,“弓”所在圆的半径约为m,则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据75-

1.414,84）（）6=

1.732A.

1.012mB.

1.768mC.

2.043mD.

2.945m【答案】B【点拨】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.万5【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧的长/=£+£+£=苧，其所对圆心角=ACB4-=£,4488£24则两手之间的距离|人却=2\AD\=2xjxsin jpL768（m）.故选B.

4.将一1485化成a+2Z乃（OWa2匹ZEZ）的形式是（）7T7717一兀-兀—兀一兀A.------87rB.871c.-------10D.104444【答案】D【点拨】由=或=转换.3602ad180ad77【详解】因为—=—，所以一可化成—兀兀.14855x3600+315360°=2^rad,315°=-^rad,1485-1044故选D.一个扇形的弧长为兀，面积为兀，则此扇形的圆心角为度.

5.627【答案】120njir80【详解】解设扇形的半径为小圆心角力，依题意可得njir2,=27%360r=9解得〃二【点拨】设扇形的半径为〃，圆心角为废，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可.故答案为120若是第二象限角，则一是第象限角.

6.a180【答案】一【点拨】利用象限角的定义进行求解.【详解】若是第二象限角，则上360+90aA・360+180,keZ,所以一攵・360-180-a-k-360-90，keZ,即—Z・360180-a-k-36Q+90,kwZ,所以一是第一象限角.180a故答案为:

7.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合_________【答案】｛而一）a22V a2E+^,Zez【点拨】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即0=可.7T【详解】因为=、厮7575180兀JT5结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为612\a2ht--a2lat+—,Z:eZ.I612J故答案为一4a2kji--a2kn+,Z:eZk刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证，树立了

8.中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形（如图1）,该圆（周长为L,半径为R）的面积与等腰三角形的面积相等,即等腰三角形若某图形由圆心角为,弧长为/的扇形剪去一个小扇形得到，且它们所在圆/=S a的半径差为（如图）运用这种积线成面的面积观，求该图形的面积（用表示）.d2,5=a/d【答案】Id-ad1【点拨】首先确定大扇形和小扇形的半径分别为和可根据梯形面积公式求得结果；或利用a a大扇形小扇形求得结果.S=S-S【详解】由题意知大扇形的半径为,，小扇形的半径为a a方法一梯形上底为下底为/,高为八1I\19即d=ld--ad

2.由题意可知该图形面积等于梯形面积,s=———d a+l22|_a；]2]19方法二该图形面积大扇形小扇形=-S=S—S a----d—Id—ad.2a2故答案为Id--ad

2.已知是第二象限角.

9.⑴指出崇所在的象限，并用图形表示其变化范围；（）若|+氏求的取值范围.224,a）37C（冗（【答案】⑴答案见解析；

（2）£一行，一万U-,2【点拨】

（1）由条件表示出的范围，化简可得景的范围，判断其所在象限，并作图表示；

（2）解不等式，求交集可得其结果.TT【详解】

（1）因为是第二象限角，所以2k+工2左万+乃，keZ,2所以一k H—k7i H—Z£Z.422兀9若左为偶数，则[是第一象限角；若左为奇数，则[是第三象限角.22。