word常用逻辑用语知识例题梳理

常用逻辑用语

一、知识要点梳理知识点一命题定义:

1.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.1命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.2命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题⑶命题的真假判定方式

①若要判断命题“

2.外是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断.如一定推出夕.

②若要判断命题“piq”是一个假命题，只需要找到一个反例即可注意“尸不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.逻辑联结词

2.“或、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词1不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.⑵复合命题的构成形式

①P或q；

②P且q;

③非P即命题P的否定3复合命题的真假判断

①当p、q同时为假时，“P或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

②当p、q同时为真时，“P且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”（）存在必=矽=〈至，20,n,x但二•命题（）是假命题.tan O=tan n,2（）y=是周期函数，就是它的一个周期，3|sin x|n•命题（）是真命题.・・3（）对任意x,4x°£R,+

10.0•命题（）是假命题.・・4例若命题ax—2x是真命题，则实数的取值范围是（）

16.p:V R,+1a石W—或石A.32B.d22石〉〈水C.-2D.-22解析依题意ax—2x恒成立，+4x++1即（）x a三恒成立，a+2+4%+—10所以有错误！=错误！=石

22.所以选B变式练习已知命题p:错误！;命题2〉则命题«p且是命1:3x0£R,tan Xo=:V x£R,%—x+10,q”Q题.（填“真”或“假”）解析当先=错误！时，错误！，tan x0=命题为真命题；0错误!错误！〉恒成立，+1=02—2+丁命题为真命题，・g・・且为真命题.•“0q所以填真变式练习已知命题p使命题q2的解集是{x\下列结论:

①2:3x£R,tan x=1,x—3x+201x2},命题p/\q”是真命题;

②命题“夕q”是假命题；

③命题是真命题；

④命题KJr q”是假命题，Ar“r pVq”其中正确的是（）

②③①②④A.B.

①③④①②③④C.D.解析当乂=错误!时，，命题夕为真命题.tan x=1,由得〈〈，命题为真命题.f—3x+201x2,为真，pl\f为假，「为真，「为假.g pVgpV-g所以选D

十一、综合训练典型题例设命题实数满足父一才其中〉命题实数满足错误！

17.p:x4+30,a0,g:x若石且为真，求实数的取值范围；1=1,pAg x非夕是非的充分不必要条件，求实数石的取值范围.2q解由x才得1—4ax+30石石x-3x—

0.又石所以石〈〈石，0,X3当百=时，11x3,即Q为真命题时，实数的取值范围是〈〈x1x

3.由错误！解得错误!即〈2xW3所以为真时实数的取值范围是〈x2xW

3.{1%3“=2〈求3,2xW3所以实数的取值范围是X2,

3.非是非的充分不必要条件，2q即非非「且非」非q0=0设A={x\xWa或》B=或x3a},{x I xW2x3},则存B.所以且石〉即0dW233,1GW2所以实数的取值范围是a1,2].例若函数尸=mx-\-x—m—a的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围.

18.V x£R,x xJ解析当勿时，尸与轴恒相交，所以；1=0x=x—d xa£R当时，二次函数尸勿一石的图象和轴恒有公共点的充要条件是/勿2m/0x/^+x=1+4/77M TX一恒成立，+e NO即石勿+三恒成立.4/w+410又方+加是一个关于的二次不等式，恒成立的充要条件是/=解得一44+120m4a2—16W0,1WaW1综上所述，当勿时，；=0aeR当勿石£¥=0,[—1,1].变式练习已知函数f21:x=x—2x+5o是否存在实数加，使不等式m+尸对于任意恒成立，并说明理由.1x0xGR若存在一个实数不，使不等式加一汽即成立，求实数勿的取值范围.20解析不等式尸可化为m—尸1x0x,即m—x2+2%—5=—x-1—

4.要使m一2对于任意恒成立，x—1—4R只需加一即可.4故存在实数勿，使不等式用■尸对于任意恒成立，此时只需一x0x£R m4若m-f〉2X0,/.m fxo.误！一升+—V fx25=Xo12+4240m

4.变式练习已知命题函数一才在[―上单调递增.关于的不等式〃20:y=x2+23ax+/—22,+8q x一+解集为若八°假，真，求实数的取值范围.10R a解析，.,函数卜=乂才一432+2a x+a—2a{a—a]2-a,在上单调递增，=[x+[—2,+°°二•一才—d W—2,即a—a解得aW或—220,—1a

22.即p或石dW—122由不等式ax—ax-\-的解集为得错误!，10R即错误！解得0WaV4:.q;0WV4■:pq鼠真.,pVg:p与—真一假^・q，夕真假或「假真，q或{zW—1/、或错误！a〈或石024二•或或aW—10WaV2所以实数的取值范围是d-8,-1]U[0,2U[4,+

8.

③“非P”与P的真假相反.注意1逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立可以类比于集合中“XW工或XCE”.2“或”、“且”联结的命题的否定形式“p或q”的否定是“「p且「q”；“p且q”的否定是“「p或一1q”3对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论知识点二四种命题四种命题的形式:

1.用P和q分别表示原命题的条件和结论，用「p和「q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为:原命题若p则q;逆命题若q则p;四种命题的关系2o否命题若「p则「q;逆否命题若「q则」p.逆命题若我UPI否逆否命题若

①原命题=逆否命题它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一

②逆命题=否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除

①、

②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性,命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定.知识点三充分条件与必要条件定义1o对于“若P则q”形式的命题

①若p=q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若p=q,但q*p,则p是q的充分不必要条件，q是P的必要不充分条件;

③若既有p=q,又有q=p,记作p=q,则p是q的充分必要条件充要条件.理解认知2o1在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论,再用结论推条件，最后进行判断⑵充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据“当且仅当”“有且仅有”.“必须且只须““等价于”“…反过来也成立等均为充要条件的同义词语.判断命题充要条件的三种方法

3.1定义法2等价法由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用＜与-3=-工；3n工与一工=-3；工与-3=仆力的等价关系，对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般运用等价法.3利用集合间的包含关系判断，比如A=B可判断为A=B;A=B可判断为AnB,且B=A,即A0B如图=xej4nxwB,且＜是xeB的充分不必要条件“工=“xw工QxeB”=xw＜是xwB的充分必要条件知识点四全称量词与存在量词全称量词与存在量词

1.全称量词及表示表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“V”表示，读作“对任意”含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有px成立”可表示为其中为给定的集合,p x是关于x的命题.MII存在量词及表示表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一个”，“存在一个”，，，至少有一个,“有点，“有些”等，通常用符号“手表示，读作“存在含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x,使p x成立”可表示为,其中M为给定的集合,px是关于x的命题对含有一个量词的命题进行否定

2.对含有一个量词的全称命题的否定I全称命题他的否定全称命题的否定是特称命题p/II对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p*wMp（x）,他的否定/特称命题的否定是全称命题.注意

（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）.

（2）一些常见的词的否定:正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个规律方法指导

1.解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.2o要注意区分命题的否定与否命题

3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解.

4.处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.5o特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用.

三、典型例题

一、题型一命题、真命题、假命题的判断例下列语句是命题的是（）

1.1:梯形是四边形作直线A.B.48是整数今天会下雪吗C.X D.解:A、例下列说法正确的是（）

22.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”A.语句“最高气温时我就开空调”不是命题B.30°C命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题C.语句“当时，方程有实根是假命题D.a4x2—4x+a=0解析对于改写成“若.则的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等;A,q”所给语句是命题；的反例可以是“用边长为的等边三角形与底边为腰为的等腰三角B C33,2形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.变式练习下列命题是真命题的是（）｛｝是空集｛｝是无限集A.B.x£N||x-1|3是有理数的根是自然数C.n D.5x=0解析选的根为均为自然数.D5x=0x=0,X2=5,

二、题型二复合命题的结构例将下列命题改写成“若则的形式，并判断命题的真假30,g”是和的公约数；161218当时，方程石有两个不等实根；2e—1x+2x—1=0已知、为非零自然数，当时，x=

2.3x pp—x=2y=4,解析若一个数是则它是和的公约数，是真命题.16,1218若〉一则方程有两个不等实根，是假命题.2a1,dx+2x—1=0因为当a=0时，方程变为此时只有一个实根=错误!.2x—1=0,已知、为非零自然数，若则是假命题.3x yy—x=2,p=4,x=2,

三、题型三命题真假判断中求参数范围例、已知加/+有两个不等的负根，q:方程勿一无实根,求使p为真命题40:4+1=044+42+1=0£RX R且也为真命题的力的取值范围.g解析若°为真，则错误!解得勿〉

2.若为真，则△2〈解得〈勿〈g=16/77-2-160,13真，真，即错误！g故力的取值范围是2,

3.变式练习已知命题22x三命题〈〉〈若命题夕是真命题，命题是假命题，p I g%——20;404,q求实数的取值范围.X解命题是真命题，则2xf——221,•二或x23xW—1,命题是假命题，则或q xWOx

24.或A xW—

1.

四、题型四四种命题的等价关系及真假判断例命题“若△有一内角为错误!，则△力的三内角成等差数列”的逆命题

5.488C与原命题同为假命题A.与原命题的否命题同为假命题B.与原命题的逆否命题同为假命题C.与原命题同为真命题D.解析:选原命题显然为真，D原命题的逆命题为“若比的三内角成等差数歹少则△片能有一内角为错误!”，它是真命题.故选D例命题“若fM是奇函数，则尸一是奇函数”的否命题是

6.X若尸是偶函数，则f是偶函数A.x―x若尸不是奇函数，则人一不是奇函数B.x XC.若f是奇函数，则尸是奇函数—x x若大

（一）不是奇函数，则尸（）不是奇函数D.x x答案例给出下列命题B

7..

①命题“若〃一石则方程（彳）无实根”的否命题；4*0,dx2+bx+c=030

②命题△中，仇=附那么△为等边三角形的逆命题；“/8C48=48C

③命题“若石〉〉则错误!＞错误！〉的逆否命题；60,0”

④“若勿〉则（勿）（勿一）＞的解集为的逆命题.1,mV—2+1x+30R其中真命题的序号为.解析

①否命题若〃一四则方程（左）有实根，真命题;420,ax2+bx+c=0a0

②逆命题若△为等边三角形，则夕=成=山，真命题；48C4

③因为命题“若＞〉则错误！〉错误!＞是真命题，故其逆否命题为真命题；

④逆命题若mxa60,0—2（勿+）（加一）〉的解集为则加＞假命题.1x+30R,1,所以应填

①②③.变式练习.若命题的逆命题是°,命题的否命题是，，则是，的（）0g0逆命题逆否命题A.B.否命题以上判断都不对C.D.解析选命题若则修其逆命题若匕则那么命题的否命题「若非则非x,所以夕是厂B p:x,q:x,y,的逆否命题.所以选B.

五、题型五问题的逆否证法例判断命题“若切＞则方程有实数根”的逆否命题的真假.

8.0,f+2x—3=0解■:ni＞0,.2m）＞10,A12/7+40o/.方程2的判别式+2-3/77=0X X△勿〉=12+40o•••原命题“若勿＞则方程乂-勿=有实数根”为真命题.0,4+230又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若勿＞则方程勿有实数根”的逆否命0,x+2x—3=0题也为真命题.

六、题型六判断条件关系及求参数范围例+错误！（〃£）是成立的（）

9.“x=24n Z”“tan x=1充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.解析当错误!时，x=2An+tan x=1,而得〃+错误!，tan x=1x=n所以错误!”是成立的充分不必要条件.故选“x=24n+“tan x=1A.充分不必要条件必要不充分条件A.B.例、设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则〃是片的1048C8C充要条件既不充分又不必要条件C.D.解析:故是的必要不充分条件D A例已知条件（勿〉）不变，若非夕是非的必要而不充分条件，

11.p:—1WxW10,q:X—4x+4—/W00q如何求实数力的取值范围？解P—1WxAW

10.22q\x—加—4x+4WO由题意得［（—而］［（勿）］（勿）=x—2x—2+WO0（ni0）.o2—/7W W2+/77X因为非q是非的必要而不充分条件，q所以「是的充分不必要条件，g即—勿{x|-1WxW10}{x|2WxW2+/w},故有错误!或错误！，解得力三

8.所以实数力的范围为［m加I28}.变式练习已知条件:夕y=（）的定义域，条件q〉x,则°是的（）1:Igx+2x—35x—60充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.解析选px-\-2x）贝〉或%—A.—30,Ix13;〉x,即2由小集合台大集合，q:5x—6%—5%+60,:.gp,但夕故选Aq.A变式练习已知错误!若的必要不充分条件是/求实数的取值范围.20WxW1,g:aWxWa+1,0a解析是夕的必要不充分条件，q则夕=但沪p.g/一错误！・WxW1,q:dWxWa+

1.，三且石W错误！，即错误！.a+11OWdW•••满足条件的的取值范围为错误!.a

七、充要条件的论证例、求证〈错误!是不等式对一切实数都成立的充要条件.12OWa af—ax+1—a0x证明充分性・・〈〈错误！，.0aA2—a=5a—4a=a=a—4a15a—40,则ax—ax~\-石〉对一^实数都成立.1—0x而当a=0时，不等式ax—ax~\~〉可变成〉1—d

010.显然当时，不等式ax—ax-\-一〉对一^实数都成立.a=0130x必要性ax—ax-\-对一切实数都成立，1—a0x.a=Q或错误！解得〈错误!.OWa故错误!是不等式ax对一切实数都成立的充要条件.OW V—ax+1—a0xJ

八、命题真假值的判断例如果命题与命题“非Q”都是真命题，那么

13.命题「不一^定是假命题A.命题一定为真命题B.g命题不一^定是真命题C.g命题「与命题的真假相同D.q解析:选“夕为真，则小至少有一个为真.非夕为真，则夕为假，工是真命题.B Vq”g变式练习判断由下列命题构成的p\q,非形式的命题的真假°Vg,负数的平方是正数，有理数是实数；1P Q；202W3,g32是的倍数，q:是的倍数.30355417解真，真，为真命题，『八为真命题，非为假命题；1g真，假，为真命题，为假命题，非为假命题；20g真，假，为真命题，夕八为假命题，非夕为假命题.3q g

九、命题的否定与否命题例命题“若a〈则的否命题为,命题的否定为.

14.6,22”解析命题“若Kb,则的否命题为“若a》b,则，22-2,25命题的否定为“若石〈仇则Z源”.例15:1已知命题p若1WW2,则十」——0,命题0的否定为:__________________________X2-3+2X X答案若则」——或2注意要全盘否定1W W2,k0-3+2=

0.JC X X2-3+2XX命题“若贝=的否定是2V=i,答案若/=],则%不一定等于2o

1.变式练习“石且，三的否定是；1:253“a25或的否定是.6W3解或b3a5且b3aV5变式练习年高考安徽卷命题“对任何一的否定是■2:2010x£R,|x2|+|x—4I3”解存在使得|x—2x£R,1+|x—4|W3变式练习写出下列命题的否定，然后判断其真假

3.p:方程x有实根；1—x+1=0p:函数是周期函数；2y=tan x；3p0C/4不等式的解集是4:2+3+50Q XX解析判断的真假判断非夕的真假题号非Q的形式假方程无实数根真14—x+1=0函数不是周期函V=tan x真假2数真0C A假3不等式的解集不f+3x+50真假4是0

十、全称命题与特称命题相关小综合题例指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假:

15.若石且手则对任意实数〉10,31,X,/O.⑵对任意实数若〈则x.X,X2,x X2,tan xXtan2使337^£R,|sin x+4I=|s in x|，使〈43x°£R x2,o+1O解析是全称命题，是特称命题.1234•••/〉恒成立，，命题是真命题.10a0JLa#=11。