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只需证xyx+y+lgy+x+孙
2.将上式中的右式减左式，得[y+x+孙月—[孙x+y+1]=[xy2—1]—[xyx-\-y—x+y]=xy+lxy—1—x+jx^—l=xy—lxj—%—j+1=lx—lj—
1.因为这1,所以⑶一lx—ly—1巨0,从而所要证明的不等式成立.2设log/=x,kg〃c=y,由对数的换底公式得logtZZ—logb〃=；,logc〃=\,\og c—xy.Ay Aay于是，所要证明的不等式即为+孙.其中x=Ioga杞1,y=log cl.b故由1成立知log滴+log〃c+log《勺og/以+logcb+loga成立.[点评]分析法和综合法各有优缺点.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
3.设«¥=4f++〃/0,若函数/x+1与/X的图象关于y轴对称.求证yu+:为偶函数.13131I易错分析在证明於+]是偶函数时，用特殊值4+]=/—太+R成立来判断加+]是偶函数.规范解答证明由函数«r+l与«r的图象关于y轴对称，可知yu+i=/—%.将工换成x—J代入上式可得，口分]由偶函数的定义可知为偶函数.温馨提醒在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，特殊值的检验不能代替一般性的证明.【方法归纳11利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题定义、公理、定理、法则、公式等或要证命题的已知条件时命题得证.【方法归纳2】综合法证题的思路分析频口而巨而条件皮目知写结论之间的联分析条件系，选择相关的定理、公式等•确定恰当的解选择方向题方法转化条件把已知件条转化成解题所需要的语言.主要组织过程是文字、符号、图形三种语言之间的转化M顾解题过程，M对部分步骤进行调整.并对适当调整一些语言进行适当门勺修饰，反思总结解题回顾反思方法的选取
4.直线y=kx+mmrO与椭圆W彳+丫2=1相交于A,C两点，0是坐标原点.1当点B的坐标为0,1,且四边形OABC为菱形时，求AC的长；2当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.解因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.设A’2,代入椭圆方程得号+9=1,即t=±Vl所以|AC|=2dl2证明假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，M AC1OB,所以原
0.x2+4y2=4,由消y并整理得1+4k2x2+8kmx+4m2—4=
0.y=kx+m,xl+x24km yl+y2xl+x2m设Axl,yl,Cx2,y2,则l+4k22=k，^^+m=T+4k2--4km m所以AC的中点为M1+4%2」+必
2.因为M为AC和OB的交点，且m#0,厚0,所以直线OB的斜率为一点因为k・4k w—i,所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.【方法归纳3】
1.反证法的适用范围1否定性命题；2结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题;3命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；4要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
2.反证法证明步骤第一步分清命题的条件和结论；第二步作出与命题结论q相矛盾的假定「q;第三步由p和「q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题为真.【方法与技巧】
1.分析法的特点从未知看需知，逐步靠拢已知.
2.综合法的特点从已知看可知，逐步推出未知.
3.分析法和综合法各有优缺点,分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.【失误与防范】
1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证欲证…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论.
2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.效果验证
1.已知加1,a=ylm+l—ylm b=y[m—yjm—l,则以下结论正确的是（9A.ab B.ab C.a=b D.a,b大小不定角窣析•a=yj1——yjm=,b=y[m-yjm答案B1-\-ylmy[m-\-ylm—1,J/\~~j=\即cib.yjm~r1~ry]m y]m+yjm-
12.已知aQ,b0,贝心的最小值是（）A.2B.2y[2C.4D.5答案c
3.用反证法证明命题“设o,匕为实数，则方程^+办+人=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程/+依+人=没有实根B.方程X3+6ZX+Z=0至多有一个实根C.方程x3+办+6=0至多有两个实根D.方程X34-O¥4-/=0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程好++6=0没有实根”.答案A
4.设P],尸2，…，尸〃为平面内的〃个点，在平面内的所有点中，若点P到点Pl，P2，…，P〃的距离之和最小，则称点尸为点P，尸2，…，P”的一个中位点距例如，线段A3上的任意点都是端点45的中位点，现有下列命题
①若三个点A,B,C共线，C在线段A3上，则是A,B,的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A,B,C,共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯位点.其中的真命题是（写出所有真命题的序号）.解析由“中位点”可知，若在线段A3上，则线段A3上任一点都为“中位点C也不例外，故
①正确；对于
②假设在等腰R3ABC中，ZACB=90°,如图所示，点尸为斜边A3中点，设3腰长为2,则|M+|P5|+|PC|=5HB|=3，i,而若C为“中位点”，则故
②错；|CB|+|CA|=4V3MI对于
③，若丛三等分AZ）,若设|A8|=|3C|=|CD|=1,则|氏4|+|3+|3|=4=|1|+|3|+||,故
③错；1111A BC D对于
④，在梯形A5CQ中，对角线AC与8的交点为O,在梯形A3CQ内任取不同于点0的一点则在△MAC中,\MA\+\MC\\AC\=\OA\+\OC\9同理在△MBD中，|例5|十|加||89=|05|+||,则得，|M4|+|MB|+|MC|+|MD||04|+|OB|+|OC|+|OD|,故为梯形内唯位点，
④是正确的.答案
①④
5.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数©sin213°+cos217°—sin13°cos17°；Dsin215°+cos215°—sin15°cos15°；@sin218°+cos2120-sin18°cos12°；@sin2-18°+COS248°—sin-18°cos48°；
⑤sin2-25°+COS255°—sin—25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；⑵根据⑴的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解1选择
②式，计算如下113sin215°+cos215°—sin15Ocos15°=1—ysin30°=1—7=
7.~I~1_,32三角恒等式为sin2a+cos230°—a—sin acos30°—«=
4.证明如下:sin2a+COS230°-a—sin acos30°—a=sin2a+cos30°cos a+sin30°sin«2—sin acos30°cos a+sin30°sin a=sin2a+^cos2«+^sin acosx+^sin26—^sin acosa-；sin2a
3.,3322=Wsnra十a cosa=4,@强化提升
一、第天
11.若a,b,为实数，且从0,则下列命题正确的是A.ac2hc2B.C.D.Ta ba b答案B解析a1—ab=aa—b,V abQ,^a—b0,/.tz2—6z/0,/.crab.
①又ah—b2—ha—Z0,/.abh2,
②由
①②得a2abb
2.
2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明「设泌，且a+b+c=Q,求证近二7〈小a”索的因应是A.a—b0B.a—c0C.a—ba—c0D.〃—0〃—c0答案c解析由题意知q.2—ac〈季cS—ac3ci1=/22+a{a+/7v3a2=〃2+4+帅3la=/72+ah2a1=2a1—ah—/20=cr-ab-\-r—b20=aa—/+a+/〃-Z0=aa—b—ca—bO=a—ba—c〉0,故选C.
3.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于60°答案B解析因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以三角形三个内角至少有一个不大于60”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60”，即“三个内角都大于60”，故选B.4,设实数外4c成等比数列，非零实数x,y分别为，与江h与的等差中项,试证+=
2.证明由已知条件得尻=碇，
①②2x=a-\-b,2y=b-\-c.要证+2=2,只要证ay+cx=2xy,只要证2ay+2cx=4孙.x y由
①②得2ay~\~2cx=ab+c+cab=ab-\~2ac~\-be,4xy=a-\-c=ab~\~b1ac~\~bc=ab-\-2ac-\-be9所以2《y+2cx=4盯.命题得证.a+b+c证明要证原式，只需证a-\-b b~\-c即证言+言=1,即只需证ab+l^-Vac-Vbc
5.已知AMC的三个内角4B,成等差数列，对应的三边为m b,c,求证*7T而由题意知A-\-C=2B,5=7,,/.b2=a2-\-c2—ac,bc^r^-Vc^-Vab bc^vab/c+c2+«2+6z/...-------------------=--------------------------------=--------------------=]**ab+b1ac-Vbe ab+cP,-Vcr—ac-Vac+bc ab^-c^^v^^vbc I13」_；」_.•・・原等式成立，即±+土=a-vb b-vc a+b+c
二、（第天）
21.设a=lg2+lg5,Z=eA（x0）,则与b大小关系为（）A.ab B.ab C.a=b D.aWb答案A解析a=lg2+lg5=1,b=e\当x0时，0/1,/.ab.
2.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a,b,中恰有一个偶数”正确的反设为（）A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数答案B解析自然数a,乩c中为偶数的情况为m乩c全为偶数；a,儿c中有两个数为偶数；a,b,c全为奇数；a,b,c中恰有一个数为偶数，所以反设为a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数.
3.用反证法证明命题“若实数〃，h,c,d满足〃+h=c+d=l,ac+hd\,则〃，b,c,d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是答案a,b,c,d全是负数解析“至少有一个”的否定是“一个也没有“，故结论的否定是“a,b,c,d中没有一个非负数，即〃，b,c,d全是负数”.
4.设a,b,c£—8,o,则a+2,0+，U CzCtA.都不大于一2B.都不小于一2C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2答案C解析因为a+J+b+Hc+V—6,所以三者不能都大于一
2.czC/Cv
5.用反证法证明关于x的方程4a+3=0,f+5-l）x+/=0,x2-\~2ax3一—2a=0,当QW—5或2—1时，至少有一个方程有实数根.解假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得31一旌呷JI=4^2+44^-30,』2=-12—4/0,、/3=2Q2—4X—2〃0,33解得一系“—1,与7或，一1矛盾,故原命题成立.少有两个偶数或都是奇数.
5.如果贝1J、人应满足的条件是答案/20且QW/解析*/a\[a+b\[b—crjb+tr\[ci=y[cia—b~\~y[bb—ci—y[a—y[ba—b=y[a-y[b2y[a+也.・•・当420,/20且[Wb时，/—也也
0.26+故cr\「+/r•cr\「+/rG成立的条件是Z20且a^b.值）原因分析【学科问题】
1.当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.
2.对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.【学生问题】
1.学习风格（任课教师自行填写）
2.先行知识分析
（1）了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
（2）理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.33）了解反证法是间接证明的一种基本方法.
（4）理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.◎精准突破
1.直接证明分析法综合法从要证明的结论出发，逐步寻求从已知条件和某些数学定义、定理、使结论成立的充分条件，最后把公理等出发，经过一系列的推理论定义要证明的结论归结为判定一个明证，最后推导出所要证明的结论成、「显成立的条件.乂.执果索因思维过程由因导果_（结论）=1证题步骤P（已知）今P1今尸今…今P〃今（结论）2（已矢口）=Q2U…=Q〃=P因为…，所以…文字语言要证…，只需证…，即证…或由…，得…符号语言P与QP=Q
2.间接证明反证法要证明某一结论是正确的，但不直接证明，而是先去假设不成立（即的反面非是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假定义设非是错误的，从而断定结论是正确的，这种证明方法叫做反证法.
（1）分清命题的条件和结论；
（2）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；证明步骤
（3）由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
（4）由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
（1）否定性命题；
（2）命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的；适用范围
（3）当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；
（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.题型一综合法的应用【例题1】已知〃，b,均为正数，证明4/2+Z72+C2+（-+-+-）26V3,并确定a bca,b,为何值时，等号成立.思维启迪利用Q2+/22Q/,2+£2等，再利用〃/++22,根据这个解题思路去解答本题即可.证明因为Q,，c均为正数，由基本不等式得a2~\~b2^2ab Z2+c2^2/c,c2-\~a2^2ac99所以ci1-\-b1-}rc1^ab-\-bc-\-aCy
①同理+*+,
②a bc abbe ac故tz2+/2+c2+（—+—+—）2^ab+bc+ac+3~T+3T-+3-^6y[
3.
③a bc aDDc ac所以原不等式成立.当且仅当=/=c时，
①式和
②式等号成立，当且仅当=b=c,（ab）2=Sc）2=（ac）2=3时，
③式等号成立.即当且仅当=b=c=3〃时，原式等号成立.探究提高综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.跟踪训练已知b、c为正实数，a-\-b+c=l.1求证1/+/2+c2；2^34+2+13Z+2+y3c+2W
6.证明1方法-6Z2+Z2+c2—^=^3tz2+3b1+3c2—1=g[33+32+3——a+5+c]=^3a1-\-3b1-\-3c1—a1—b1—c1—2ab—2ac—2bc=g[Q-A+力-4+c~a].0,，片+尻+,》；.方法二V a-\-b-\-c2=a1+b2+c1-^lab-^lac+lbc^a2+b1+c1ci1b1a1c1+廿+，，/.3^2+Z2+c2^t7+Z+c2=1,/.6Z2+/72+C2^*J.方法三设i=g+a,b=；+.,c=g+.•.•〃+/+c=1,/.a+^+y=
0..\a2+b2+c2=-+a2+d+〃2+~+/2111=彳+彳+夕++彳+/+夕》彳，/+.2+/2=2+/2:・/+j J1----i----------；----3Q+2+13a~\~32・.・q3a+2=q3a+21W——5——=—^―,/--------36+3/-----------3c+
3./--------------/----------/--------；-36f+/++9ra=6,，原不等式成立.题型二分析法的应用a+vh cr~+//■【例题2】已知切0,a,/eR,求证—.1-vm1-rm思维启迪将要证分式化成整式，再合并同类项.证明•・•浪,，1+机.所以要证原不等式成立，只需证a+mb2W1+mcr+mb2,即证〃乂4—2ab+/2^0,即证a—3220,而a—b220显然成立，故原不等式得证.思维升华分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立.通常采用“欲证一只需证一已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范.£艮踪训练2已知a,/£0,+°0,求证苏+护，/+
22.证明因为a,b£0,+8,所以要证原不等式成立，只需证[/+b33]6[〃2+/5]6,即证〃3+832〃2+23,即证a6+2a3b3+b6a6+3tz4/2+3//+及，只需证243b33〃%2+32/
74.6Z因为a,b£0,+°°,所以即证〃片+反.而a2~\-b2^2ab,3a2+b26ab2ab成立，以上步骤步步可逆,所以/+户/〈面+扶户.题型三反证法的应用【例题3】已知a2一1,求证三个方程f+4ar—4〃+3=0,/+〃-lx+/=O,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根.思维启迪“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”.证明假设三个方程都没有实数根，则r3i丁吨4a2—4—4a+30悬或a一1a—l2—4a
20、2a2—4X—20—2a0这与已知〃2—1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.探究提高结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法.用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样.有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的.跟踪训练3已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且满足斯+S〃=
2.1求数列｛〃〃｝的通项公式；2求证数列｛〃〃｝中不存在三项按原来顺序成等差数列.思维启迪
（1）先利用S〃-S〃-i=a〃（几22）两式相减得斯和a+\的关系,再求斯;n
（2）用反证法证明.⑴解当〃=1时，a\+S\=2a\=2,则］=
1.又斯+S〃=2,所以a〃+i+S〃+i=2,两式相减得1=2斯，所以｛斯｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以斯=为⑵证明反证法假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为劭+|,a+1,知+|（〃%〈匕且则2所以2・2「=2厂〃+
1.）p,q,r£N,又因为p〈qr,所以厂一乡，厂一〃£N.所以
①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.思维升华
（1）当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.⑵用反证法证明不等式要把握三点
①必须否定结论；
②必须从否定结论进行推理;
③推导出的矛盾必须是明显的.巩固练习
1.在△ABC中，sin Asin Ccos AcosC,则△ABC一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案C解析由sin AsinCcos AcosC得，cos AcosC—sin AsinOO,71即cosG4+O〉0,，A+C是锐角，从而故△ABC必是钝角三角形.
2.用反证法证明命题“若小必能被3整除，那么小匕中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A.a,匕都能被3整除B.a,b都不能被3整除C.人不能被3整除D.不能被3整除答案B解析由反证法的定义可知，否定结论，即h中至少有一个能被3整除”的否定是“a,〃都不能被3整除”，故选B.
3.册+市与26+小的大小关系为.答案加+S2/解析要比较出+币与2限+小的大小，只需比较（加+由与（26+币的大小,只需比）2）2较6+7+2/与8+5+
4、丽的大小，只需比较也与24而的大小，只需比较42与40的大小，V4240,十木〉2吸+小.
4.凸函数的性质定理如果函数/U）在区间上是凸函数，则对于区间内的任意小电……，收±誓必％产％土）,已知函数产sin%在区间（0,兀）上是凸函数，则在△A3C中，sinA+sinB+sinC的最大值为答案:产（巧遇兀3s3=产+差+八飞即sin A+sin B+sin CW3sin2解析・・V（x）=sinx在区间（0,兀）上是凸函数，且A、B、£（0,兀）.所以sin A+sin B+sinC的最大值为J
5.若a,h,c均为实数,且4=._2+.Z=y2—2z+$c=z2—2x+^.求证a,b,c中至少有一个是大于0的.证明假设a,b,c都不大于0,则aWO,bWO,cWO,.•.a+b+cWO,而6+/+c=x2—2y+^+j2—2z+^+z2—2x+^=f-2x+y2-2y+z2-2z+兀=%—l2+y—l2+z—12+TL—3,.•・Q+/+C
0.这与a+/+cW0矛盾，二・假设不成立，故叫b,c中至少有一个是大于的.Q总结优化
1.用反证法证明三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设为答案三角形中每一个内角都小于
602.
（1）设后1,,证明盯；xy xy
（2）设\ahc,证明log泪+logbc+log（aWlog也+log/+logaC.解题指导探索证明方法|一|分析证明过程］一|书写证明步薮证明
（1）由于史1,所以要证明x+y+上J+J+孙，。
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