全国版讲义第一章 立体几何初步1-1-2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征LL2【学习目标】

1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体2认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征3了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别.知识点一多面体多面体的有关概念⑴多面体由若干个平面多边形所围成的几何体.2多面体的相关概念

①面围成多面体的各个多边形.

②棱相邻的两个面的公共边.

③顶点棱和棱的公共点.

④对角线连接不在同一个面上的两个顶点的线段.

⑤截面一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形包含它的内部.3凸多面体把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.知识点二棱柱

1.棱柱的定义及表示名称棱柱条件

①有两个互相平行的面;

②夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线特征性质或定义都互相平行顶点卜千帆,侧面»一.--；；一侧棱局［匕图形表力、及相关名称A B底面棱柱ABCDE-A夕C D戌或棱柱ACf

2.棱柱的分类⑴按底面多边形的边数〃三棱柱四棱柱五棱柱A.A BC DB.C AB DC.A CB DD.它们无确切包含关系答案C解析在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最少的是正方体，其次是正四棱柱.

二、填空题

8.下图中不可能围成正方体的是.（填序号）答案

④

9.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成个三棱锥.答案3解析如图，分割为4—A5c fi-AiCCi,Ci-AiBiB,3个棱锥.

10.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,对角线长为9,则该棱台的高为.答案3解析由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5啦，下底长为7dl对角线长为9,则高为寸92—

（66）2=

3.1L如图所示，对几何体的说法正确的是.（填序号）

①这是一个六面体；

②这是一个四棱台；

③这是一个四棱柱；

④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；

⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.答案

①③④⑤解析

①正确，因为有六个面，属于六面体.

②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.

③正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱.

④⑤都正确，如图所示.

三、解答题

12.如图，在边长为2〃的正方形A8CO中，E,b分别为A3,的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A,B,C重合，重合后记为点P.问

（1）折起后形成的几何体是什么几何体？⑵这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？⑶每个面的三角形面积为多少？解⑴如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）这个几何体共有4个面，其中△£方为等腰三角形，△尸E尸为等腰直角三角形，XDPE和△OP/均为直角三角形.193SpEF=]cr,S△尸产=S^DPE=2*2a*=Q2,32〃=22-；〃2-Q2—a2==¥•正方形S4DEF=S ABCD-S^PEF-S4DPF-S^DPE

13.试从正方体43CO—4SG的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.⑴只有一个面是等边三角形的三棱锥；2四个面都是等边三角形的三棱锥；⑶三棱柱.解1如图所示，三棱锥Ai-ABiDi答案不唯一.2如图所示，三棱锥8—ACDi答案不唯一.3如图所示，三棱柱AiBiQi—AB£答案不唯一.

四、探究与拓展

14.如图，已知正三棱锥产一A8C的侧棱长为也，底面边长为吸，是侧棱以的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到点，则这条折线长度的最小值为.答案呼解析沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形,所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，令乙物8=仇则9=60，在展开图中，AQ3A/2一

2.

15.给出两块正三角形纸片如图所示，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明.考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用解如图⑴所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.如图2所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的？有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.底面是正多边股正棱柱2按侧棱与底面是否垂直斜棱柱⑶特殊的四棱柱知识点三棱锥

1.棱锥的定义及表示名称棱锥条件

①有一个面是多边形;特征性质或定义

②其余各面都是有一个公共顶点的三角形71顶点侧棱…/M\侧面///\V图形表示及相关名称棱锥s—A8CZX或棱锥S-AC

2.棱锥的分类⑴按底面多边形的边数「三棱锥四棱锥五棱锥⑵特殊的棱锥底面是正多边形，正棱锥---------------------顶点在过底面中心，且与底面垂直的直线上知识点四棱台i.棱台的结构特征及分类名称定义图形及表示相关概念分类上底面站彳顶点由三棱锥、四棱上底面原棱锥棱锥被平行于/;侧棱4侧面锥、五棱锥……底面的平面所A/.B局卜底面的截面.截得的棱台分棱台如图可记作棱台A3C截，截面和底面下底面原棱锥别叫做三棱台、一M BC间的部分叫做的底面.四棱台、棱台侧面其他各五棱台……面.侧棱相邻两侧面的公共边.高两底面间的距离

2.特殊的棱台正棱台由正棱锥截得的棱台.

1.棱柱的侧面都是平行四边形.J

2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.X

3.夹在两个平行的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.义类型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念例11下列命题中正确的是A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2下列说法正确的序号是.

①棱锥的侧面不一定是三角形；

②棱锥的各侧棱长一定相等；

③棱台的各侧棱的延长线交于一点；

④有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台.答案1A⑵

③解析1正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相对面可作底面,故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错.2棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故

①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，

③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故

④不正确.反思与感悟棱柱、棱锥、棱台的结构特征1棱柱有两个主要结构特征一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形.2棱锥有两个主要结构特征一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形.3棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点.跟踪训练11下列命题

①各侧面为矩形的棱柱是长方体；

②直四棱柱是长方体；

③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；

④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱.其中正确的是.填序号答案

③解析

①中一定为直棱柱但不一定是长方体；

②直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形；

③符合直棱柱的定义；

④中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形.2下列命题

①各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；

④四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；

⑤棱台的侧棱长都相等.其中正确的命题有.填序号答案

③④解析在四棱锥尸一ABC中，FA=PB=PC=PD,底面A5CQ为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此

①错误；底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故

②错误；在三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC.ZABC=90°,则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故

③正确；在四棱锥P—43co中，雨垂直于平面A3CD四边形ABC为矩形，故

④正确；棱台的侧棱长不一定都相等，故

⑤错误.类型二简单几何体中的计算问题例2正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2小，求正三棱锥的高.解作出正三棱锥如图，S为其高，连接AO,作OZ_LAB于点O,则点为AB的中点.在RtAADO中，3AD=^,ZOAD=30°93,,2厂故Ao=cos ZOAD=y^-在RtZkSAO中，SA=2小，AO=y[39故SO=、SM—A02=3,故三棱锥的高为

3.引申探究

1.若本例条件不变，求正三棱锥的斜高.解作出正三棱锥如图，取A5的中点区连接SE,则SE为该正三棱锥的斜高，在中,3V39所以SE=—

2.SA=2小,4石=5,

2.若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高.解如图，在正四棱锥S—ABC中，AB=BC=CD=DA=3,AC=3®所以OC=1V1在RtZXSOC中，SC=2小,所以SO=\ISC2-OC2=^y12-1=^.即正四棱锥的高为华.反思与感悟⑴正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为尸，底面为正方形，作PELCD于点、E,则PE为斜高.

①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△尸EC;

②斜高、高构成直角三角形，如图中RtZXPOE;

③侧棱、高构成直角三角形，如图中RtZXPOC⑵正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图（以正四棱台为例），01,分别为上，下底面中心，作OiEiJ_8]Ci于点昂，0E_L3C于点E,则EiE为斜高.

①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形EiECG;

②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形1E1E；

③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形010CG.跟踪训练2已知正四棱台的上、下底面面积分别为

4、16,一侧面面积为12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长.解如图，设0,，分别为上、下底面的中心，即为正四棱台的高，EF分别为4Cf,的中点，.EF±B,C,即政为斜高.由上底面面积为4,上底面为正方形，可得C=2；同理，BC=

4.I四边形5CC Bf的面积为12,.•.1x（2+4）-EF=12,AEF=

4.过作HLBC交BC于H,贝1/一8,£=2-1=1,Bf H=EF=

4.在Rt△BH中,BBf=yiBH1+Bf H2=y[i

7.同理，在直角梯形0,/E中，计算出O=店.综上，该正四棱台的侧棱长为折，斜高为4,高为仃.类型三多面体的展开图例3如图，在侧棱长为2小的正三棱锥V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=4Q°,过点A作截面△AE凡求截面△AEF周长的最小值.解沿着侧棱以把正三棱锥V—A3C展开在一个平面内，如图.则A4的长即为截面放周长的最小值，且NAW1=3X40°=120°.在△W1中，A4，=2X2小X，=6,故截面AAE/周长的最小值为

6.反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离1》寻几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.⑵将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.3结合已知条件求得结果.跟踪训练3如图所示，在正三棱柱ABC—中，AB=2,A4=2,由顶点8沿棱柱侧面经过棱A4it到达顶点G,与A4i的交点记为则从点3经点M到C的最短路线长为A.

2726.2小C.4D.4小答案B解析沿侧棱3囱将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BBS3如图.由侧面展开图可知，当5,M,三点共线时，从点8经过“到达G的路线最短.所以最短路线长为BC\—yl42+22—2y[

5.

1.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是A.

①是棱柱B.

②不是棱锥C.

③不是棱锥D.

④是棱台考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知

①是棱柱，

②是棱锥，

④是棱台，

③不是棱锥，故B错误.

2.下列说法中，正确的是A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案A解析B错，截面与底面平行时才能得棱台；C错，棱柱底面可能是平行四边形；D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体.

3.下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案D解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错.

4.正四棱锥S—A5CD的所有棱长都等于小过不相邻的两条侧棱作截面SAC,则截面面积为•答案今解析AC=7$+=也,由SA=SC=a,则有ZASC=90°.SA2+SC2=AC2,A所以S△SAC=/€1=亍上

5.对棱柱而言，下列说法正确的是.（填序号）

①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；

②所有的棱长都相等；

③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；

④相邻两个面的交线叫做侧棱.答案

①③解析

①正确，根据棱柱的定义可知；

②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；

③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；

④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.

1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.

2.

（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类［正棱柱直棱柱《一般的直棱柱I斜棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表:平行于底面的名称底面侧面侧棱高截面平行且全/斜棱柱平行四边形平行且相等与底面全等等的两个多边形平行且全棱平行、相等且直棱柱矩形等于侧棱与底面全等等的两个柱垂直于底面多边形平行且全平行、相等且等的两个正棱柱全等的矩形等于侧棱与底面全等垂直于底面正多边形一个正多全等的等腰有一个公共过底面中心正棱锥与底面相似边形三角形顶点且相等棱其他一个多边有一个公共锥三角形与底面相似棱锥形顶点平行且相全等的等腰/相等且延长后似的两个正棱台与底面相似梯形交于一点正多边形棱台平行且相其他/延长后交于梯形与底面相似似的两个棱台一占/

八、多边形

一、选择题

1.下面几何体中是棱柱的有0A.3个B.4个C.5个D.6个答案C解析棱柱有三个特征

（1）有两个面互相平行；

（2）其余各面是四边形；

（3）侧棱相互平行.本题所给几何体中，

⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而

①②③④⑤符合，故选C.

2.下面多面体中有12条棱的是（）A.四棱柱B.四棱锥C.五棱锥D.五棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案A解析,••〃棱柱共有3〃条棱，〃棱锥共有2〃条棱，，四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱;五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A.

3.一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100,则其侧棱长为A.10B.20C.5D.15答案B解析易知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为竿=

20.

4.有两个面平行的多面体不可能是A.棱柱B.棱锥C.棱台D.以上都错考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析由棱锥的结构特征可得.

5.下列说法正确的是0A.棱柱的底面一定是平行四边形B.棱锥的底面一定是三角形C.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D.棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱答案D解析棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确；过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确.

6.如图所示，在三棱台A BfC-ABC中，截去三棱锥M-ABC,则剩余部分是0A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案B解析由题图知剩余的部分是四棱锥A-BCC Br.

7.已知集合4=｛正方体｝,3=｛长方体｝,=｛正四棱柱｝,=｛直平行六面体｝,则。