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知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌（或叠加）而成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等.梳理由挂、维、叁、毯等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.
1.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.（J）
2.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.（X）
3.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.（义）类型一旋转体的结构特征例1下列命题正确的是.（填序号）
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案
④⑤⑥解析
①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
③它们的底面为圆面；
④⑤⑥正确.反思与感悟⑴判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
（2）简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列命题
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；
③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段.其中正确的个数为（）A.OB.IC.2D.3答案C解析
②错误，截面可能是一个三角形；
③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;
①④正确.故选C.类型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知A3是直角梯形A8C与底边垂直的一腰.分别以45,CD,为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解⑴以A3边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图⑴所示.2以边为轴旋转所得旋转体为一组合体上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图2所示.3以边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图3所示.反思与感悟⑴平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.⑵必要时作模型，培养动手能力.跟踪训练2如图
1、⑵所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图
1、图2旋转后的图形如图所示分别是图
①、图
②.其中图
①是由一个圆柱|2和两个圆台23,34组成的；图
②是由一个圆锥54,一个圆柱34及一个圆台13中挖去圆锥21组成的.类型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4兀cn和25兀cn,求1圆台的高；2将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解⑴圆台的轴截面是等腰梯形ABCD如图所示.由已知可得iA=2cm,0B=5cm.又由题意知，腰长为12cm,所以高122—5—22=3y[T5cm.⑵如图所示，延长区4,0，交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为/,I—122则由△SA0IS/\S30,可得一^-=5，解得/=20cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质与底面全等或相似，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3如图，在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为小的圆柱，求圆柱的底面半径.解设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为八则由三角形相似,即圆柱的底面半径为
1.命题角度2球的截面的有关计算例4在球内有相距9cm的两个平行截面面积分别为49兀cn和4007rcm2,求此球的半径.解
①若两截面位于球心的同侧，如图⑴所示的是经过球心的大圆截面，C,G分别是两平行截面的圆心，设球的半径为Rem,截面圆的半径分别为em,ncm.由兀3=49兀，得门=7（门=一7舍去），由兀户=400兀，得〃=20（r=—20舍去）.在Rt△囱G中，OG=7/2一齐=JR2—49,在RtAOBC中，OC=NR一i=NR2—
400.由题意可知OG—OC=9,即迎—49一52_400=9,解此方程，取正值得R=
25.
②若球心在两截面之间，如图
（2）所示，OCI=NR2—49,OC=y/R2—4oo由题意可知+=9,即迎_49+也2—40=
9.整理，得后面6=—15,此方程无解，这说明第二种情况不存在.综上所述，此球的半径为25cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5,两个平行截面的周长分别为6兀和8兀“，则两平行截面间的距离是.答案1或7解析画出球的截面图，如图所示.两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形
①两个平行截面在球心的两侧，
②两个平行截面在球心的同侧.对于
①，m=y/52—32=4,/=^52—42=3,两平行截面间的距离是机+〃=7；对于
②，两平行截面间的距离是加一〃=
1.反思与感悟设球的截面圆上一点4球心为O,截面圆心为，则△AO是以01为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解.跟踪训练4设地球半径为R,在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于9兀？求A,3两地间的球面距离.解如图所示，A,8是北纬45圈上的两点，AOr为它的半径，为地球的球心，A00f±AOf,00L
30.•••NOAO=/OBO=45°,C.AO=BO=OA-cos45°=^/.设NA5的度数为a,则赢A=儒•孰=乎泅，，a=
90.1oU1oU Z
4.AB^AO2+BO2=yJ惇R+得=R在△AO3中，AO=BO=AB=R则AAOB为正三角形，y・•・NA08=
60.・・・A,3两地间的球面距离为^^=加1oU J
1.下列几何体是台体的是考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
2.下列选项中的三角形绕直线/旋转一周，能得到如下图中的几何体的是答案B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确.
3.下面几何体的截面一定是圆面的是0A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱答案B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.
4.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为小，则这个圆锥的母线长为.考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且ABC=*A52,.•.小=坐44，.故圆锥的母线长为
2.
5.湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则球的半径为cm.答案13解析设球的半径为Rem,由题意知，截面圆的半径r=12cm,球心距d=7—8cm,由火2=+4,得R2=]44+R—8/，即208—16R=0,解得R=13cm.
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.处理组合体问题常采用分割思想.
4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
一、选择题
1.下列几何体中不是旋转体的是答案D
2.下列说法正确的是A.到定点的距离等于定长的点的集合是球B.球面上不同的三点可能在同一条直线上C.用一个平面截球，其截面是一个圆D.球心与截面圆心截面不过球心的连线垂直于该截面考点球的结构特征题点球的概念的应用答案D解析对于A,球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的,而球是几何体，是实心的，故A错；对于B,球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C,用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.
3.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为0A.10B.20C.40D.15答案B
4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为A.10\/3cmB.2Chj3cmC.20cmD.10cm答案AA解析如图所示，在RtZXABO中，A8=20cm,ZA=30°所以AO=A
5.cos3o=20•乎=9cm.
5.如果圆台两底面的半径分别是7和1,则与两底面平行且等距离的截面面积是0A.24兀B.16兀C.8TCD.4兀答案B7+1解析截面圆的半径为一厂=4,面积为兀»=16兀.
6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案D解析其中A3C不是面，该几何体有8个面.
7.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是A.2B.2兀答案C解析如图所示，设底面半径为r,若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2〃=8,所以r42=-;同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2〃=4,所以〃==,故选C.兀718•如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱,故选B.
二、填空题
9.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是.答案两个圆锥解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥.
10.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则该圆锥的高是.答案2也解析设圆锥的底面半径为几则圆锥的高力=442一户,，由题意可知J・2r・/z=r\仔二百=8,••・，=8,・h=2也
11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的高为.考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案小解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，因为4兀=兀匕所以母线长为I=2,又半圆的弧长为2兀，圆锥的底面的周长为2〃=2兀，所以底面圆半径为r=l,所以该圆锥的高为/z=^//2—r2=^/22—12=^
3.
三、解答题
12.A,B,是球面上三点，已知弦连接球面上两点的线段AB=18cm,8C=24cm,AC=30cm,平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径.解如图所示，因为A4+8C2=AC2,所以5c是直角三角形.所以△A5C的外接圆圆心|是AC的中点.过4,B,C三点的平面截球得圆01的半径为r=15cm.在RtZXOOC中，72=卷2+月D2所以〃2=W+152,所以R2=300,所以R=lh/§cm.即球的半径为lQ\pcm.
13.圆台侧面的母线长为2小母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.解设圆台上底面半径为6则下底面半径为2心圆台上底面面积为乡,下底面面积为S2,两底面面积之和为S.如图所示,NASO=30，在RCSO A中，77^=sin30°,SAf=2八在RtZXSOA中，fj=sin30°,.SA=4r.o/i又SA—SA—AAr,即2r=2，*.r—a.，S=Si+S2=兀户+7i2r2=5兀r2=5兀/.I.圆台上底面半径为〃，下底面半径为2〃，两底面面积之和为加标.
四、探究与拓展
14.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的答案B解析由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.
15.圆台的上、下底面半径分别为5cm』0cm,母线长A5=20cm,从圆台母线AB的中点A/拉一条绳子绕圆台侧面转到点4求⑴绳子的最短长度；⑵在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.考点圆台的结构特征题点与圆台有关的运算解1如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，设OB=l,贝夕/=2兀X5,0-/+20=2KX10,JT解得=5,/=20cm.0A—40cm,0M=30cm.A AM—yf OA2+OM2—50cm.即绳子最短长度为50cm.2作OQ_LAM于点Q,交弧BBf于点P,则尸为所求的最短距离.9OA OM=AM OQ.02=24cm.9故PQ=0Q—OP=24-20=4cm,即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.。
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