完整电磁学第二章稳恒磁场

第二篇电磁学第二章稳恒磁场2-9如图所示，在磁感应强度为月的均匀磁场中，有一半径为R的半球面，月与半球面的轴线夹角为a求通过该半球面的磁通量解半球面与其底面构成一个闭合曲面，通过此闭合曲面的磁通量力等于通过半球面的磁通量中1与通过底面的磁通量力之和*=牝+杷£根据磁场的高斯定理可知，中=0,因此因为是均匀磁场，底面又是平面，所以3和a是常量,=-J B cos adS=-BS cosa=-nR2Bcosa2-10电流为/均匀地通过半径为R的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线通过图中所示剖面的磁通量解围绕轴线取同心圆环路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可求得导线内部距L轴线，处的磁感应强度=%而1B,dl=5-2nr w=在距离轴线，处的剖面上取宽度为少的很窄的面元ds=/dr,该面元上各点的8相同,由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为uJrfR tiIrQ砺出=2=J4no所以单位长度的磁通量为2-24如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为从，导体的磁化可以略去不计电缆沿轴向有恒定电流/通过，内外导体上电流的方向相反求空间各区域内的磁感应强度解电流分布呈轴对称，依照右手螺旋定则，磁感线是以电缆轴线为中心的一组同心圆选取任一半径为，的同心圆为积分路径应用磁介质中的安培环路定理L,当比时，=/，所以£/=2/Ir2-2nr1=-rr1R；忽略导体的磁化（即导体的相对磁导率,有当治＜＜时，，所以6£，=/W-2nr=Z H=—222nr填充的磁介质的相对磁导率为〃一有2nr当先＜/＜及时，/=/-左』式产一段），所以£//.八/瑞一产%2nr=/———z~rr TT（r2-/f）H=——~~—3TT（戏一外）232加段一出同样忽略导体的磁化（去=1）,有虚松一丁2偌一段2nr当r＞及时，£/=1=0,所以H-2Trr=04==C42-25环形螺线管共包含500匝线圈，平均周长为50cm,当线圈中的电流为

2.0A时，用冲击电流计测得介质内的磁感应强度为

2.0T，求1待测材料的相对磁导率4；2磁化电流面密度JsOA7500x

2.A/m=2000A/m解1==4TT X10-7x

2.02x10=7962由于磁化面电流产生的附加磁感应强度为歹,得则有n/=^-l n/=

1.59X106A/mP L4r2-26一个截面为正方形的环形铁芯，其磁导率为〃若在此环形铁芯上绕有N匝线圈，线圈中的电流为/，设环的平均半径为厂求此铁芯的磁化强度解根据磁介质中的安培环路定理，有fL即=W,所以有”=三B=侬-M=-1H=2nr则磁化强度为於丁有2-11已知lOmn裸铜导线允许通过50A电流而不导致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布求导线内、外磁感应强度的分布解铜线可视作长直圆柱体，电流沿导线轴向流过且均匀分布在导线横截面上，其磁场具有轴对称性由安培环路定理可以求出磁场的分布载流长直铜线激发的磁场，磁感线是围绕铜线轴线的一组同心圆，取半径为，的磁感线作积分环路L,应用安培环路定理得，-•dl=8•2ar=g yl0当rR时,E7=9TM=[,贝U・•A Alr2B-2TU^=/^—0当rR时，/=/,则£u IQ2-12如图所示一同轴电缆两导体中的电流均为/，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑试计算以下各处的磁感应强度1；2；3；4rR]R rR RrR rRl22330解同轴线的磁场分布具有轴对称性，其磁感线是围绕轴线的同心圆取半径为，的磁感线作积分环路应用安培环路定理得L,=仰3{B-dl=B-2nr当厂〈灭时，=S，则lr2阿斤-2nr=1iR；12叫曳B-2nr=g IB.=2042TTT当口2r%时，£1=1一nr2-明则（居-吸n当%时，£/=，，贝I」♦一评I q/R2吁曲卜崂二磴严一叫为=前岸］%,2当r色时，/=0,则£B$•2nr=0=02-13如图所示,N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，求通入电流/时,环内外磁感应强度的分布解由右手螺旋法则可知，螺旋环内磁感线是以环心为圆心的同心圆，同一磁感线上各点的磁感应强度B-dl=B・2nr=40W,rL大小相等取半径为，的磁感应线作积分环路,应用安培环路定理得L当r时,£1=0,则瓦・2nr=0当自C”生时，E/=w,则毕=BB-2nr=g JVZ2202nr当厂及时,X/=0,则-2m=0B=0B23由以上计算可知，磁场主要分布在螺线环内2-14如图所示，一根半径为的无限长载流直导体，其中电流/沿轴向流过，并均匀分布R在横截面上现在导体上有一半径为R的圆柱型空腔其轴与直导体的轴平行，且轴心距O0=d,求空腔中心’的磁感应强度解本题中无限长载流直导体产生的磁场可等效为，半径为的无限长载流直导体，在横R截面上有电流莅号/均匀沿轴向流过产生的磁场区减去，半径为P的圆柱均匀流过电流产生的磁场为一4;70nR h4由题目2-11可知，无限长载流直导线，有电流/均匀沿轴向流过时，其内部磁感强度8的大小为2nR2所以，在空腔中心处有TlR2〃口RN—TXR/_仰/d与‘一砺一（酸一/可2n:R，，-R21B=--------------0=02丁-，▲2R2TI因此，空腔中心处磁感应强度为/i Id0氏一==^^其方向为垂直0,方向并与电流成右手螺旋关系2-15已知地面上空某处地磁场的磁感应强度B=O4xlO^T,方向向北若宇宙射线中有一速率u=

5.0xl07m.s—的质子垂直地通过该处，求洛伦兹力的方向以及大小，并与该质子受到的万有引力相比较解由卜=41^8可知洛伦兹力的方向为口乂8的方向，如图所示因ul8,所以质子所受的洛伦兹力大小为F=qi・8=

3.2X10』L在地球表面质子所受的万有引力大小为G=m5=

1.64xlO-26NF质子所受的洛伦兹力与万有引力的比值/=

1.95X105U即质子所受的洛伦兹力远远大于重力2-16一个电子射入a=O.2『+O.5jT的均匀磁场中，当电子速度为=5x106加次时，求电子所受的磁场力解F=qvxB=q5x106jx

0.2i+0,5j=-

1.6x IO-1905x IO60=

1.6x IO-*A N-

0.

20.50-2-17一电子在3=

2.0x10-31的均匀磁场中作沿半径为=2cm、螺距为=

5.0cm的螺旋线运R d动，求电子的速度解电子的螺线运动可分解为速度为r的沿轴线的匀速直线运动和速率为v的垂直于轴线的平面上的匀1速圆周运动电子速度垂直于磁场的分量口可如下求得则，匕=/皿「

7.0电子速度平行于磁场的分量」可根据螺距的公式求得2m叫|而叫h=7=则，eBh,.VII=T-=2,8x106m-s-

1、2iun于是，电子的运动速率为/的方向与轴线的夹角夕满足.v12TTRtan-1^=-=-r-=vii hcp=68」

7.2-18如图所示，一根无限长直导线通有电流人=30A，矩形线圈通有电流20A试计算矩形线圈所受的磁场力其中=

1.0cm,=

8.0cm,/=

12.0cm b解矩形线圈上，下两边所受磁场力大小相等，方向相反，互相抵消所以矩形线圈所受磁场力就是其左侧边及其右侧边所受磁场力的合力而线圈左边所受的安培力已向左，线圈右边所受安培力用向右，且有=阳=/盘面所以，矩形线圈所受磁场力的大小为且磁场力的方向向左，指向直导线2-19—矩形线圈载有电流

0.10A,线圈边长分别为d=

0.05m、,线圈平面与孙平面成角，=b=0AQm30,线圈可绕y轴转动，如图所示今加上B=

0.50T的均匀磁场，磁场方向沿x轴,求线圈所受到的磁力矩解1载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为M=IBS sina=IBdb sina其中a为线圈平面法线与磁感应强度8之间的夹角，由题意可知s况a=cos6,则=

2.165X10-4N-mM=IBbd sina=IBdb cos6方向沿y轴负向解2根据安培定律，与y轴平行的5边所受的磁场力为F=lBb此力对线圈产生力矩（线圈其他边所受磁力对力矩无贡献），大小为M=Fd=BIdbcos0=

2.17方向沿y轴负向2-20一平面线圈电流为/,匝数为N、面积为S,将其放在磁感应强度为月的均匀磁场中,兹感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致若将线圈翻转180，求外力需要作的功解作用于载流线圈的磁力矩为M=p Bsin0=NISB sin6m当线圈转过妁角度时，磁力矩所作的元功为d3=-Md8=-NISBsin6d6磁通量为4m=BS cosd线圈转过de角度时,磁通量的改变为-B5s沆8曲,与d3相比较，得do=Wd6nl当线圈磁矩与的夹角由久增至%,穿过线圈的磁通量从力力变为务工时，其间磁力矩所做Br*m2IV==力dW NTd m=NT6m22-21利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度，设一霍尔元件用金属材料制成，其厚度为

0.15mm,载流子数密度为1024m-3,将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔电压为42火，测得电流为10mA求此时待测磁场的磁感应强度解霍尔电压的经验公式是IB=3从理论上可以证明1R H=—nq因此IB将题中数据带入，并令q=6,可得S=

0.1T2-22载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制p型半导体或n型半导体的载流子利用霍尔效应可以测量载流子的浓度和半导体类型如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为/,现测得霍尔电压为4证明样品载流子浓度为〃=一整eaUu解假定半导体是型的，载流子是电荷为e的正电荷，它的速度的方向与电流方向相同当样品内有垂直于电流方向的磁场时，载流子受到如图所示方向的洛伦兹力，其大小为fm=在这力的作用下，样品中空穴分布不再均匀在前表面附近浓度增大，而使前表面带正电；在后表面附近浓度减小，而使后表面带负电，在出现这种情况的同时，样品内必然会出现如图所示的静电场电场强度随着样品前后两表面附近空穴浓度差别越来越大而变得越来越强显然，当出现电场时，空穴也会受到E电场力尼作用，而这个作用力的方向是与7方向相反的上是个恒力，5随着电场增强而增强，因此一定会出现告=及这种情况自此以后，空穴浓度分布稳定了空穴受到的电场力和磁场力保持平衡，即evB-eE,E=在样品前后两表面分别带有正、负电荷，两表面之间就出现电压，这就是霍尔电压叫其大小为U R=Eb=vBt设样品内空穴浓度为n，样品垂直于电流方向的截面积为$，则电流I=nevS=nevba将此方程代入可得U=Eb=vBbHIB=—3U HnedM由此可得-777-e叫IB n=2-23如图所示，半径为R的圆片均匀带电，电荷面密度为，令圆片以角速度

①绕通过其中心且垂直于圆平面的轴转动求轴线上距圆片中心为％处尸点的磁感应强度和旋转圆片的磁矩解旋转带电圆片可等效为一组同心圆电流在圆片上离开圆心/处取一宽度为乙的圆环,环上所带等•效电流为-2jrrdra di=------------=-----圆电流成在圆片轴线上P点激发的磁感应强度为3J22r2+%2整个旋转带电圆片在其轴线上P点激发的磁感应强度为RB_f Hoa/r2dr^it aa[R2+2x2Q!2厂+炉成2[办2“2x圆片的磁矩为nr2-=7ffajrdr amnR4m=J nr2d/=4。