正余弦定理（学案）

一.解三角形的概念一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的4B,a,b,过程叫做解三角形.二.余弦定理定义三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

1..公式层=炉+/一26/,/=层+*-,/=层+按—〃/）2CCOS2CLCCGSB2cosC八一小.过炉十02一4a2-\-c2~b2a2-\-b2~c2（三边一2bc.公式变形2ac，2cib，3cos4=cosB=cos C=..使用条件

①两边一角求边

②三边求角角）4正余弦定理（学案）三.正弦定理（大边对大角）定义在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

1.2-A（该比值为该三角形外接圆的直径.）,使用条件

①两角一边求边或角

②两边一对应角±2R sin C3求角,正弦定理的变形形式4设三角形的三边长分别为Q,b,c,外接圆半径为R,正弦定理有如下变形:（l）Q=27sin）,b=2Rsin B,c=27sin/2sinZ=£金（角化边）,sin B=~,sin C=2R3:b:c=sin A:sin B:sin C.a-\-b-\-c”、4=2Rsin Asin Bsin Csin4+sin3+sin C（边化角）C四.三角形的面积公式

1.在△ZBC中，边BC,CA,43上的高分别记为九，hb，he，则

①S=-ah=~bhb=-ch;a c222

②S=-〃bsin C=~acsm B=-bcsm A.222题型一余弦定理2【例1-1］（2022•广东）在“8C中，角A,B,所对的边分别为，b,，若〃=石，c=2,cos/=］,则等于一6【答案】39Q【解析】根据余弦定理得力=〃+/—%ccos4,即5=/+4—2xbx2xz，亦即〃一力一二33或一!（舍去）6=3【例1-2］（2022•河北）在ABC中，若〃=7,6=8,sinC=地,则=14【答案】或百3【解析】因为是三角形的内角，且sinC=±2,所以cosC=±Jl-sin21314141313当、时,由余弦定理得则cos j=72+82-2x7x8x9,”31r13___________________JJ同理，当时，得°=历故答案为或衍.cosC=-:37V14【例1-3］（2022•江西）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,a若b=c=2a,则cosB等于（）【答案】B+（工〃2+2_21A A【解析】因为所以—=巳.故选/xc=2%cos8=°Blac lax2a4【例1-4］（2022•上海）在“8中，角A8C所对边分别是Qbc,若Q2+/_M=C2,贝【答案】I【解析】・・・/+/一仍=2,,cosC=巨士欧二:=,，♦・，0兀，.・.C=R故答案为lab233JT【例1-5］（2022•湖南）在中，内角4B,所对的边分别为Q,b,c,若ac=8,a+c=7,B=3,则b=.［答而TT【解析】由题知QC=8,Q+C=7,3=7，由余弦定理〃=a2+c2-2accosB,可得b2=a2-^c2-ac=（a+c）2-3^zc=72-3x8=25,贝ljb=

5.故答案为

5.若二,b,c,sin/3【例2-1】（2022•青海）在中,角4B,C的对边分别为a,a=2V2，6=3,则（）.sin3=A.IB.巫「V2D.平Lx•---------234【答案】BI【解析】因为！，=2也，力=3sin/=Q3,b由正弦定理^X3_血.故选B.得.bsmAsin5=一「-J sin8=----------题型二正弦定理【例2-2］（2020•河北）在43中，已知4=60°,〃=2百,6=2,则8=（）或或A.30°150°B.60°C.30°D.60°120°【答案】C【解析】因为在中，出力由正弦定理有仁=工,A=60°,a=2=2,sin Asin B广广…・八bsin A2x sin6（

11.「e、『，一r,口所以—=-,解得或又因为A可得力sin3=----------=-------3=30150°,Q〉Bra2,32所以不符合题意，舍去.可得，故错误.故选8=1508=30A,B,D C.【例2-3]（2022・湖北）在“3中,若8=45，c=20，b=巫,则角4的值是（）3或A.15°B.75°C.105°D.15°75°【答案】D【解析】•••8=45,c=2/，b=,..sinC=-^^=—/=与,3b4V323v00C180°,.,.C=60°或120°,.・.4=180°-8-C=15°或75°.故选:D【例2-4].（2022•黑龙江）在中，43=2,8=120,4=30,则45C外接圆的半径为（？？）A.—B.-C.2D.433【答案】C1【解析】因为,，可得=，由正弦定理得外接圆的半径=上~—=/8=2,4=308=12030R

2.2sinC故选C.题型三面积公式IT【例3-1］（2022•上海崇明）在中，a=2,b=l,C=-那么』8C的面积等于.9【答案】

①2【解析】由三角形面积公式得心叱」小皿=火院故答案为423=

3.1ABC222223【例3-2］.（2022•重庆）在ABC中，三个内角C的对边分别是〃也，若6=3,c=4,cos，=—,J则此三角形的面积为一.24【答案】3I----------4【解析】因为b=3,C=49cos/=-且4W（0,兀）可得sin/=Jl—cos/=—，1142424所以不，故答案为—S“8c=sin=gx3x4x J JJ乙乙【例3-3］（2022•湖南）在△NBC中，见仇分别为4民的对边，4=60°/=1,这个三角形的面积为百，则【答案】V13【解析】依题意解得由余弦定理得S=Lbcsin/=Lxlxcsin60°=C,c=4,22=712+42-2xlx4cos60°=瓜6Z【例3-4］（2022•霍邱县）在445中，已知=1,8=45,若△NBC的面积S=2,则△NBC的外接圆直径为__________________【答案】572【解析】得行；v S^=—acsinB,a=l5=45°,csin45°=2,0=4ABC9所以由余弦定理可得〃=/+，—2accosB=1+32—8=25，则6=5；因此，由正弦定理可得，△/BC的外接圆直径为2〃=）-=

50.sin5题型四边角互换【例4-1］（2022•山东）在448中，a,b,分别为内角A,B,的对边，若必1则^二a b【答案】54【解析】由正弦定理可得也=半=，则又3（0/）,则sin3=cos5,tanS=l,E8=f.abb4【例4-2］（2022•广东）在中角

4、B、C的对边分别为、b、c,且满足Gbcos/=〃sin8,角庆=【答案】y【解析］由拒可得配b cos A=a sin B,sin8cosA=sin AsinB,因为8£（0,7i）,.,.sin3w0,故百cos/=sinZ,/£（0,兀）,「.sin/wO,则，，力,故答案为£tanZ=K33【例•北京已知锐角的内角民的对边分别为也若区则4-3X2022ABC4Q c,=%sin3+C,8=.【答案】三【解析】在锐角ASC中，因为所以由正弦定理可得因为A V§^=2/sinB+C,GsinZ=2sin8sin8+C=2sin8sin4,所以母，因为所以=，故答案为sin”0,sin5=5e0,5,8y.【例】•山东东营在/BC中，则角是4-42022AZ a=bcosC+csin3,8【答案】£4【解析】由根据正弦定理得=bcosC+csin5,即=sin4=sin5cosC+sinCsinB,sin3+siaffcosC+sin CcosB=sin Bcos C+sin CsinBjr化简得即sin Ceos8=sin CsinB,tariff=1,•/B eB=—4【例4-5]2022・江苏在“BC中，内角4C的对边分别为力,，若后cosCacos5+bcos4+c=0,则角C的大小为.3%【答案】吟4【解析】*•*V2cosC{acosB^-bcosA^c=0由正弦定理有V2cos Csin Acos5+sin5cos4+sinC=0V2cos Csin/+8+sin C=0/.V2cosCsin C+sinC=0B a73TT・・・£0,不・•.sinCwO.・.收3+1=

0.・.馍5=-不-・,・=丁故答案为—.244【例4-6]2022新疆已知a、

6、c分别为25的内角

4、反C所对的边,若满足a+6-c・a+b+c=ab,则角的大小为【答案】120°【解析】由Q+力-ca+8+c=H,则/+〃一/=一所以cos J+2-02=—L2ab2则又兀所以=.cosC=—£0,120【例•全国•高一课时练习在中，内角的对边分别为，若4-7]20224B,C a,b,_〃卜则的值为a+/an5=Aac,8【答案】或日g【解析】根据余弦定理可知力+/=25,代入可得2—QCCOS/+c2—b2tan8=VJac,2accosB・空当=®c,即sinB二立，因为03〃，所以3=工或8=红cos5233。