弹性力学试题及答案-文档

弹性力学与有限元分析复习题及其答案

一、填空题

1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力应力及其分量的量纲是L MT

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题

7、已知一点处的应力分量x100MPa,50MPa,Q1050MPa,则主应力i150MPa,OMPa,

1162358、已知一点处的应力分量，x200MPa.y0MPa,k400MPa,则主应力i512MPa,-312MPa,i-37°57,.

29、已知一点处的应力分量，x2000MPa,1000MPa,中4MPa,则主应力i1052MPa,-2052MPa,i-8232，

0210、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分一部分是由本单元的形变弓I起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带弓I起的

16、每个单元的应变一般总是包含着两部分一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变

17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性

18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移

19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=l；在其他结点无0及乂=1£

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法一是将单元的尺寸减小，以便较好xy02bx0对上端面的任意X值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有y6ax对上端面的任意X值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为%2cx2cyxy斜面，y xtancos sm cos COS,没有面力,所以有myxxtan0,m xy y xtan0由第一个方程，得2cx6dxtan sicos4cxsinn6tZrta对斜面的任意x殖都应就立，这就要求n4c6dtan由第二个方程，得2cxtan singxtancos2cxtan singxsin0对斜面的任意M直都应成立，这就要求2ctan1分由此解得gcot_1gsot3（1分）,从而应力分量为gy，gxcot gycotgycoth设三角形悬臂梁的长为/,高为则tan根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿X1°方向的分量为0,沿7方向的分量为_1glh因此,所求在这部分边界上合成的主矢应为零,2划应当合成为反力_12glhodycotW钊cot8”glh^2COto gh2可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为.液体的密度为，试求应力分量21解采用半逆解法首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式取坐标轴如A X图所示在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成一部分由重力引起，应当与啕成正比是重力加速度）；另一部分由液体压力引起，（g应当与成正比此外，每一部分还与，有关由2g X,J于应力的量纲是L MTMT,和的量纲是L,1g2g量，而X和＞的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是%igx,B\gy C2gx D箭且合，而其中的A,B,C,是量纲一的量，只与y t有关这就是说，各应力分量的表达式只可能是和歹的纯一次式x其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是》和》纯三次式，因此，假设ax bx y cxy相应的应力分量表达式为3223y xfx2cx6dy,x yf6ax2by\gy,x2y y2bx Icy-£——9-£这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的现在来考察，如果适当选容各斗系数，是否能满足应力边界条件左面，x0,I1,加0,作用有水平面力2gy,所以有（X）%（）6dy2gy对左面的任意y值都应成立，可见d2g~6~同时，该边界上没有竖直面力，所以有（）个x o2cy0对左面的任意歹值都应成立，可见c0因此，应力分量可以简化为x2gy,6ax2byy砂，xy2bx斜面，x ytan,I cosmcossin,没有面力，所以有2myxmx tany0,0花F xjtan由第一个方程，得2tan sin2gycos0对斜面的任意》值都应成立，这就要求2btan sin2gCOS0由第二个方程，得6今tan2by\gy cos6otan sin46sinsin对斜面的粗意x值都必成立,这就要求6otan4b0由此解得b1IgCOt2g$ot,2gCOt2从而应力分量为2X2gr IgCOt2gCOt2gCOt yigxy2gXCOt第二种状态可取为弹性体受均匀压力p的状年（图3-1（b）），鸟力分量为5=区=Q=_夕a=孚6-5（6+6+5）=」0，任何方向的正应变都是=—三Up，力尸作用点之间的距离为/,在第二种状态下这段距离的缩短为上巨2p/,第二种状态边界£E上面力为t二=_p（q,生产三），（公产二为边界法向方向，根据功的互等定理，有PP，=声）・uds=1伏沏⑴+母W）+年）卬吗办=.PjJ（口⑴区+丫⑴2+wwn_）ds=------+--------+--------）^V=P-—=-PAl“J Rdy dzv△u=一尸支32/,也就是说体积缩小了尸支±2/E E地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“J”，在错误命题后的括号内打“X”）

1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙（J）

5、如果某一问题中，Z zxZ,0,只存在平面应力分量X,儿科且它们不沿Z方向变化，仅为X,歹的函数，此问题是平面应力问题（J）

6、如果某一|可题中，Z0,只存在平面应变分量X,y,且它们不沿Z方zx zyxyt向变化，仅为%.的函数，此问题是平面应变问题（J）

9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定（J）

10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定（J）

14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力（J）

15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变（J）

三、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在

（1）x AxBy,Cx Dy.y个Ex Fy;

（2）x A（xyy B（X y2）,）,Cxy,其中，A,B,D,E,F为常数xy C,222解应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件

（1）在区域内的平衡微分方程yyx XY-b22；

（2）在区域内的相容方程—T——X yo左y2y Xyx0;

（3）在边界上的应力边界I m~f svxq J条件vr_x水加y l丁f ys,•

（4）对于多连体的位移单值条件S

（1）此组应力分量满足相容方程为了满足平衡微分方程，必须4=-f此外还应满足应力边界条件D=-E0

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足4+3=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足上两式是矛盾的，A=B=・C/

202、已知应力分量x Qxy为C3X/体力不计，Q为常数322,CTXV试利用平衡微分方程求系数Cl,C2,C3因此，此组应力分量不可能存在解将所给应力分量代入平衡微分方程•yyXr歹yy0得Qy3Cix3c Cax22y20223Cxy2c中03即C CX323CQ2%冲02由x,y的任意性，得03Ci C30Q3c023c22c03由此解得，C1名

622323、已知应力分量xq、y q,盯0,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程解将已知应力分量X4q、号，代入平衡微分方y程-----------*v-XX X0Xxy4o一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才y V可知，已知应力分量X/满足按应力求解平面应力问题的相容方程虫X y2,2夕21%y2X将已知应力分量X q,y q,0代入上式，可知满足相容方程xy按应力求解平面应变问题的相容方程12y222X22y1%*v

14、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件,否可能存在将已知应力分量%yc Dy1/中，3,By xyy21AyBx2,Cxy;v⑶X0,D,yxy Cxy1其中，4B,C,为常数解应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知2

（1）相容

（2）2A2By C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足8=0,24=C

（3）0=；这组应力分量若存在，则须满足=0,贝IJ x0,歹0,xy0（1分）

5、证明应力函数by能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题2（体力不计，b0）oi卜h/2-------------------------------------h/2■1/21/2一解将应力函数by2代入相容方程--------------------------------------------------------------------►可知，所给应力函数by能满足相容方程2由于不计体力，对应的应力分量为X2y242对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件0上下左右四个边上的面力分别为0二，/0,m2上边,°，h0；2y下边，h I0,m

0.7y0;2h y-,2左边,1,2b,）X—2右边，2b、3X—/Oo2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力26因此，应力函数by能解决矩形板在方向受均布拉力和均布压力的问题2x（b0）（*0）

6、证明应力函数中能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题0）（体力不计，ah/2h/21/21/2ly解将应力函数孙代入相容方程44下-0y可知，所给应力函数中能满足相容方程4由于不计体力，对应的应力分量为yo,20,.一2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件以上下左右四个边上的面力分别为上边，y_h,I0mITfy02h下边，y_A,I0,m1,一f xh0;2左边，x I1,m Orxy/R，力x i/y右边，I m1,0,-/r；Q./z2X-z X-a22Q可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力%因此，应力函数盯能解决矩形板受均布剪力的问题、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量7解根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设A x由此可知A-0boq将上式对〉积分两次，可得如下应力函数表达式fXJ2（X）将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得yd d4f/4（x）2（x）dx4dx4这是的线性方程,y但相容方程要求它有无数多的解全柱内的直都应该满足它，可见它的系M数和自由项都应该等于零，即dx4dx4这两个方程要求/i（x）B女Cx If DxEx2（x）代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次播常窜项后，便得32DxBxEx对应应力分量为y（6Ax25）6Dx2Egyxy2Bx C3/4y以上常数可以根据边界条件确定x左边，加沿x0,/1,0,方向无面力，所以有v右边,x h,I1,m0,沿y方向的面力为q,所以有29q3Ab上边,y0,I0,m1,没有永隼面力，这就要求X，在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,bxyy odx0o将V的表达式代入，并考虑到=0,则有bBx oAb3Ax2Bxdx Ax°Bb0上合成的主矢量和主矩均为零，即b0,yy dxOdx自然满足又由于在这部分边界上没有垂直面力这就要求在这部分边界xyy0,2F0yy QXdx将，的表达式代入，则有b2Edx3D02Eb6Dx0b6Dx2Exdx E%b3Ebo2Db由此可得0,D0,0,2q y3xXqxy应力分量为虽然上述结果并不严格满足上端面处一e=o的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离歹=处这结果应是适用的

8、证明如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为/X%是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，2K7^.试导出相应的相容方程，xyX证明在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量X,个应当满足平衡微分方程yx（1分）Vo-还应满足相容方程fy,1（对于平面应力问题）vf%y[fy!-----------------------（对于平面应变问题）x vfyx并在边界上满足应力边界条件（1分）对于方连体，有时还必须考虑位移单值条件首先考察平衡微分方程将其改写为———“0歹V这是一个齐次微分方程组为了求得通解，将其中第一个方程改写为xV yx根据微分方程理论，一定存在某一函数力（X,力，使得V A,yxX A~y冲x同样，将第二个方程改写为—V—yyx yx可见也一定存在某一函数B（x,刃，使得（1V B、B-/yx由此得A Bxy因而又一定存在某一函数x,y，使得B x代入以上各式，得应力分量X2K为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得2222x2222%4yy1-------------X2简写为1r将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程,得222y2y-r简写为

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的1密度为试用纯三次的应力函数求解解纯三次的应力函数为hx ycxy相应的应力分量表达式为223x2y xfx2cx yX yf6ax2by gyyxy22bx2cy2这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的现在来考察，如果适当选择常邛系数，是否能满足应力边界条件上边，y0,/0,m1,没有水平面力，所以有。