第三章数据的集中趋势及其描述

第三章数据的集中趋势及其描述第讲众数与中数01第一节众数与中数第二节算术平均数第三节其他集中量数第一节众数与中数

一、众数众数，又称范数、密集数、通常数等，常用符号岫表示它是指一组数据中出现次数最多的那个数值众数是一种集中量数，可用来代表一组数据的集中趋势（-）众数的计算方法

1.直接观察求众数

2.用公式求众数（-）众数的意义与应用（-）众数的计算方法

1.直接观察求众数直接观察求众数的方法很简单，就是只凭观察找出出现次数最多的那个数就是众数如，一组数据

1、

3、

3、

4、

3、

5、6,其中3出现的次数最多，因此3就是众数再如，一组数据

3、

3、

4、

5、

5、

6、

7、

8、8,其众数就是

3、5和8由此可见，一组数据的众数可能不是唯一的如果一组数据被整理成了次数分布表，那么观察次数最多的那个分组区间的组中值就是众数依据次数分布（表）计算众数会受到分组的影响因为，对同一组数据，由于分组时的组距大小不同，各区间的上下限也可能不一致，在数据次数分布表中，数据最多的那一组的组中值就有可能不同，因而众数也就有可能不同

2.用公式求众数计算众数的方法应用较多的是皮尔逊（Pearson）经验法和金氏（W.I.King）插补法如下是金氏插补法，适合次数分布比较偏斜的情况，比较接近正态的分布也适合使用这一方法=心+——Xi

3.1-众数所在区间的实下限；其中，Lb-高于众数所在组一个组距的那一分组区间内的次数;fa-低于众数所在组一个组距的那一分组区间内的次数;fb组距例3-1已知66份《教育统计学》试卷的得分分组情况如下表所示，试求这66个得分的众数调和平均数，因在计算中需要先将各个数据取倒数平均，然后再取倒数，故又称倒数平均数（-）计算公式调和平均数的计算公式是”力巧AR b其中，n——数据个数；巧——变量值

（二）调和平均数的应用调和平均数在教育与心理研究中的应用,主要是用来描述学习速度方面的问题调和平均数作为一种优集中量数，它在描述速度方面的集中趋势时,于其他集中量数例3-103名学生完成某项规定动作的速率如下表所示:学生次/分钟甲20乙25丙30试求他们完成此项规定动作的平均速率解这是关于平均速率的问题，应该用调和平均数来描述根据（

3.11）式:■■1+,■+■■1202530因此他们完成此规定动作的平均速率为

24.324次/分钟值得注意的是，这里用算术平均数J=25（次/分钟）不能正确地反映他们完成任务的平均速率，因为，让他们每人各完成25次规定动作的总时间为丁=丝+左+生=308（分钟），超过了3分钟，即202530他们完成规定动作的平均速率一定低于25次/分钟Reviews

一、几何平均数（-）几何平均数的基本公式

（二）几何平均数在教育与心理研究中的应用

二、调和平均数

（一）计算公式

（二）调和平均数的应用本章回顾第一节众数与中数众数/中数第二节算术平均数总体平均数与样本平均数加权平均数算术平均数的性质及其优缺点众数、中数和算术平均数之间的关系第三节其他集中量数几何平均数调和平均数【例题•单选题】一组数据中出现次数最多的那个数，称为（）A.MoB.MdXc.D-Xr『正确答案J A『答案解析』众数是一组数据中数量最多的数，用M表示参见教材P43【例题•单选题】将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数，可以得到（）A.算数平均数B.中数C.加权平均数D.众数『正确答案』Cr答案解析』加权平均数的理解加权平均数是指当总体中各部分数据的权数不相等时，根据各部分数据的权数计算出的平均数参见教材P48【例题•单选题】某年级4个班的学生人数分别为50人、52人、48人、51人，期末数学考试各班的平均成绩分别为90分、85分、88分、92分，则该年级的平均数学成绩为（）A.

88.75B.

88.74C.

50.25D.

93.06『正确答案』B『答案解析』利用（

3.7）式求加权平均数参见教材P48组别组中值次数12380~8482575~7977470~747246569679〜

60、64621355~59571050~54521145~4947640~4442235~39371合计66解由于是分组数据，观察次数最多的组为6064这一组，根据金氏插补法,〜9M=

59.5+-------------x5=

61.87o19+10

（二）众数的意义与应用L众数的概念简单明了，易于理解

2.计算时不需每个数据都加入，较少受极端数据的影响

3.不稳定，易受分组影响，也易受样本变动影响

4.用公式计算所得的众数只是一个估计值

5.众数不能做进一步的代数运算，总数目乘以众数与数据总和也不一定相等

6.在统计实践中，当一组数据出现不同质的情况，或分布中出现极端数据时，可用众数作为集中量数的粗略估计

一、中数中数，又称中位数、中点数、中值，符号为号或Man,它是指位于一组数据大小序列中间位置的那个数值它可能是序列中的某一个原始数据，也可能不是原始数据而是通过计算得到的一个数值如果将一组数据按照大小顺序排列，那么中数一定是将数据个数平均分为大小相等两部分的那个数

（一）中数的求法

1.未分组数据中数的求法

2.分组数据中数的求法

1.未分组数据中数的求法首先将数据按照大小顺序排序，然后找出位于中间的那个数，即中数其中,-一中皴在数据序列中的位贵；n”.数据个数n-然后再求数据序列中位于位置上的那个数一一儿如果数据个数为奇数，则求得的14n”为整数，迓接在数据序列中找出位于位照上的数，此寸求得的中触是原始数据n BJ惹数据个数为偶数，则求得的.为小数，此时中数等于第;与第位贵的两个数相加除以n”5+12例3-2某调查研究获得了19名大学生的智商分数如下所示，现欲大致了解他们的智商分数的典型情况，请问怎么办？698890919397100105106108111114115115118119120125136解由于这19名大学生的智商分数中存在极端数据，用中数描述其典型情况比较合适口“则儿=・4=1^=10,108例3-3某调查研究获得了22名小学生的智商分数如下所示，现欲大致了解他们的智商分数的典型情况，请问怎么办？69889091939697100104105106108111114115115118119120120125136解=吧=则115106+108-2=107°42a

2.分组数据中数的求法对已经分组的等距数据，可用如下公式中的任意一个计算中数-居2M.=4+^r-xi33-月2y——xi

3.4其中，L——中数所在组的实下限值；bL——中数所在组的实上限值；n------样本容量；Fa——中数所在组上限以上的累计次数；屋一一中数所在组下限以下的累计次数；f——中数所在组的次数；■组距1例3-4已知66份《教育统计学》试卷的得分分组情况如下表所示，试求这66个得分的中数向上累积，以下分布向下累积，以上分布组别组中值次数频率（%）次数频率（%）次数频率（%）

1234567880848257.

5866100.

0057.58〜

75797746.

066192.

42913.64〜70~

747246.

065786.

361319.

70656967913.

645380.

302233.34〜60~

64621218.

184466.

663451.

525559571218.

183248.

484669.70〜

5054521116.

672030.

305786.37〜

45494769.

09913.

636395.46〜40~

444223.

0334.

546598.

4935393711.

5111.

5166100.00〜合计

66100.00解因为总次数为66,由向上累积或向下累积次数可知中数在6064这一组中根据（

3.3）式,〜

66.32帆=2595+--------------x5=599Z,12

（二）中数的优缺点及其应用

1.中数具有计算简单、不受极端数据影响的特点

2.由于中数是根据数据的相对位置来确定的，在计算时不是每个数据都加入计算，因而有较大的抽样误差

3.难以做进一步的代数运算，在多数情况下，中数不如平均数应用广泛4•应用情形当一组观察数据中出现极端数据时；或一组数据的两端有模糊数据出现时；当需要快速估计一组数据的典型水平时，用中数来描述这组数据的集中趋势更科学、合理Reviews

一、众数

（一）众数的计算方法

1.直接观察求众数

2.用公式求众数

（二）众数的意义与应用

二、中数

（一）中数的求法1•未分组数据中数的求法2,分组数据中数的求法

（二）中数的优缺点及其应用第讲算术平均数02第二节算术平均数算术平均数一般简称为平均数或均数、均值，有时也被称为“数学期望”只有在与其他几种平均数，如几何平均数、调和平均数等相区别时，才称它为算术平均数算术平均数是用以度量连续变量的一组数据集中趋势的最常用的集中量数

一、总体平均数与样本平均数

二、加权平均数

三、算术平均数的性质及其优缺点

四、众数、中数和算术平均数之间的关系

一、总体平均数与样本平均数

1.总体平均数如果一个总体X包含N个元素，Xi是这个总体的第i个元素，则称Xi为第i个观测值，那么对总体X而言，总体的算术平均数被定义为二1”唔为（）

3.5其中，u——总体算术平均数；N——总体容量；Xi——第i次观测值u作为一组数据的参数，较好地反映了一组数据总体的集中趋势，很多统计研究的目的就是为了得到总体平均数

2.样本平均数很多时候人们无法对总体进行全面观测，实际上经常得到的是关于被研究对象总体的一个样本的观测值这时，这个样本的算术平均数被定义为11•一（）X=-yx.

3.6其中，又一一样本平均数；n——样本容量例3-5在某校四年级学生总体中抽取35名学生样本，测得他们期中考试的语文成绩如下所示，试求它们的平均分数655467806950716886757889638271748366697779808485877667758388907282748065+54+…+80=

75.4解根据公式（

3.6）,平均分数为:35

二、加权平均数37如果已知各组平均数和各组频数，求总的平均数时，便要使用加权平均数的方法，其计算公式为:苴中，一一总平均数（或加权平均数X bw……，各组舞m,m,m nJ灯……，尺——各组平均数Xr Jn=ni+n H----Fn--------总数t2k例3-6某学校三年级4个班某次数学测验分数如下表所示，试求该校三年级4个班该次数学测验的平均分数班别nXA

81.336B

79.640C

76.242D

78.539解根据

3.7式求加权平均数539_

81.3x36+796x40+762x42+78X7O QX==/O.Oo,36+40+42+39使用加权平均数对分组等距或等比数据求平均数如例3-1的数据,组别组中值次数12380~8482575~7977470~7472465飞967960~64621255~59571250~54521145〜494764044422〜3539371〜合计66若要求其平均数，则应是各组的次数乘以各组的组中值的和再除以数据总数，即:+一82x5+77x4+42x2+37x1=

60.7966

三、算术平均数的性质及其优缺点（-）算术平均数的基本性质

（1）每个观测值都加上一个相同的常数d后，计算得到的平均数等于原平均数加上这个常数即，（为常切.d,3=x+d d

（2）每个观测值都乘以一个相同的常数c后，计算得到的平均数等于原平均数乘以这个常数j即，若产为慢于郸常蜘则丫=y cxxK•

（3）每个观测值都乘以一个相同常数c,再加上一个常数d后，计算得到的平均数等于原平均数乘以该常数c再加上常数d,即，（若（为不等于零的常数）,则丫y,=oq+d=cX+ch

（4）观测值与平均数的差（即离均差或离差）的总和为零，即,n y工工《—K

（5）观测值与任意常数c的离差平方和，不小于观测值与平均数的离差平方和，即，之％区-对区^仅安二丽曲8-£Hbl推断统计中常用到“离差平方和最小”的原则就来自

（5）这一性质根据这一原则可知，样本平均数是总体平均数的最佳估计

（二）算术平均数的优缺点L算术平均数具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简便并能做进一步的代数运算等优点，是统计分析中应用最普遍的一种集中量数

2.应用如果一组数据比较准确可靠，且是同质的，而且需要每个数据都加入计算，同时还要做进一步的代数运算时，一般都使用算术平均数来描述其集中趋势

3.算术平均数比较容易受极端数据的影响，当出现模糊数据和存在不同质数据时就无法计算算术平均数

四、众数、中数和算术平均数之间的关系三种集中量数之间的一个关系，也是求众数的皮尔逊经验方法M=3M-2X

3.80d其中，Mo——众数Md——中数X——平均数例3-7若已求得一组数据的J=

76.2,Md=

75.9,试求其众数解:根据

3.8式，众数为:Mo=3X

75.9-2X

76.2=

75.3o Reviews

一、总体平均数与样本平均数

二、加权平均数

三、算术平均数的性质及其优缺点-算术平均数的基本性质二算术平均数的优缺点

四、众数、中数和算术平均数之间的关系皮尔逊经验方法第讲其他集中量数03第三节其他集中量数

一、几何平均数1一组数据中任何两个相邻数据之比接近于一个常数，即数据按一定的比例关系变化在教育与心理研究中，当求平均增长率或对心理物理学中的等距与等比量表实验的数据进行处理时，均应使用几何平均数2当一组数据中存在极端数据，分布呈现出偏正态时，此时算术平均数不能很好地反映该组数据的典型情况，应使用几何平均数或其他集中量数，如，中数、众数等来反映该组数据的典型情况-几何平均数的基本公式计算几何平均数的基本公式如下―广”严•…

3.9苴中，看一一几何平均数j数据个数n-----J七原始数据.在统计实践中，应用

3.9式计算几何平均数，在n很大时，要开n次方，计算比较困难，为此,可使用对数形式来计算因而，几何平均数有时又称对数平均数,其对数形式的计算公式如下:Xg=\gl\^——\（）

3.10lgl一项阚%的对数.Igx,

（二）儿何平均数在教育与心理研究中的应用

1.心理物理学中等距与等比量表实验的数据处理例3-8欲研究介于S1和S2两感觉之间的感觉的物理刺激是多少，随机抽取10名大学生被试样本，调节一个可变的物理量的刺激，使其产生的感觉正好介于Si和S2之间，并测试这个物理量,其结果为:

6.4,

6.6,

6.0,

7.6,

8.2,

9.5,

8.9,

10.3,

14.2,

16.0试求介于和S2两感觉之间的感觉的平均物理刺激量是多少o解这是等距量表实验，应求几何平均数，根据（

3.9）式，x

6.6x

6.0x7,6x82x

9.5x

8.9x

10.3x

14.2x

16.0=

8.9•即，产生介于S1和S2两感觉之间的感觉的平均物理刺激量是

8.9o

2.教育与心理研究中平均增长率的计算例3-9某市近几年的高中毕业生人数如下表所示，试求其平均增长率，试估计照此速度增长，到2008年将有多少高中毕业生年度学生人数变化率

20004000200142001.05004200/

4000200243801.04294380/

4200200345001.02744500/

4380200445601.01334560/4500解本题欲求平均增长率，即以2000年为基数，试求2000年之后4年的平均增长率根据（

3.9）式先求平均变化率Xt=^.0500x

1.0429x

1.0274x

1.0133=LO331从而平均增长率为

1.0333-1=

0.0333即，该市4年的高中毕业生人数的平均变化率为

0.0333,照此增长速度，4年后（2008年）该市的高中毕业生人数估计为X=4560x（

1.0333）4=519

二、调和平均数。