《同济大学高等数学》课件

同济大学高等数学课程概览数础课组课将绍高等学是同济大学基程体系的重要成部分本次PPT件全面介高数课内等学的程容、教学安排及考核要求作者JY JacobYan课程简介全面覆盖高等数学核心理论与应用并重知识课将论识应程理知与工程实际用课数内结数维本程涵盖高等学的主要容,合,帮助学生建立学思,培导数积养问题包括极限、、分、微分方解决实际的能力础计程等基概念和算方法注重学生互动与讨论励积对识采用灵活多样的教学方式,鼓学生极参与,增强知的理解和掌握学习目标掌握基础知识数论为续习坚础深入理解高等学的基本概念和基本理，后学奠定实基运用数学工具练数计应问题熟掌握各种学算方法和技能，能够灵活地用于实际求解培养数学思维过习养严谨逻辑维维问题问题通学培的思和抽象思能力，提高分析和解决的能力数学概念回顾进数习们顾础数这在入高等学的学之前，我需要首先回一些基学概念包括集合、数数内这础识将为续数习函、列、极限等容掌握些基知后更深入的高等学学奠坚础定实的基过顾这数们数应为通回些学概念,我可以更好地理解高等学的核心思想和用原理,续习础后的学和理解打下良好的基函数与极限函数概念1对应关建立输入输出的系函数类型2数数数多种函形式，如一次函、二次函等极限概念3数现分析函在某点附近的表极限计算4质进计运用极限定义和性行算数数础对应关数质则们数函概念是高等学的基，描述了输入和输出之间的系不同类型的函有其特点和性而极限概念帮助我分析函在某一点附近现数续积习础的表掌握函与极限是后微分学的基导数概念与性质导数定义重要性质导数数时导数线是函在某点处的瞬变化具有性性、可微性等重要数该趋势质为续积论率,描述了函在点的变化性,后微分理奠定了基础几何意义物理意义导数数线导数可以表示函曲在某点的在速度、加速度等物理量的线观现数趋计切斜率,直展函的变化定义和算中起重要作用势基本导数公式基本导数公式公式应用重点练习数导数练这导数应议过练习对导数高等学中存在一些基本的公式,如常熟掌握些基本公式并能灵活用,建通大量的实例,加深基本数导数数导数数数导数对续习积内关练应这杂的、幂函的、指函的、于后学微分、分等容至重要公式的理解和熟用样在遇到更复数导数这导数时这题导数问题时应进三角函的等,些公式是求解学会运用些公式可以大大提高解的效率的,也能得心手地行求解的重要工具复合函数的导数链式法则1链则数导数根据式法求复合函的内层函数2数内层数找出复合函中的函外层函数3数层数找出复合函中的外函数数组数数导数时链则内层数层数链复合函是两个或多个函相互合而成的新函求复合函的需要运用式法,首先确定函和外函,然后根据式则进导这数法行求种方法适用于各种形式的复合函隐函数的导数定义1隐数过给数显函是通等式形式出的函,其中因变量y未被式表达求导原理2隐数导数利用全微分公式,可以求出函的表达式应用实例3隐数导数许问题应函在解决多实际中有广泛用,如流体力学和经济学高阶导数概念理解计算方法应用领域阶导数对数进阶导数时应阶导数数高是指函行多次求高，需要反复用高在学分析、物理学、导结导数对杂数计领应求的果它可用于描述曲基本公式于复函，工程设等域广泛用它线趋势过链则隐数导线轨的变化，如斜率的变化可通式法或函求可用于描述曲的拐点、迹过阶导数们进计阶导数结规率通高我可以深法行算高的果的变化律、系统的振动特性数为杂阶导数积入分析函的行特征可能会很复等高是微分的重要工具微分微分概念数数微分是研究函在某点处的增量与自变量的增量之比的极限它描述了函在某点附近的局规部变化律微分公式导数质导为问题根据概念和性，可以推出各种基本微分公式，解决实际提供了强大的工具微分在应用中的作用领应计线微分在几何、物理等各个域都有广泛用，可用于算切斜率、最值、曲率等微分在几何和物理中的应用应计线线微分在几何学中有广泛用微分能够算曲在某点的切斜弯则状率、曲率和曲程度在物理学中,微分可用于描述物体运动态这计对的变化率,如速度、加速度等些几何和物理量的微分算态计于分析系统动、优化设都是必不可少的不定积分概念积分定义积分性质应用场景求解方法积寻数过积线质积领积不定分是指找原函的不定分具有性性,即不定分在物理、经济等域常见的不定分求解方法包括数数导数为应计积换积程原函是指函的∫fx+gxdx=∫fxdx+广泛用,可用于算位移、基本分公式、元分法和给数过积积定函的程∫gxdx功、功率、面等量分部分法等基本积分公式基本幂函数积分三角函数积分对数对数于形如∫x^n dx的基本幂函于三角函，有∫sinx dx=-积时分，有n≠-1∫x^n dx=cosx+C和∫cosx dx=积x^n+1/n+1+C sinx+C等基本分公式指数函数积分反三角函数积分对数数对数于指函，有∫e^x dx=于反三角函，有∫1/√1-积e^x+C和∫a^x dx=a^x/lna x^2dx=arcsinx+C等基本积+C等基本分公式分公式换元积分法识别积分变量细积积进换仔分析原分式中的分变量,找出适合行元操作的变量选择合适的换元公式积选择当换将积转为简单根据分变量的特点,恰的元公式分化更的形式进行变量替换选换对积进换按照定的元公式,原分式中的变量行替计算新的积分式换导积进积计根据元公式推出的新的分式,行分算回到原变量将计结换转换最后算果依照元公式回原始的变量形式分部积分法设置拆分点1将积数为被函划分两个部分计算单独部分2别计积分算两个部分的分组合积分3将结进组终结两个部分的果行合得到最果积应对杂积问题过将积数为别们积组来分部分法是一些复的分的重要工具通被函巧妙地划分两个部分,分求出它的分,然后合起就可以得积结这积积时别到原分的果种方法在处理包含乘形式的分特有用定积分概念积分几何意义定积分的物理意义定积分的计算方法积线积积应积过换积定分表示一个曲下的面,具有几何意定分在物理学中有广泛用,如表示位移、定分可以通基本公式、元法、分部计线转积热积进计义,可用于算曲弧长、旋体等功、量等量的累值分法等方法行算定积分的基本性质整段性正负性12积当数积区时定分是一个整体概念,不能拆函在分间上取正值,为单独计积为当数负时分的小部分算定分正;函取值,积为负定分线性性定理34Mean Value积满线质积积区定分足性性,即分的在分间上存在一个特定点,换积该数加法与乘法可以互使得分值等于点的函值区乘以间长度利用定积分计算面积和体积定积分与面积1过计线围积积术通算平面曲成的面，可以利用定分技求出所需积这线积计面种方法适用于各种曲的面算定积分与体积2对转积计积过积于旋体的体算，也可以利用定分的概念通分图轴线转积求出平面形沿一定旋所形成的体应用实例3计抛线围积计转抛积例如，算物成的面，或者算旋物面的体，过积数都可以通定分的方法得到精确的值微积分基本定理牛顿莱布尼茨定理-积关积建立了分和微分的反向系，是分和微分之间的重要联系基本积分定理积对数积应进表明定分是一种函的累效行量化的方法优化应用问题问题线积可用于解决最大最小、速度和加速度、曲长度和曲面分等常微分方程简介概述基本类型应用领域解法技巧为阶阶应常微分方程是含有一个或多个常微分方程可分

一、二常微分方程广泛用于物理、求解常微分方程需要掌握变量数导数数项领换阶线未知函及其的代方程等,根据右端的形式又可分化学、生物、工程学等域,分离法、变量替法、一领为线线们扩获它在物理学、工程学等域广性和非性方程它各可描述电路、振动、散、种性方程解法等技巧,以得方应许问题应场态问题泛用,描述了多实际有不同的求解方法和用景群动等实际程的通解或特解规的演化律一阶线性微分方程确定型1数数常系变量系数2数可微系齐次型3独项无立非齐次型4独项有立解法5特解+通解阶线数础论们为数进区为过结一性微分方程是学分析中重要的基理它可以分确定型和变量系两大类,一步分齐次型和非齐次型通特解和通解的合可以得出方程的完整解这识为续习级论坚础些知后学微分方程的高理奠定了实的基二阶常系数线性微分方程基本形式阶数线为二常系性微分方程的一般形式axt+bxt+cxt=ft其中a、为数b、c常解的结构组一般的解由两部分成:齐次方程的通解和特解齐次方程的通解用特征方程则项求解,特解取决于右端ft的形式特征方程过通求特征方程的根,可以得到齐次方程的通解特征方程是ax^2+bx+c=0求解步骤写写

1.出特征方程

2.求特征方程的根

3.出齐次方程的通解

4.求特解

5.得到完全解幂级数解法概念与性质求解步骤收敛性分析级数穷级数为级数将关键级数敛径过敛幂是一种无形式，是微分方程的首先假设解幂形式，其代入微分方在于确定幂的收半通收应过关数级数过数较级数数径计级数一种广泛用通构建于参的幂程中，通系比确定的系最后半的算，可以得知幂解在何种条件该敛级数敛径时级数解，可以得到微分方程的近似解方法适得到收于原微分方程解的幂解下适用超出收半，幂解不再有线用于性微分方程的求解效偏微分多变量函数偏导数12针对数导数数对偏微分是多变量函的微偏是指一个多变量函数导数分运算它可以描述函在某某一个特定变量的，其他时为数一变量发生微小变化，其他变量视常变量的变化情况几何意义应用领域34导数数许领偏反映了函在某个特定偏微分在多科学域都有广应方向上的变化率，在几何上可泛用,如物理学、经济学、工为该线杂以理解方向的切斜率程学等它是理解和研究复现象的重要工具偏导数概念及性质定义几何意义性质导数数对导时导数数图导数线换质偏是指函某个自变量求,其偏描述了函像在某一平面上的偏具有性性、可交性等性,有为数导数数该简计数他自变量视常的它表示了函斜率,反映了函在方向上的变化情况助于化算并分析函的局部变化数在某个方向上的变化率全微分定义性质12计数线全微分是一种算多元函微全微分具有性性、加法性和数质质简计分的方法它描述了函在一同性等重要性,可以化区内过个小域的变化率算程应用计算34应数导数计全微分广泛用于多元函的可以利用偏算全微分,得问题问题数极值、最优化和物理到函在指定点的微小变化量领等域隐函数定理数学基础隐数数础数论函定理建立在多元函微分学的基之上，是学分析的重要理之一函数关系这它研究了在方程中存在未知变量的情况下如何求解些未知变量广泛应用隐数问题领应函定理在微分方程、优化、物理学等多个域都有广泛用隐数数为组论础函定理是学分析中的一个重要概念，它求解方程提供了有效的理基重积分概念双重积分应用领域积对数积应重分是二元函在一个矩形重分广泛用于物理、工程、区内积为对领计积域的分,可分先一变量几何等域,可用于算面、体积对积过积质分,再另一变量分的程、量等物理量计算方法积内积换积进计重分可采用外分交的方法,或直接运用二重分公式行算二重积分计算定义二重积分1积对数维区积来计二重分是二元函在二域上的分，可以用算平区积积面域的面或立体物体的体计算步骤2积区对该区进计首先确定分域，然后域行分割并逐步算每个小区积将们域的分，最后它相加常见计算方法3计积积积积常用的算方法有先x后y以及先y后x等，要根据实际选择情况合适的方式结束语谢认习积课获数感各位学生的真学和极参与希望大家在本程中收了丰富的学知识数应础将应和分析能力高等学是科学研究和工程用的基,希望大家所学用于践断问题让们为创进贡实,不提高解决实际的能力我一起追求新与步献力量。