第三章--第1节--射影定理-解析版

第章解三角形3第节射影定理1知识与方法a=/cosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA射影定理在△ABC中，4提醒大题不建议直接使用射影定理，可按此定理的证明过程来书写.典型例题【例题】（2017•新课标n卷）△ABC的内角A、B、C的对边分别为〃、b、c,2/2COSB=QCOSC+C COSA,则、3=.【解析】解法1乃一2cos B=a cos C+ccos An2sin Bcos B=sin Acos C+sin C cos A=sin A+C=sin3=sin3__17T因为所以2sin Bcos B=sin B,0Bv»,故即sin50,cosB=—,8=—.2解法2由射影定理，277cos3=acosC+ccosA=〃，故cos5=,jr2，结合知3=—.3【答案】-3，则cos A=a cos C cos A=【解析】解法1\/3b-cjcos A=a cos C=cos A=sin Acos C=^V3sinBcosA=sin Ccos A+sin AcosC变式在△口（中,1一=A/3sin Bcos A=sin A+C=sinB=sin Bn cos A=cos A=6zcos C=V3Zcos A=ccos A+QCOS C,由射影定理，所以故CCOS A+61cosC=h G/cos A=/,C0SA=393【答案】—3变式2在△ABC中，若sin A+sin3=sinCcosA+cos3,则=.【解析】解法1在△ABC中，sin A=sin[万一3+C]=sinB+C=sin BcosC+cosBsinC,sin8=sin[万一A因为所以+C]=sin AcosC+cosAsin C,sin A+sin B=sinCcos A+cos B,sin BcosC+cos Bsin C+sin AcosC+cosAsin C=sin CeosA+sin CeosB,化简得，所以sin BcosC+sin AcosC=0sin A+sinBcosC=0,0A/r一.sinA0n因为0BTT,所以,故从而所以sin A+sinB0,cosC=0,C=—.0C7T sin B0272,^22-2-272Ab+c-a a+c-b------------+从十‘一吸一sin A+sin8=sin Ccos A+cos Bn a+b=c--------------,两22端解法2同乘以2ab得2crb+lab1=ah2+ac2-tz3+a2h+he2-h3,所以a+erb+Z73+Q/72-ac1-be1=0,从而a2a+Z+b1-c26/4-Z=0,即〃+//+Z2-c2=0,所以2+从一/=0,故片+=/,即C=工.2解法3sin A4-sin B=sin CcosA+cos B=a+b=ccos A+ccosB,两端同时加上和得a cosC cosC（）（），a+b+6zcosC+bcosC=ccos A+acosC+ccosB+ZcosC结合射景2定理可得a+Z+acosC+Z7cosc=〃+〃，即（a+b）cosC=0,也即cosC=0，又0C—，故C=—.22强化训练（•广东•★★★）在△回（中，角、、所对应的边分别为〃、、已知则/.

1.2014A Bb c,6cosC+ccosB=2b,b【解析】解法1/cosC+ccos B=2b^sin BcosC+sin CcosB=2sin B sin（B4-C）=2sin B（〃一）=sin A=2sin5=sin A=2sin B=a=2bn*=

2.解法2由射影定理，bcosC+ccosB=2bna=2b=4=

2.bcos A-2cosC2c-a sin Cmil

2.★★★在△回中，若------------------=---------，则-------sin A【答案】2【解析】解法1cosA-2cosc2c-a2sinC-sin4n人仁・八c.小------------------=---------=-------------------=sin ncosA-2sin BcosC=2sin Ccos B-sin AcosBcosB sin Bn sin Bcos A+sin AcosB=2sin BcosC+2sin CcosB=sin（A+B）=2sin（8+C）n sin-C）=2sin-A）-一八.A sinCnsin C=2sin An---------=

2.sin A解法2,八八八八-八」言）cosA-2cosc2c-a〜4h一由-------c-o--s-B-------=---------=bcos A-2/cosC=2c cosB acosB=/cosA+a cosB=2/cosC+2c cosB,所以rr Hlsin CCc-------------=一=

2.影定理，c=2a,sin Aa【答案】

23.★★★在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是Q=3,b=4,c=6,则人ccos A+或:cos5+.ZcosC的值为.【解析】由射影定理，be cosA+ac cosB+ab cosC=c[b cosA+a cosB^ab cosC=c2-^-ab cosC=2+6-ex*/*/_6122【答案】-

24.★★★在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为人b、c,满足玉+*=吧0,则」sin Asin B■匕.〃刀、*cosAcos5sinC.1cosA cosB sinCn---------+--------=--------=1,【解析】解法1------+--------=--------sin Asin Bsin CcosAcosBcos Asin B+cosBsin Asin（A+8）sin（^-C）sinC----------------1sin Asin Bsin Asin B——,sin AsinBsin AsinBsin AsinB所以‘insin Asin BcosAcosB bcosA+acosB c解法2由射影定理,----------------------------------------1=a b----ab abab又由题意，竺竺？=吧所以£=吧故£=《，所以i+0,0,11sin-C=sinC,a bc abc absin AsinB因为万，所以故OvC sinC0,smC sin AsinB【答案】

15.★★★在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、b、c,M6z=/cosC+V3csinB,则3=.【解析】解法1a=bcos C+V3csin B=sin A=sin BcosC+A/3sin CsinB©,X sinA=sinB+C]=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC,代入式

①得sin BcosC+cosBsin C=sin BcosC+A/3sin CsinB,所以布=抽抽因为，所以又85356553,0180sinC0,cos5=73sin,^tanB=—,3所以.0°B180°,8=30解法2由射影定理，a=bcosC4-ccosB,又a=bcosC+V3csinB，所以ZcosC+ccos5=ZcosC+Gcsin5,从而又，所以.ccosB=gcsinB,i^tanB=—,051805=303【答案】30°

6.★★★在△ABC中，内角A、B、的对边分别为〃、b、c,且人=QCOSC,C=30°,c=2,则△ABC的面积为.【解析】解法1Z=6zcosC=sinB=sin AcosC.又[乃-sin8=sinA+C]=sinA+C=sin AcosC+cosAsin C,所以从而因为所以故sin AcosC+cos AsinC=sin AcosC,cosAsinC=0,0°vCvl800,sinC0,cosA=0,又04180，所以A=90，因为C=30，所以人=26，S=-bc=yf

3.ARC△/IOC2解法2由射影定理，b=acosC+ccosA,又由题意，b=acosC所以acosC+ccosA=acosC,从而cosA=0,因为04180，9所以，又，所以〃百，4=90C=30=2S=-bc=^.ARC【答案】V

37.（★★★）在△ABC中，内角A、B、的对边分别为、b、c,若〃=acosC+ccos3,且9•国=1,则AABC的面积为.【解析】由射影定理，又所以化简得b=acosC+ccosA,Z=acosC+ccosB,4cosc+ccos=acosC+ccos3,cosA=cosB,因为£（0,乃），且函数y=cosx在（0,乃）上\，所以A=B,故=力，又C4・C5=1,所以ab cosC=1,从而2abeos C=a2+b2-c2=2,结合可得a=Z=百，所以cosC——=—c=2ab3sinC=71-cos2C=,故s=—absin C=叵.ARr3△/IZJC【答案】V2。