《集合概念与符号》课件

集合概念与符号集合是由若干特定元素组成的整体集合概念是数学基础知识中最重要的概念之一,它为其他数学概念的定义和研究提供了框架理解集合的表示方式和计算方法对于后续深入学习数学非常关键集合的定义集合的概念集合的表示集合是由具有共同特征的事物所集合通常用大写字母如A、B、C组成的整体集合是一个具有确等表示元素用小写字母如a、b定边界的对象、c等表示集合的作用集合是数学和其他学科研究的基础概念之一,为分类和分析事物奠定了基础集合的表示方法文字描述1用语言文字对集合进行定义和描述集合符号2使用大括号{}表示集合列举法3列举集合中所有的元素特征定义法4用某种特征来定义集合集合可以用多种方式表示,包括文字描述、集合符号、列举所有元素以及根据特征定义等这些表示方法各有优缺点,应根据具体情况选择合适的表示方式集合元素的表示集合表示法命名元素隐式表示无序性集合可以用花括号{}表示,其元素可以用字母、数字或者其当集合元素满足某种特性时,集合中的元素是无序的,与元中包含集合的所有元素例如他符号来命名,如集合B={a,b,可以用集合描述的方式来隐式素出现的顺序无关集合A={1,2,3,4,5}c,d,e}表示,如集合C={x|x0且x6}集合的特征元素无序性唯一性确定性集合由一些可识别的对象组成,集合中的元素没有先后顺序,它集合中的每个元素都是唯一的,对于给定的对象,我们可以明确这些对象被称为集合的元素们是平等的不会出现重复的情况判断它是否属于集合集合之间的关系交集并集包含关系两个集合中共有的元素构成交集,表示两个两个集合中所有不同的元素构成并集,表示如果一个集合的所有元素都属于另一个集集合的重叠部分交集使用∩表示两个集合的全部元素并集使用∪表示合,则称前者为后者的子集子集使用⊂表示集合的运算并集将两个集合中的所有元素合并,得到一个新的集合交集从两个集合中找出共同的元素,组成一个新的集合补集将一个集合中不属于另一个集合的元素组成新的集合差集从一个集合中减去另一个集合的所有元素,得到一个新集合并集定义表示12并集是将两个或多个集合中的所有元素组成新的集合并集通常用符号∪表示例如，A∪B表示集合A和集合B的并集性质应用34并集运算满足交换律和结合律，但不满足分配律并集在集合论、逻辑学、数据库等领域都有广泛的应用交集交集的表示交集的性质交集的应用交集用符号∩表示,表示两个集合中共同的交集操作满足交换律和结合律,是一种基本交集在许多领域都有应用,如市场营销、数元素的集合运算据分析等,用于找出共同的特征补集定义表示补集是指一个集合中不包含在另用大写字母A表示基集,Ac表示A一个集合中的所有元素组成的集的补集合应用补集在集合论、逻辑以及其他数学领域都有广泛应用差集差集定义差集是从一个集合中去掉另一个集合中包含的元素所形成的新集合差集表示差集通常用A-B表示，表示从集合A中去除集合B中的元素差集性质差集运算满足交换律和结合律，但不满足分配律集合运算规律交换律结合律分配律幂集运算集合的并集和交集满足交换律集合的并集和交集满足结合律集合的并集和交集满足分配律集合的幂集PA包含A的所有:A∪B=B∪A和A∩B=B∩:A∪B∪C=A∪B∪C:A∩B∪C=A∩B∪A子集,是一种重要的集合运A这意味着集合运算的顺序和A∩B∩C=A∩B∩∩C和A∪B∩C=A∪算幂集的元素数量是2的A可以随意调换C这使得多个集合的运算更B∩A∪C这在复杂集合的元素个数次方加灵活运算中非常有用子集定义表示如果集合A中的所有元素都包含可以用集合A⊆B表示A是B的子在集合B中,则集合A称为集合B集的子集特点应用每个集合都是自身的子集,空集子集概念广泛应用于数学、计算也是任何非空集合的子集机科学等多个领域真子集明确定义符号表示真子集是一个集合A是另一个集合使用严格的符号表示法表示真子B的真子集,当且仅当A中所有元素集关系,如A⊂B或B⊃A都属于B,但B中至少有一个元素不属于A性质特点真子集在集合理论中有重要地位,反映了集合之间的包含关系,是推导集合运算规律的基础幂集定义表示方法12幂集是指由某个集合的所有子通常用PA或者2^A来表示集构成的集合某个集合A的幂集性质应用34幂集是一个包含集合A所有子幂集在组合数学、离散数学等集的更大的集合领域有广泛应用集合的表示集合可以用各种方式进行表示,最常见的有:•列举法:列出集合中所有的元素•描述法:用语言描述集合的元素特征•公式法:用数学公式来表示集合•Venn图:用圆或其他几何图形来表示集合及其关系集合的性质唯一性无序性动态性集合中的元素是唯一的,不会出现重复每集合中的元素没有先后顺序集合是一个无集合可以随时添加或删除元素集合的大小个元素仅在集合中出现一次序的对象,元素的顺序并不重要和构成是可变的,具有灵活性集合的应用数据库管理决策支持集合可用于构建数据库系统中的数据集合概念有助于抽象复杂的问题,为决模型,描述数据之间的关系策提供依据数学建模计算机科学集合论是数学分析的基础,在数学建模集合概念在计算机科学中有广泛应用,和逻辑推理中得到广泛应用如算法设计、数据结构及对象建模集合与逻辑集合与命题集合与逻辑蕴涵集合概念和逻辑命题有着密切联系集合论中的基本运算,如并集合之间的包含关系对应于逻辑命题之间的蕴涵关系当一个集集、交集和补集,与逻辑联结词如或、与和非有着对应关系合完全包含在另一个集合中时,相应的逻辑命题也成立这种联系这种联系使得集合论为刻画和分析逻辑命题提供了有力的数学工在数学推理和证明中扮演着重要角色具逻辑联结词与或and or用于连接两个或多个相互关联的命题,只有当所有命题都为真时,整个用于连接两个或多个可替代的命题,只要有一个命题为真,整个复合命复合命题才为真题就为真非蕴涵not if-then用于否定一个命题,使其转变为否定命题如果原命题为真,则否定命用于描述一个前提条件和它所导致的结论之间的关系只有当前提题为假;反之亦然条件为真时,结论才为真命题演算命题1可以是真或假的陈述句逻辑联结词2把命题组合成复杂的命题真值表3判断复杂命题的真假命题演算研究如何使用逻辑联结词将简单命题组合成复杂命题,并确定它们的真值这为分析复杂的逻辑关系提供了基础集合与函数集合与函数的关系函数的几何解释集合运算与函数集合和函数是紧密相关的数学概念,一个集函数可以视为集合中元素的一种特殊对应关集合的基本运算,如并、交、补等,都可以用合可以定义为函数的定义域,而函数则描述系,它可以用坐标图像的形式直观地表示函数的视角来解释和理解,加深对集合概念了集合中元素之间的映射关系的认识关系什么是关系？关系的表示12关系是一种数学概念,用于描述关系可以用有序对的集合来表两个集合之间的联系或映射示,如{a,b,c,d,e,f}关系的性质关系的应用34关系可以具有反身性、对称关系在数学、计算机科学、社性、传递性等性质,这决定了关会科学等领域有广泛的应用系的类型函数定义性质表示分类函数是一种特殊的关系，它将函数有单值性、确定性和唯一函数可以使用表格、图像如根据定义域和值域的关系,函输入映射到唯一的输出函数性等特点这意味着对于给定直线、曲线等、公式或语言数可分为一对一函数、一对多的基本表示形式是y=fx的输入,函数会有唯一确定的描述等多种形式来表示函数和多对一函数输出性质对称性结合律集合的元素排列顺序不影响集合的性质,集合的集合的运算满足结合律,操作顺序不影响最终结性质具有对称性果交换律分配律集合的某些运算满足交换律,元素的排列次序不集合的某些运算满足分配律,复杂运算可以拆分影响运算结果成多个简单运算集合的运算并集交集并集是两个集合中所有元素的组交集是两个集合中共有的元素组合，包括重复元素用符号A∪成的集合用符号A∩B表示B表示补集差集补集是属于全域集U但不属于集合差集是属于集合A但不属于集合BA的元素组成的集合用符号A′的元素组成的集合用符号A-B表示表示复合函数定义1复合函数是指将两个或多个函数依次组合而成的新函数表示2如果有函数fx和gx，则复合函数记为f∘gx运算3复合函数的运算需要注意函数间的域和值域的匹配反函数原函数1给定函数y=fx反函数2找到x=f^-1y性质3反函数满足f^-1fx=x反函数是原函数的逆运算,它可以找到输入x对应的输出y反函数的性质是满足f^-1fx=x,即反函数对原函数进行逆运算可以得到原始输入学习反函数能帮助我们更好地理解函数的性质,并在实际问题中灵活运用总结与练习总结要点解决问题12回顾本章所学的集合概念、表应用所学的知识解决实际问题,示方法、集合之间的关系及各如集合的逻辑运算、概率计算种运算等思考延伸综合练习34思考集合理论在数学、计算机通过一系列综合性练习巩固所科学等领域的应用,为后续学习学知识,提高分析问题和解决问奠定基础题的能力。