《高数数列的极限》课件

高数数列的极限数列极限是高等数学的核心概念之一理解数列极限对于后续的微积分、线,性代数等课程至关重要本课件将从数列的定义、极限的性质以及计算方法等方面全面介绍数列极限的基础知识课程简介全面理解概念提高问题分析能力本课程将全面介绍高数数列的通过大量例题训练培养学生运,基本概念及其特性帮助学生深用所学理论分析和解决实际问,入掌握数列的性质和极限的计题的能力算拓展知识视野从数列的极限引入无穷大和无穷小的概念并探讨其在数学分析中的应,用数列的定义有序集合前后关系12数列是一个由数学对象组成数列中每个数字都与前后的的有序集合通常用数字有一定的规律和关系,{a1,a2,来表示a3,...}递推定义函数形式34数列通常可以通过递推公式数列也可以看作是自变量为来定义即给出第一个数和递正整数的函数用或表,,an an推关系示第项n数列的性质递推公式收敛与发散单调性数列的每一项都可以通过前几项的关系数列可以收敛到一个确定的数值也可能数列可以是单调递增、单调递减或既不,来表示这种表达式称为递推公式随着项数的增加而发散收敛性是数列递增也不递减的数列单调性是判断收,研究的重要性质敛性的重要依据数列的收敛与发散收敛数列发散数列当数列满足是一个确定的数值时称该数当数列不满足是一个确定的数值时称该{an}limn→∞an=LL,{an}limn→∞an=LL,列收敛于这表示数列中的项会越来越接近于数列发散这意味着数列中的项不会趋于某一确定的极限值L L数列极限的基本性质定义域检查极限运算检查数列定义域是否满足数列极限对数列进行加减乘除等基本运算存在的条件时，其极限满足相应的运算律大小比较夹逼准则如果两个数列极限存在且大小关系如果一个数列被两个收敛数列夹明确，可以直接比较它们的大小持，则这个数列也必须收敛数列极限存在的必要条件界定范围单调性有界性收敛性数列极限存在的必要条件是若数列是单调递增或单调递如果一个数列的所有项都小如果一个数列的极限存在，指，如果一个数列的极限存减的，那么该数列的极限可于（或大于）某个常数，那么该数列必定是收敛的M在，那么这个数列一定满足能存在反之，如果数列不那么这个数列就是有界的也就是说，当足够大时，n某些基本要求这些要求可是单调的，那么极限可能不有界性是数列极限存在的必数列的项都接近于极限以帮助我们判断一个数列是存在要条件之一否可能收敛数列极限存在的充分条件收敛性数列中每一项都收敛到某一确定的值，即数列有极限单调性数列必须是单调递增或单调递减的有界性数列的所有项必须在一个有限区间内变化无穷大与无穷小的概念无穷大无穷小相互关系无穷大代表着超出任何可计量范围的无穷小指一个趋近于但又不等于无穷大和无穷小存在着互补的关系00值，描述了某种数学对象或量的巨大的数值它表示了某些数学对象或量当一个无穷大时，它的倒数就是一个程度它可以应用于各种数学计算的微小程度无穷小在极限计算中扮无穷小这种关系在极限论证中广泛中演重要角色应用判断数列是否收敛的原理界定范围1确定数列的取值范围，判断其上下界是否有限检查趋势2分析数列的递增或递减趋势，看是否存在极限利用判定法3采用数列收敛的必要条件和充分条件进行判定判断数列是否收敛的核心原理包括三个步骤首先界定数列的取值范围确定其上下界是否有限其次检查数列的趋势分析其是否存:,;,在极限最后利用数列收敛的必要条件和充分条件进行判定只有综合考虑这三个方面才能准确判断数列的收敛性;,数列收敛判断的四大定理收敛判定法则夹逼准则12根据数列项的特点可以采用多种定理来判断数列是否收敛包如果存在两个数列一个数列递减趋于另一个递增趋于则,,,a,a,括夹逼准则、发散判别法则、比较判别法则和根值法则原数列也收敛于a发散判别法则比较判别法则34如果数列项无界增大或无界减小则该数列发散如果数列项无如果两个数列满足一定的大小关系且其中一个数列收敛或发,;,穷大或无穷小则该数列也发散散那么另一个数列也相应地收敛或发散,,级数的概念与性质概念定义级数的和级数的性质级数是无数个数项相加构成的无穷序级数的和是所有级数项之和的极限当级数的收敛性、发散性、和的性质等都列，常用符号表示为每一项称这个极限存在时，级数就是收敛的；否是重要的研究对象掌握这些性质对于Σan an为一个级数项则就是发散的求解级数问题很关键正项级数的收敛与发散判定比较判别法1将给定正项级数与一个已知收敛或发散的正项级数进行比较,从而判断给定级数的收敛性根值判别法2计算给定正项级数项的极限比值,根据结果判断级数的收敛性积分判别法3将给定正项级数与相应的无穷积分进行比较,从而判断级数的收敛性交错级数的收敛判定定义交错级数是符号交替的无穷级数,正项和负项交替出现柯西收敛准则如果级数部分和的绝对值是有界的,则交错级数收敛利用交替式定理如果正项单调递减且趋于0,则交错级数收敛收敛速度交错级数的收敛速度取决于正项的减小速度,收敛速度越快,精度越高幂级数的概念幂级数定义级数收敛性级数系数幂级数是由无数个幂函数组成的级数形幂级数收敛性取决于收敛域即值位于何幂级数中的各项系数₀₁₂,,x a,a,a,...,式为₀₁₂₃处收敛域决定幂级数可以在何处逼近决定了级数的性质和收敛域合理选a+a x+a x²+a x³+...+aₙ原函数择这些系数很重要a xⁿ+...ₙ幂级数的收敛域定义收敛域求法应用幂级数是一种特殊的无穷级幂级数一定存在一个最大的•检查级数的绝对收敛幂级数的收敛域为后续函数数其项的一般项具有幂函收敛域即边界值为半径的性得到收敛域的半逼近和泰勒展开做好铺垫,,,,数的形式例如圆盘这个收敛域由级数的径在数学分析中有重要作用a_n=x^n或收敛性决定称之为幂级数a_n=x-a^n,•确定收敛域的中心,的收敛域通常是级数中的常x数项•最终得到收敛域为以中心为圆心、半径为收敛半径的圆盘函数的泰勒级数展开泰勒级数基础1级数是一种表示函数的无穷级数展开式Taylor泰勒展开步骤2包括确定展开点、计算导数、代入公式泰勒级数性质3能够逼近原函数收敛性取决于函数,泰勒级数可以用于逼近并计算函数的极限这在数学分析中有广泛应用通过将函数展开为无穷级数的形式可以更好地分析函数的,,性质和特点为各种问题的解决提供重要工具,函数的极限计算直接代入法1简单函数直接代入极限值计算代换法2通过合适的代换转化为已知的极限形式分类讨论3根据函数形式划分不同情况分别讨论运用定理4应用已有的极限计算公式和定理函数极限的计算是微积分中一个重要的基础内容主要包括直接代入法、代换法、分类讨论以及应用定理等多种计算方法通过掌握这些技巧,可以有效地解决各种形式的函数极限计算问题单调有界数列的极限单调递增数列1如果数列中每个元素都比前一个元素大，则该数列是单调递增的这种数列必定收敛单调递减数列2如果数列中每个元素都比前一个元素小，则该数列是单调递减的这种数列也必定收敛有界数列3如果一个数列中所有元素的取值都在一个有限的区间内，则该数列是有界的有界数列必定收敛复合函数极限计算识别复合函数首先认识数列或函数中是否包含复合函数的形式拆解复合将复合函数拆解为内层和外层函数，分别计算它们的极限应用连续性利用函数的连续性性质，将内层和外层极限相结合得到复合函数的极限分段函数极限计算确定分段1将函数划分为不同的区域计算每段极限2分别求出每个区域的极限值比较极限值3对比不同区域的极限值分段函数的极限计算需要分为三个步骤首先确定函数的分段区域根据不同区域分别计算极限值最后比较各个区域的极限值得,,到函数的整体极限这种分步骤的方法可以更好地处理复杂的分段函数利用夹逼准则求极限定义1夹逼准则是求函数极限的一个重要工具它可以帮助我们在,某些情况下求得函数的极限适用条件2当我们找不到其他方法来求某函数的极限时可以应用夹逼,准则应用步骤3找到一个上下界函数将待求函数夹在中间并证明上下界,,函数都有极限洛必达法则定义适用条件12洛必达法则是一种极限计算的方法适用于分母或分子趋于当极限形式为或时可以使用洛必达法则进行计算,0/0∞/∞,零的极限形式应用步骤34洛必达法则可以有效地解决一些看似难以计算的极限问题先求出分子和分母导数的极限然后代入原式计算极限,泰勒公式在极限计算中的应用泰勒级数展开可以利用函数的泰勒级数展开来计算极限，通过对无穷小项的分析得出结果泰勒公式泰勒公式为我们提供了一种逼近函数的有效方法，可以简化极限计算近似计算利用泰勒公式可以对函数进行近似计算，从而更容易得到极限的值无穷小的比较无穷小的等价关系无穷小的阶两个无穷小可以建立等价关无穷小可以用无穷小的阶来进系，即它们的比值趋向于某一行比较阶越高的无穷小趋向常数这样的无穷小被称为等于的速度越快0价无穷小常见无穷小的比较如、、等都是等价无穷小关系这些比sinx/x e^x-1/x1-cosx/x^2较在极限计算中很有用无穷小的阶定义比较无穷小的阶是指无穷小相对于可以通过比较无穷小的阶来判主导项的衰减速度阶数越高断它们的趋近速度阶数越高的,,无穷小越快地趋近于无穷小越快地趋近于00应用在极限计算、泰勒级数展开等场合掌握无穷小的阶可以简化计算提高,,效率极限计算中的等价无穷小等价无穷小的概念等价无穷小的应用在极限计算中我们经常遇到具有相似性质的无穷小这些无利用等价无穷小的概念可以简化极限计算将复杂的表达式转,,,穷小可以认为是等价的也就是说它们在无穷小的阶数上是相化为更简单的形式这样可以大大提高计算的效率和准确性,同的极限计算中的换元法确定目标函数1确定需要求解的极限表达式选择合适的换元2根据表达式特点选择恰当的替换变量简化表达式3利用换元式化简极限表达式计算极限4应用已知的极限计算方法求解换元法是一种十分有效的极限计算方法通过恰当地选择替换变量，可以化简复杂的极限表达式，使其符合已知的极限计算定理与公式，从而轻松地获得极限的解运用换元法进行极限计算需要灵活掌握各种换元技巧总结与课后练习知识总结实践训练12回顾本课程涉及的数列极限针对不同类型的数列极限计理论知识点包括数列的性算问题进行课后习题练习巩,,质、收敛和发散判定、无穷固所学知识并提高问题解决大和无穷小概念等能力思考与讨论拓展学习34鼓励学生就数列极限理论的推荐相关的专业书籍和视频应用场景和实际问题展开讨资源为有兴趣的学生提供进,论加深对知识的理解一步深入学习的机会,。