平行线的判定和性质综合篇

北京四中编稿史卫红审稿张杨责编姚一民平行线的判定和性质（综合篇）

一、重点和难点重点平行线的判定性质难点

①平行线的性质与平行线的判定的区分

②驾驭推理论证的格式

二、例题这部分内容所涉与的题目主要是从已知图形中分辨出对顶角、同位角、内错角或同旁内角解答这类题目的前提是娴熟地驾驭这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的协助线，用以突出基本图形的特征上述类型题目大致可分为两大类一类题目是推断两个角相等或互补与与之有关的一些角的运算问题其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补另一类题目主要是“由角定线”，也就是依据某些角的相等或互补关系来推断两直线平行，解此类题目必须要驾驭好平行线的判定方法例

1.如图，已知直线被直线所截，若乙二乙a,b,c d12,Z2+A3=180°,路C、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个2两直线垂直的定义一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直12线也和另一条垂直即证明两条直线的夹角等于而得到90例

8、如图，已知乙二乙求证EFLAB,3B,Z1=Z2,CD_LAB分析这是一个与例同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线14垂直证明依据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直CD_LAB,于另一条”又由于已知条件只要证明要证结合图EF1AB,EF//CD,EF//CD,形，只要证明乙二乙因为乙二乙只需证明乙二乙而2DCB,12,DCB1,4DCB与是一对内错角，因而依据平行线的性质，就需证明要证明〃41DG//BC,DG依据平行线的判定方法只需证明乙二而这正是题设给出的条件，BC34B,整个推理过程经过以下几个层次Zl=ZDCB}二乙二乙43B=DG//BC=N1=N21n/DCB2平行线判定平行线性质12DC/fFE\=EF1AB=CD_LAB平行线判定性质垂直定义34证明・・,乙3二乙B（已知），（同位角相等，两直线平行）DG//BC・•.乙1二乙DCB（两直线平行，内错角相等）・・.乙1二乙2（已知），・•・乙DCB二乙2（等量代换）,（同位角相等，两直线平行）DC//EF（两直线平行，同位角相等），（已知）,/.ZCDF=ZEFB（垂直定义），VEF1AB「.（等量代换），/.ZEFB=90°（垂直定义）.NCDF=90°/.CD1AB有括号部分的五步也可以用以下证法接（同位角相等，两直线平行）,DCV/EF（已知）,Xv EF1AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一•••CD1AB条垂直）、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证3明、、三点共线，通常采纳E0F利用平角的定义完成三点共线证明此方法不再举例^EOF=180°,

五、一题多解例

9、已知如图，乙=乙乙求证〃BED B+D AB CD法

（一）分析要证明〃从题设中条件和图形动AB CD,身考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与、同时平行的第AB CD三条直线或与、同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推AB CD理或平行线的判定方法来证明两条直线平行能不能为此创建条件呢？假如我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和、中的一条平行,那AB CD么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得至〃依据平行公UAB CD理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的接下来的问题是过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围围着点绽开的，因而选择点作的平行线是E E AB较为志向的位置证明过点作E EF//AB,△二乙（两直线平行，内错角相等）.•.B1•.・乙BED=乙1+乙2（全量等于部分之和）...乙二（等式性质），24BED-41又二乙（已知），•••/BED4B+D二二乙乙（等式性质）•4D BED-B，（等量代换）.■22D（内错角相等，两直线平行），EF//CD（作图），EF//AB（平行于同始终线的两直线平行）AB//CD说明在光凭题设条件无法干脆证得结论时，在图中添置新的线，以叫做协助线，在画图时，协助线用虚线画出构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线法

（二）分析假如在点的另一侧添置的平行线（如图），同E AB样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同证明过点作〃（如图），E EF AB.•・乙B+乙1=180°（两直线平行，同旁内角互补），.乙（周角定义），••1+42+/BED=360°二乙乙（已知），/BED B+D二.乙乙乙（等量代换），B+D+/1+2=360°（）（等式性质）AD+A2=360°-zCB+ZlA二（等量代换）360°-180°=180°（同旁内角互补，两直线平行），EF//CD（作图）,-/EF//AB（平行于同始终线的两条直线平行）AB//CD意在添置协助线时，只能过点作直线平行于直线、EF EEF AB中的一条，而不能同时平行于和CD AB CD从另一个方面考虑这个命题，仍旧是这个图形假如我们交换题设和结论部分即已知能否得到乙=乙的结论，仍旧像例法

（一）AB//CD,BED B+/D16那样添置的平行线可得到乙二乙又由于〃贝〃AB EF,B BEF,AB CD,IJ EF CD于是又有乙二乙彳艮明显乙乙二乙二乙可知，D DEF,B+D BEF+/DEF BED交换原命题的题设和结论部分，仍旧得到一个真命题!1!池塘中的水浮莲有一种水生植物水浮莲，生长速度很快，每昼夜能长一个新的水浮莲就是说，一昼夜能一变二，两昼夜后，就成棵，这样一天一天地增多有一4个小的池塘，放进棵水浮莲，天后，就长满了整个池塘假如起先时120放进棵水浮莲，几天可以长满池塘？是天吗？210想一想，你会得出正确答案的！答案天.因为水浮莲的繁殖速度是经过一天，就一变二，放进工棵，19其次天就变成了棵现在第一天放进棵，就相当于放棵经过一昼夜221繁殖后池塘中的棵数经过天后，池澹也同样满了放进棵到池塘，191其生长状况是放进棵后的生长状况是1,2,4,8,16,32,64,22,4,8,16,32,64,从比较可以看出，放进棵，只128,2相当于提早了一天!1!平行线的性质考点扫描会用始终线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算.名师精讲平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置与数量关系.平行线的性质有（）平行线恒久不相交（定义）；1（）两直线平行，同位角相等（性质公理）；2（）两直线平行，内错角相等（性质定理）；31（）两直线平行，同旁内角互补（性质定理）

42.平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论（）判定定理说的是满意了什么条件（性质）的两条直线是相互平行1的.（）性质定理说的是假如两条直线平行，它具有什么性质.2由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“互逆”定理）中考典例.（北京海淀区）已知如图，平分乙,1AB//CD,CE ACD,4A=110则乙的度数等于（）ECD、、、、A110°B70°C55°D35°考点平行线的性质，角平分线评析因为乙与乙是同旁内角，又〃由平行线的性质:两A ACDAB CD,直线平行，同旁内角互补，可知乙乙.当乙二时，乙.又平分乙A+ACD=180A110ACD=70CE ACD,所以乙二乙二乙，故应选ACE ECD5ACD=35D.（福建福州）如图，已知〃旧贝乙二.

2.11Al=100°,IJ2考点:平行线的性质评析乙与乙是同位角，依据“两直线平行，同位角相等”的性质13可知乙二二.又乙与是令补角，所以二二°143100°243B42180°—100°8真题专练（山西省）如图，直线、被直线所截，且〃若乙「则乙

1.a bc ab,118°,的度数为.2（龙岩市）如图〃若乙，贝乙

2.AB CD,ACD=69IJ CAB=（）2（苏州市）如图〃直线分别交、于点、平分

3.AB CD,EF AB CD EF,ED乙若乙，则乙二BEF,1=722（）3（仙桃市）如图直线〃、分别与相交，则乙与的

4.L l_21_3L,1_2142关系为（）（）

4、、、、A Z1=Z2B Zl+Z2=180°C Zl+Z2=90°DAl+A2=360°（镇江市）如图「〃加乙是乙的倍则乙等于（）

5.a B2a------------%A60°B90°C120°D150°（临沂市）如图〃那么乙乙乙二（）

6.AB CD,1+2+

3、、、、A180°B360°C540°D720°（呼和浩特市）如图〃〃图中与乙互补的角共

7.DE BC,EF AB,BFE、个、个、个、A3B2C5D、、、、L62°2111°354°4B5C、（提示过作〃（或连结）6B EEFABAC求证乙二乙1分析运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系乙与是直线和被所147a cd截得的同位角须证〃a c法

（一）证明・・・是直线（已知）d二乙乙（平角定义）1+4=180°乙二乙（已知）v Z2+Z3=180°,12・••乙3二乙4（等角的补角相等）「.〃（同位角相等，两直线平行）a c・・.乙1二乙7（两直线平行，同位角相等）法

（二）证明「.乙乙，乙二乙（已知）2+3=18012乙（等量代换）41+3=180°「乙二二（对顶角相等）541,

4643...乙乙（等量代换）5+6=180°（同旁内角互补，两直线平行）a//c二乙（两直线平行，同位角相等）..•417例

2.已知如图，乙=乙平分乙求证Zl+Z2=180°,A C,AD BDF,平分乙BC DBED利用平行线间的同旁内角互补可知41+4AEF=18023+4CEF=

180..・乙1+乙2+乙3=360；、7D（提示图中乙乙、乙、乙都与互补）L2344BFECB分析只要求得乙二乙由乙乙推出乙二EBC CBD,1+2=180°1乙从而推出〃从而推出乙二乙而BDC,AE FC,C EBC乙于是可得乙二乙因此又可得〃最终再运用C=/A AEBC ADBC,平行线性质和已知条件便可推出乙乙EBC=DBCo证明・.♦乙2+乙BDO180（平角定义）又「乙二（已知）•42+

1180.,.乙二乙（同角的补角相等）BDC1（同位角相等两直线平行）AE//FC・二（两直线平行内错角相等）•2EBC4C又...乙二乙（已知）A C・•・乙EBC=乙A（等量代换）（同位角相等，两直线平行）AD//BC・.乙二（两直线平行，内错角相等）•ADB4CBD二乙（两直线平行，同位角相等）4ADF C又〈平分乙（已知）DA BDF・（角平分线定义）•2ADB=4ADF・•・乙EBC二4DBC（等量代换）・平分/（角平分线定义）••BC DBE说明这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中常常运用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等,就应想到能否推断直线间的平行关系把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，敏捷自如

三、小结:证明角相等的基本方法、第一章、其次章中已学过的关于两个角相等的命题1同角或等角的余角相等；1同角或等角的补角相等；2对顶角相等；3两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补4以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样运用，这是遇到的一个详细问题，须要仔细进行分析首先必需分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的详细位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡例3,如图二乙二乙求证乙二乙2C,BC分析题设中给出三个相等的角，其中和乙是直线和被42C DEBC所截构成的同位角，由乙二乙则〃再看题中要证明的结论是AC2C DEBC乙二乙由于所以只要证明乙二而乙与乙是两条平行直BC,4041,14B,1B线被直线所截构成的同位角，乙二/是很明显的，这样我们DE,BC AB1B就理顺了从已知到求证的途径N2=NC==卜=NB=NCZ1=ZC J证明・「乙2二乙C（已知），（同位角相等，两直线平行），A DE//BC二乙（两直线平行，同位角相等），B7又（已知），/乙，乙二乙（等量代换）8CB力例

4、已知如图，求证乙二乙乙二乙AB//CD,AD//BC,A C,B D分析要证明乙二乙乙二乙从这四个角在图中的位置来看，每A C,B D,一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不行能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍旧犹如例一样通过等角进行转化，10从题设条件动身，由〃且与被直线所截，构成了一对同AB CD,AB CDBC旁内角，、因此乙同时又是另一对平行线、被4B ZC,B+4C=180°,4B ADBC直线所截，构成的一对同旁内角乙、乙乙通过乙的中AB BA,4B+A=180°,B介，就可以证明得乙二乙同理，也可得到乙二△整个思路为A CB D,AB//CD=ZB+ZC=180°]J=NA,NCAD//BC=ZB+ZA=180°J证明:（已知），AD//BC.•・乙A+乙B=180°（两直线平行，同旁内角互补），（已知）,•/AB//CD「乙（两直线平行，同旁内角互补），•4B+0180°..乙二乙（同角的补角相等）,•A C同理可证乙二B4D例

5、已知如图，于乙二乙求证乙EGLBC G,E3,二乙12分析要证明乙二乙而从图中所示的乙和乙的位置来看，依据12,12题设或学过的定义、公理、定理无法干脆证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，找寻一下乙、乙与周边各角的关系，我们看到直线12AD与被直线所截，形成同位角；被所截，形成内错角乙、乙；GE AE4EAB23而题设明确告知我们乙二乙于是目标集中到证明〃依据题设中3E,AD GE,我们很简单办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下AD_LBC,EG1BC,推理程序、Jzi=卜=/ADLBC AD//SG^]x2=Z31=/2EGiBCn Z3=Z£证明「于（已知），...乙（垂直定义）,.•AD_LBC DADC=90°•正（于（已知），（垂直定义）,「.△二乙6,

826..2EGD=90°ADC（等量代换），EGD（同位角相等，两直线平行）二乙二乙（两直线平行同EG//AD•1E位角相等）乙二（两直线平行内错角相等），又二二乙（已243ZE3知）,二乙二乙（等量代换）•

12、两条直线位置关系的论证U!两条直线位置关系的论证包括证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同始终线上、学过证明两条直线平行的方法有两大类1（-）利用角；（）同位角相等，两条直线平行；1（）内错角相等，两条直线平行；2（）同旁内角互补，两条直线平行3（-）利用直线间位置关系（）平行于同一条直线的两条直线平行；1一下（）垂直于同一条直线的两条直线平行*2例

6、如图，已知〃乙二乙求证〃BE CF,12,AB CD分析要证明〃由图中角的位置可看出与被所截得AB CD,ABCDBC一对内错角乙和只要证明这对内错角相等，而图中的直线位置ABC4DCB,关系显示，乙条件中又已知乙二于是ABC=41+4EBC,4BCD=42+/1FCB,142,只要证明乙二乙EBC BCF证明（已知）,•••BE//CF・△二（两直线平行，内错角相等）•.EBC4FCB.二乙二乙（已知），12乙乙=乙（等量加等量其和相等），1+EBC2+FCB即/二乙（等式性质），ABC BCD（内错角相等，两直线平行）••.AB//CD例

7、如图二乙求证〃CD_LAB,EF1AB,412,DG BC分析要证明〃只需证明乙二乙由于二乙只需证明乙DG BC,1DCB,2,二乙与又是同位角，只需证明〃依据题设24DCB,24DCB CD EFCD1AB,很简单证得，这样整个推理过程分成三个层EF1AB,CD//EF,次U\=CDH EF（）]（平行线的判定）1EFUBCDLAB（）〃二（平行线的性质）2CDEF=424DCBZ2=ZZ）C51（）Z1=Z2二〃（平行线判定）3jn/l4DCBnDG BC在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替运用，层次分明证明于（已知），:CDLAB D・•・乙CDB=90°（垂直定义），・于（已知），••EF_LAB F・（垂直定义），••4EFB=90°・△二（等量代换），•.CDB4EFB（同位角相等，两直线平行），CD//EF・・二/（两直线平行，同位角相等）•42DCB又二乙（已知），..Zl2・二乙（等量代换），••41DCB（内错角相等，两直线平行）DG//BC说明从以上几例我们可以发觉，证明两条直线平行，必需紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，依据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补而证明两角相等，又常常归于证明两直线平行因此，交替运用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思。