平衡中的临界和极值问题

教学课题平衡中的临界和极值问题时间______________教学目标

1、教学重点教学难点教学器材教学过程，教学随笔

一、学问要点临界问题是指当某种物理现象〔或物理状态〕变为另一种物理现象〔或另一物理状态〕的转折状态叫临界状态.可理解成“恰好出现〃或“恰好不出现〃.某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态临界状态可理解为“恰■子出现〃或“恰恰不出现〃，至于是“出现〃还是“不出现〃，需视详细问题而定平衡问题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态这类问题称为临界问题解临界问题的根本方法是假设推理法极值问题那么是在满意肯定的条件下，某物理量出现极大值或微小值的状况临界问题往往是和极值问题联系在一起的解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清晰物理过程，从而找出临界条件或到达极值的条件解此类问题要特殊留意可能出现的多种状况

二、例题分析[例1]一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为U现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角e不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力【分析】这是一个斜面问题当e增大时，重力沿斜面的分力增大当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态此时是e最大【解答】依题意，mgs i n9=|i mgcos6tg9=u6Warctg n说明tge二口是一重要临界条件其意义是tgeu时，重力沿斜面对下的分力小于滑动摩擦力；tge二时，重力沿斜面对下的分力等于滑动摩擦力；tg e口时，重力沿斜面对下的分力大于滑动摩擦力；

①、将物体静止置于斜面上，如tg ew u,那么物体保持静止；如tgeu,那么物体不能保持静止，而加速下滑

②、将物体以一初速度置于斜面上，如tg,那么物体减速，最终静止；如tg8二|1,那么物体保持匀速运动；如tg8|1,那么物体做加速运动因此，这一临界条件是推断物体在斜面上会如何运动的一^个条件练习如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面上，上外表水平今在其上外表加一竖直向下的力Fo那么物体A、保持静止；B、向下匀速运动；C、向下加速运动;D、三种状况都要可能【解答】Ao【例2】如下图，跨过定滑轮的轻绳两端，分别A系着物体A和B,物体A放在倾角为a的斜面上，物体AOB的质量为m,物体B和斜面间动摩擦因数为U〔u〈tge〕，滑轮的摩擦不计，要使，物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围.【解析】以B为探讨对象，由平衡条件得T-niBg再以A为探讨对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用.假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如下图，依据平衡条件有N=mgcos0T-f-mgs in6=0fm二|JNm或T+f-mgs in0=0m€=UN综上所得，B的质量取值范围是m[s in0-n cos6〕WrihWm s in0+|1cos0说明此题关键是要留意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时.要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势.【例2】如下图，半径为R,重为G的匀称球靠竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，假设不计摩擦，用至少O多大的水平推力F推木块才能使球离开地面.J.【解析】以球为探讨对象，如下图有Msine二GNicos0=N2sin9二R-h/R图l-72bT再以整体为探讨对象得G=N F2F=Vh2R-h G/R-h•说明球体刚好离开地面，有地面对球的支持力为零，但系统又平衡.【例3】如下图，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为|1=1/V3,物体做匀速直线运动求牵引力F的最小值和方向角e解物体的受力图如图建立坐标系，有Feos e-U N=0

①Fsine+N-G=0

②由

①、

②消去N得F=u G/cos0+|i sin6令tg Q=u,刃口么cos0+|isin6=V1+|i2cos6—Q JLIG.=Ji+/L《夕-F当0=0时，cos（e-（t））取极大值1,F有最小值F*二严二也十*/2GtgQ二口二1/V-34=30°e=30°•••点评此例给出了求解极值问题的一种方法函数法此例中，F的大小随0的改变而改变，要求F的微小值，就要依据题意求出F随e而变的函数关系式，再利用函数的单调性，探讨的极值F此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解将N与f合成为一全反力Ro tg

①二千/N二口可见,N改变会一个起f变、R变，但R的方向是不变的物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0,三力构成一封闭三角形由图法可知，当F垂直于R时，F最小此时，e=0）=arctg（1/73）=30°二Gs in

①—G/2Fmin点评此例将四力平衡转化为三力平衡求解，这是解决多力平衡问题的一种方法摩擦角tg（t）=f/N=n,©称为摩擦角在外部条件不变的状况下,千与N的合力的大小可能会发生改变，但此合力的方向不变练习如图，重为G的木块，在力F的推动下沿水平地面匀速滑动假设木块与地面间的动摩擦因数为U,F与水平方向成Q角试说明假设Q超过某一个值时，不:-------------------管推力F多大，木块都不行能滑动，并求出这个角度【分析】F斜向下，可分解为竖直分力J和水平分力的作用是增F FI2O大摩擦力f,F2使物体运动如a较大，那么Fi较大，F2较小，增加的千大于F2,物体无法运动，产生“自锁〃现象只有a小于某一值时，才能推动木块【解】木块受力如图由平衡条体有Feos a=|i G+Fsin aF=n G/cos a-|i sin a4G_______________Jl+//2sin0cosc—cos^sinc_________2Jl+sin0—a其中tgQ=1/|1，当Q=（|）=arctg1/u时，FT8

三、实力训练A组

1.如下图，平台重600N,滑轮重不计，要使系统保持静止，人重不能小于〔B〕A.150N B.200N C.300N D.600N

2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行的外力作用，当这个外力的大小分别为60N和10N时，物体都能保持匀速直线运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止下滑时，那么它受到摩擦力的大小可能是〔B〕A.35N B.25N C.10N D.

03.如下图，定滑轮光滑，货物质量为m,滑轮离地CX面高度为4m,人拉绳处距地面Im,假设人对地面最大静加\o摩擦力为mg/2,那么要匀速提升货物，人离货物的水平，〃才距离应不大于m.

4.物体A重为100N,B重为20N,A与水平面最大静摩擦力为30N,整个系统处于静止状态，如下图，这时A受摩擦力大小为No假如渐渐增大B重量而保持系统静止，那么B的重力最大值为N.解:20N,30N

5.如下图，重20N的物体静止在倾角为6=30°的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧连接，设物体所受最大静摩擦力为12N,那么弹簧的弹力为〔弹簧与外面平行〕；〔D〕能为零

①②能为22N,方向沿斜面对上

③能为2N,方向沿斜面对上

④能为2N,方向沿斜面对下A.

①②③B.

②③④C.

①②④D.

①②③④【解析】先假设物体有向下滑的可能性，由平衡条件判得T=2N,向下；再假设物体有向上滑的可能性，由平衡条件判得T=22N,向上.选沿斜面对上为正，可理解为弹力的范围为-2NWTW22N,故D正确.说明依据物体的运动趋势，确定弹力的范围，同时充分考虑静摩擦力是不确定值，可用0WFW12N.

6.如下图，绳重及滑轮摩擦均不计，A.B质量为1kg与3kg,A、B均保持静止，那么斜面对B的摩擦力大小为％=N,假设在A上再加1kg祛码，此时摩擦力大小千与F的大小之比等于g=1Om/s22解5N,1:

17.如下图，重1000N的车轮，半径为R,欲过高为h A二R/2的台阶，现要在图中车轮最上方A处施一最小的力，使车轮越过B点，求此时台阶对车轮的作用力的大小和方向.【解析】先分析出作用在A点最小的力F,在力矩肯定时，力臂最长，F最小，所以F±AB,如图，因恰好过B点，所以地面对车轮支持力为零，由三力平衡，可知三力过A点，也可推得9=30°,所以N=Gcos30°二500J3N,方向与直立方向成30°.教学后记:。