《离散数学教案》课件

《离散数学》课件本课件为离散数学课程的教学辅助材料涵盖集合论、逻辑、图论、代数结构等内容11课程简介离散数学概述应用广泛培养逻辑思维离散数学是一门研究离散对象的数学在计算机科学、信息技术、经济学、学习离散数学可以培养严谨的逻辑思分支，主要研究有限或可数无限的对社会学等领域有着广泛的应用维能力和抽象思维能力象教学目标培养逻辑思维能力提高抽象思维能力

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2.12掌握离散数学的基本概念、通过学习离散数学，培养原理和方法，培养严谨的抽象思维能力，提高对复逻辑思维能力，提高分析杂问题的理解和解决能力问题和解决问题的能力掌握计算机科学基提升应用能力

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4.34础通过案例分析和实际应用，离散数学是计算机科学的提升学生将离散数学知识重要基础课程，掌握离散应用于实际问题的能力数学知识，有利于深入学习计算机相关领域先修知识要求高中数学基础逻辑推理能力掌握基本的数学概念和运算，例如集合、函数、方程、不具备基本的逻辑推理能力，能够进行简单的逻辑推理和证等式、三角函数等明内容大纲集合论集合是离散数学的基础介绍集合的概念、表示方法、集合之间的关系、集合的运算等逻辑与命题逻辑是推理的基础，介绍命题的概念和类型、命题逻辑运算、等价命题和蕴含关系等关系关系是描述事物之间联系的方式，介绍关系的定义和表示方法、关系的性质、等价关系和偏序关系等函数函数是数学中的重要概念，介绍函数的定义和类型、函数的运算、函数的性质等图论图论是研究图的性质和应用的数学分支，介绍图的基本概念、图的遍历、最短路径问题等集合论

1.集合论是离散数学的基础，它是研究集合及其性质的学科集合是数学中一个基本的概念，它是由一些具有共同属性的对象组成的集合的概念和表示

1.1集合定义集合是由一些确定的、可以区分的、无序排列的对象组成的集合元素集合中的每个对象称为元素，元素可以是具体的物体、抽象的概念或其他集合集合表示方法•枚举法列出集合中所有元素•描述法用文字描述集合的特征集合之间的关系

1.2子集真子集如果集合中的所有元素都在集合中，则称集合为集合的子如果集合是集合的子集，并且集合中至少包含一个不属于A BA BA BB集集合的元素，则称集合为集合的真子集A A B并集交集两个集合的并集是包含这两个集合所有元素的集合两个集合的交集是包含这两个集合中共有元素的集合集合的运算

1.3并集交集两个集合的并集包含所有属于这两个集合中的元素两个集合的交集包含所有同时属于这两个集合的元素例如，集合和集合的并集为例如，集合和集合的交集为A={1,2,3}B={3,4,5}A={1,2,3}B={3,4,5}∪AB={1,2,3,4,5}A∩B={3}逻辑与命题

2.逻辑与命题是离散数学中的重要组成部分，它研究命题的真值、逻辑运算和推理规则在计算机科学、数学和哲学等领域都有广泛的应用命题的概念和类型

2.1定义命题是关于事物或概念的陈述，可以判断其真假真假性命题只有两种取值真或假，不能同时为真和假类型•原子命题•复合命题命题逻辑运算

2.2逻辑运算符真值表逻辑公式命题逻辑运算符用于连接命题，形成真值表用来表示命题逻辑运算的结果使用命题变量和逻辑运算符构建的逻更复杂的命题辑公式等价命题和蕴含关系

2.3等价命题蕴含关系两个命题具有相同的真值表，如果一个命题为真，则另一则称这两个命题等价个命题也为真，则称这两个命题存在蕴含关系逻辑推理等价命题和蕴含关系在逻辑推理中起着重要的作用关系

3.关系是离散数学中重要的概念，它描述了集合元素之间的联系关系在计算机科学、数据库、数据挖掘等领域应用广泛，例如数据库中的关系模型、数据挖掘中的关联规则、社交网络中的朋友关系等关系的定义和表示

3.1关系的概念关系的表示方法

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2.12关系是描述对象之间联系关系可以表示为集合、矩的一种数学概念，可以用阵、图等形式，方便分析集合来表示和理解关系的例子

3.3例如，小于关系，等于关系，包含关系等”“”“”“关系的性质

3.2对称性如果关系对称，则如果在中，那么也在中R a,b Rb,a R传递性如果关系是传递的，则如果和在中，那么也在中R a,b b,c R a,c R自反性如果关系是自反的，则对集合中的每个元素，都属于Raa,a R等价关系和偏序关系

3.3等价关系偏序关系等价关系是一种特殊的二元关系，它满足自反性、对称性偏序关系是一种满足自反性、反对称性和传递性的二元关和传递性系函数

4.函数是离散数学中的重要概念之一函数将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素函数的概念和类型

4.1定义类型函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的函数主要分为单射函数、满射函数和双射函数单射函数对应关系它是一种特殊的二元关系，满足每个元素在定保证每个值域元素最多对应一个定义域元素，满射函数保义域中都有且只有一个值对应到值域中的元素证每个值域元素至少对应一个定义域元素，而双射函数同时满足单射和满射的条件函数的运算

4.2函数的加减法函数的乘法两个函数的加减法是指对两两个函数的乘法是指对两个个函数的对应值进行加减运函数的对应值进行乘法运算，算，得到一个新的函数得到一个新的函数函数的复合运算函数的逆运算函数的复合运算是指将一个函数的逆运算是指找到一个函数的输出作为另一个函数函数，使得该函数的输入和的输入，得到一个新的函数输出与原函数的输出和输入互换函数的性质

4.3单调性奇偶性

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2.12函数的单调性描述了函数函数的奇偶性描述了函数值随自变量的变化趋势关于原点的对称性例如，例如，如果函数在某个区如果函数是奇函数，那么间内是递增的，那么当自函数图像关于原点对称变量增大时，函数值也会增大周期性有界性

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4.34函数的周期性描述了函数函数的有界性描述了函数图像在某个区间内重复出值的变化范围例如，如现的规律例如，正弦函果函数是有界的，那么函数是周期函数，它的图像数值不会无限增大或无限在一个周期内重复出现减小图论

5.图论是离散数学的重要分支之一，研究图的性质及其应用图论在计算机科学、网络分析、运筹学等领域有广泛的应用图的基本概念

5.1图的定义图的类型图的表示图是由顶点和边组成的，图可以是无向的，这意味图可以以多种方式表示，其中边连接了两个顶点着边没有方向，也可以是例如邻接矩阵、邻接表和图的顶点通常用来表示对有向的，这意味着边有方图的图形表示象，边用来表示对象之间向的关系图的遍历

5.2深度优先搜索广度优先搜索从起点开始，沿着一条路径从起点开始，访问与它直接一直走下去，直到遇到一个相连的所有顶点，然后依次没有访问过的顶点，就将它访问这些顶点所连接的未访标记为已访问，并将其加入问顶点，一层一层地扩展下到路径中去最短路径问题

5.3路径查找网络优化物流运输在图中找到两个点之间最短路径，例在网络中寻找数据传输的最佳路径，优化物流配送路线，例如，快递公司如，城市地图中找到两点之间最短路例如，网络路由器之间数据传输的最如何选择最短路线将货物配送到各个线佳路径地点。