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第五章三角函数正弦函数、余弦函数的性质第课时1教学设计
一、教学目标
1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据定义进行简单的拓展.
2.根据之前所学和图象来研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性.
二、教学重难点、教学重点1对周期函数概念的理解和运用、教学难点2探究函数y=Asins:+0的周期
三、教学过程、新课导入1观察正弦函数的图象，回答下列问题问题1终边相同的角的三角函数值有什么关系？相同问题2正弦曲线具有什么特点？“周而复始”，每隔2兀就重复一次.问题3余弦函数是否也具有上述特点？是自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理中的单摆运动，弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.、探索新知2周期性定义1一般地，对于函数〃幻，如果存在一个非零常数T,使得当％取定义域内的每一个值时，都有〃%+T=%,那么函数/%就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.周期函数的周期不止一个,例如，2兀,4兀,6兀，以及一2兀,一4兀,一6兀都是正弦函数的周期.事实上，\/kGZ旦ka常数2Z兀都是它的周期.定义2如果在周期函数/x的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做/%的最小正周期.今后涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期从图像上，我们有正弦函数是周期函数，2加左£2且左0都是它的周期，最小正周期是2兀.同理，余弦函数是周期函数，2攵兀攵£2且攵0都是它的周期，最小正周期是2兀.例2求下列函数的周期1y=3sinx,x£R;2y=cos2x,xe R；/々、•1兀n3y=sin—x---e R.26教师板演I2,规范解题步骤，让学生利用三角函数的周期性，通过代数变形得到等式/%+7=/%来求得相应周期.解1V R,有3sinx+27i=3sinx由周期函数的定义可知，＞=3sinx的XE周期为2Tl.2令z=2x,由R得zwR,且y=cosz的周期为2兀，BP cosz+2=cosz,XE JI于是cos2x+2兀=cos2x,所以cos2x+兀=cos2%,%e R,由周期函数的定义知，y=cos2x的周期为兀.学生独立完成3,教师评价.JT3令z=-x-由工£区得2£区，且y=2sinz的周期为2兀，即62I兀171y=2sinz+2兀=2sin于z是,2sin—x----2F JI=2sin—x――,所以2626Ijr1jr2sin]—x+4兀——]=2sin-x——,由周期函数的定义可知，原函数的周期为4兀.2626思考回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？从例2中可以看出，这些函数的周期仅与自变量％的系数有关.本例是利用/%+7=/幻求周期，并由此观察周期与自变量系数的关系.在/•%+T=/x中，丁是相对于自变量％而言的.一般地，函数y=Asins+0及y=Acoss+0其中A O,WQ TTGO,X£R的周期为7=—.
①奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看出正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称.这个事实，也可由诱导公式sin-%=-sin光,cos%-x=cos%得至I」.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.思考知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？对于一个周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的情况，那么整个函数的情况也就把握了.同样，对于一个偶函数，如果我们把握了它的对称轴一侧的情况，那么对称轴另一侧的情况也就把握了.、课堂练习3A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数
1.已知函数/%=—sin2x，c•最小正周期为*奇函数D•最小正周期列的偶函数【答案】B
1.【解析】Q/x=-sin2x•于—一sin2x H=—•cos2x2I2J2T=—=71,2“一年是最小正周期为兀的偶函数，故选B./、A兀+〜B.y=sin（2x+3兀C）.y=cos（7i+2x）D.y=X
712.下列函数中，周期为兀的奇函数是兀+x y=.x是奇函数，周期7=牛=4兀，不符合题意;【解析】对于A,cos----------2=2对于B,y=sin（2x+3兀）=-si是n奇2x函，数,周期丁=0=兀，符合题意;2对于C,y=cos（兀+2x）=-是co偶s函2x数，,不符合题意;【答案】Bcos x--Ulsinxl，是偶函数，不符合题意.故选B.I对于D,
3.如果存在实数m使得/x+a为奇函数，/x-为偶函数，我们称函数/©为“0函数”.给出下列函数:
①/（x）=sinx;
②/（x）=cos X；
③/（x）=sin2A.0B.1C.2D.3其中是“0函数”的个数为【答案】B【解析】
①若/x=sinx是“0函数，则a=E a=—+mu,k,mwZ,:.ae0,即不且2存在实数满足题目条件；
②若/x=cosx是“函数则〃=而且a=*+nm,k,rneZ,:.aw0,即不存在实数a满足题目条件；
③若/x=sin2是“9函数，则2々+工=E且-24+二=二+/制,匕〃2£Z,「.a可取型，符合题目条件.4428因此“0函数”的个数为1,故选B.、小结作业4小结一般地，函数y=Asins+0及y=A+0其中A0,COS GX00,R的周期为7=——.coXE作业完成本节课课后习题.
四、板书设计542正弦函数、余弦函数的性质第1课时
一、问题引入
二、新课讲解
1.周期函数、周期性的概念
2.正弦函数、余弦函数的周期性
3.正弦函数、余弦函数的奇偶性
三、例2。
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