整式的乘法（第六课时多项式除以单项式）

八年级数学上分层优化堂堂清十四章整式的乘法与因式分解第六课时多项式除以单项式（解析版）学习目标:掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；.1掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合.2运算a一老师对你说:知识点多项式除以单项式的法则1多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加注计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为注意不能漏除某一项1,知识点整式除法的应用2运算顺序先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的魅岫哪教材核心知识点精练知识点多项式除以单项式1【例111计算（3a3—的结果正确的是（）31129A.—a——a+—B.6a-224C.6屋-23+屋D.6a2-2a【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可.【解答】解原式=3/+/Q-之〃乙乙乙乙=6/-26Z+1,故选:B.【点睛】

10.若3f+自+4被3x-1除后余2,则k的值为.【答案】-7【分析】先根据3/+日+4被3x-l除后余2,判断出3x-1为货+辰+4的一个因式，再根据特殊值法求得%的值.【详解】3/+日+4被力-1除后余2,,3/+区+4-2=3/+日+2可被31整除，.•・31一1为3/+日+2的一个因式，..当3工-1=0时,3/+区+2=0,二将x代入3/+爪+2=0,得1V13x-+—攵+2=0,⑴3解得k=7,故答案为

7.【点睛】本题主要考查了整式的除法，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键.

11.若7%y与一个多项式的积是28/y3—21xy+2y7xV2,则这个多项式为.【答案】4x4-3x2y2+14x3/【解析1[28x7y3—27工332]-7%33=28X7J3—21%52+98尢6了7，,3=4x4—3%2卢14X3/【点睛】本题考查了整式中多项式除以单项式等知识点，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.

12.与单项式-2的积是2〃+〃2+24+地-2々-6从的多项式是_________.【答案】-2a+2h【分析】直接利用多项式除以单项式的运算法则计算得出答案.【详解】解•.•一个多项式与单项式-2的积是2々+〃『+2+〃〃-2a-6〃2,・••这个多项式为[2，+〃2+2+3/一2—6必]:—2b=4a2+4ab+Z2+/2-4a2-6b2^-2/二4岫—4/—2b=2a+2b.故答案为2a+2b.【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键.

13.小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图现有4A C三种地砖可供选择，请问需要A石专块，B砖块，石专块.【答案】082【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要A、B、C三种砖的数量即可补修好破损部分房屋地板.【详解】解根据题意得破损的总面积=4〃+人x2b=8他+2廿计算每一块A、B、C三种砖的面积为A砖的面积=@2；B砖的面积=2匕C砖的面积=b2，Sab+2b2=8x tzZ74-2x Z2需要A、B、C三种砖分别为0,8,2块.故答案为0,8,

2.【点睛】本题关键是求出破损的面积以及A、B、C三种砖每一块砖的面积，同时需要注意本题要求的是求出共需要这三种砖各多少块即可以补修好破损的地板.

三、解答题共小题，分

64814.8分计算121—35x3y2+7x2y2:—7x2y2[%+»—y2尤+y—8x+2xx【答案】1—3%29+5孙—y；2—

4.【详解】解1原式=21x4^34--7x2y-35x3^2-4--7x2y4-7%2y2-4--7x2y=-3x2j2+5xy-^；2原式=f+2肛+,一2个-丁—8xx52x19=x2-8xx——2x2x2xXA——

4.2【点睛】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.158分先化简，再求值[x-2y2+x-2yx+2y-2x2x-y]+2x,其中x=2024,y=—

2025.【答案】一式一九1【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式等计算中括号内的、再利用多项式除以单项式可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.【详解】解原式=d—4冲+4丁+%2—4/一4/+2盯+2]当x=2024,y=—2025时，原式=—2024——2025=

1.【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算一化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算一化简求值.

16.8分化简求值—h2+b+3—，其中〃一1~+|/+2=

0.【答案】9-ab,11【分析】根据多项式除以单项式及平方差公式进行整式的运算，然后由-12+|+2|=0可得纵的值，最后代入求解即可.【详解】角牟原式=—/;+9—2=9—；V6Z-l2+|/7+2|=0,7=1,Z7=—2,J原式=9—1x—2=

11.【点睛】本题主要考查多项式除以单项式及平方差公式，熟练掌握多项式除以单项式及平方差公式是解题的关键

17.8分如图，长方形纸片的长为根+4,宽为〃2+2,现从长方形纸片剪下一个边长为根的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形不重叠无缝隙.1求拼成的长方形的面积.用含机的代数式表示.2若拼成的长方形一边长为2,求另一边长.用含〃，的代数式表示【答案】16/71+8；23m+

4.【分析】1根据题意列出算式，根据多项式与多项式相乘的运算法则计算，即可得到答案；2根据长方形的面积公式列出算式，并利用多项式除以单项式的运算法则进行计算，即可得出结论.【详解】解1拼成的长方形的面积=m+4m+2-m2=m2+6m+8-m2=6m+8；2•••拼成的长方形的面积是6根+8,长方形一边长为2,，另一边长为6/7+82=3m+

4.【点睛】本题考查了整式运算的应用，掌握整式运算的相关运算法则是解题的关键.

18.8分阅读材料两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一个字母降嘉排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算，例如7x+2+6/+2x+l,仿照672・21计算如下因此7X+2+6%2+2X+1=3X+21计算8工+4+1£2+4工3+工+2；2已知d+d+以+x+b能被丁+x+l整除，根据上述方法，求和人的值【答案】141+3x+2；2a=2,b=l【分析】1根据题意，直接利用竖式计算即可；2利用竖式计算，根据整除的意义对各个对应项的系数进行观察求解即可.【详解】1・・・8x+4+1lx2+4X3H-X+2=4X2+3X+2；2・・・/+工3+依2+工+人能被f+x+1整除，・•・根据其竖式计算的特性可以得出・•・-1=1,b=l,・・・a、阴勺值分别为a=2,b=l【点睛】本题主要考查了整式之间的除法，找出文中竖式计算的规律法则是解题关键.

19.8分一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2,铁盒底面长方形的长是,宽这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积.1请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积.2若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为令卜疗，则油漆这个铁盒需要多少钱用的代数式表示？3若铁盒的全面积是底面积的〃倍，求此时的值用含的代数式表示.是否存在一个整数使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由.【答案】1122+420〃+3600；2600a+21000；335或7或5或1【分析】1根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可；2根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；3假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可.【详解】解1原铁皮的面积是4〃+603〃+60=12Q2+420Q+3600,2油漆这个铁盒的表面积是12a2+2x30x4^+2x30x3tz=12a2+420^,则油漆这个铁盒需要的钱数是122+4204^―=12a2+420a x—=600^+21000元，5a答涂完这个铁盒需要600a+21000元；3铁盒的全面积是4qx3a+44x30x2+3qx30x2=12〃2+420Q,底面积是4ox3a=12〃2,假设存在正整数，使12〃2+4204=加12层整理得H-1〃=35,则=35,〃=2或〃=7,〃=6或〃=5,〃=8或=1,〃=36所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时=35或7或5或

1.【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握无盖铁盒的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键拓展培优*冲刺满分1,先化简，再求值x—2yp+x—yx+y—x—3y3x—y,其中x,y满足/—4y+4+x—2y『=

0.【详解】解x-2y2+x-yx+y-x-3y3x-y=-x2+6xy,（y2―4y+4+x-2»=0,即（y-2『+（x-2y『=0,根据（y-2）0,（x-2»20,fv-2=0可知等式成立的条件是），n[x-2y=0fx=4解得，[y=2，原式=3+6x4x2=76+48=

32.

2.如图，某小区有一块长为（2+4与米，宽为（2-）米的长方形地块，角上有四个边长为（〃-）米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化.

（1）用含有外的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

（2）物业找来“阳光”绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化8〃平方米，每小时收费200元,则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a^b的代数式表示）【答案】

（1）绿化的面积是04H-8必）平方米；

（2）该物业应该支付绿化队需要（3504-200力）元费用.【分析】

（1）用长方形面积减去四个小正方形面积，然后利用多项式乘法法则将公式展开，合并同类项即可；

（2）利用总面积除以每小时工作面积再乘以每小时收费，计算即可.【详解】解

（1）根据题意得（2a-）（2+4»-4（〃-=4/+6ab-4/-4a2+Sab-4Z2=（14ah—8必）平方米，答绿化的面积是（14必-8廿）平方米；

（2）根据题意得（14〃b—8必）+8/^200=（350〃-200〃）元，答该物业应该支付绿化队需要（3504-200〃）元费用.【点睛】本题考查列代数式求图形面积，整式的乘法混合运算，多项式除以单项式，掌握列代数式求图形面积以及代数式的书写要求，整式的乘法混合运算，多项式除以单项式是解题关键本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.【例12】面积为92-6^+3〃的长方形一边长为3m另一边长为A.3a-2/+1B.2a-3b C.2a-3Z+1D.3a-2b【答案】A【解析】:面积为9,-6出+3a的长方形一边长为3a,另一边长为:9a2-6ab+3a=3a=3a-2/+l.故选A.【点睛】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.【例13】已知A=2x,8是多项式，在计算8办时，小强同学把8办误看成了小A结果得到-x,则正确的结果是A.2x1+x B.2f-3x C,x+-D,x--【答案】D【解析】・・・3+A=2/-x,A=2x,.\B-2x1-x-2x=2x2-3x,/.B^rA=C2%2-3x:2x=x—2故选D.【点睛】本题考查了多项式乘以单项式，多项式除以单项式，其运算法则是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.【例14］已知多项式6a2+mab-ab-10/2除以3〃-2b,得商为2〃+5Z,求m的值.解:「9a-2b Q2a+5b=6cr+Uah-IO/2,/.mab-ab=Wab,.\m-1=11,解得m=

12.故m的值为

12.【点睛】本题考查了多项式乘以单项式，其运算法则是先把这个多项式的每一项分别乘以单项式，再把所得的积相加.知识点整式的除法的应用2【例21】当时，代数式（28/—28/+7）+7的值是（）.B.-4C.-

2.25【答案】D【详解】解（283-28/+7）+7=4a2—4+1,当时，原式=4x（）2-4x+l4441=49故选D.本题考查了多项式除以单项式及化简求值，先化简，再求值【例22】一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成（如图），若把该墙面设计成长方形形状,面积保持不变，且底边长仍为m则这面墙的高度应该为（）A.2b+h B.b^--h C.b+2h D.b+h2【答案】B.【详解】解原来墙面的面积为二三角形面积+长方形面积，即ab+—ah,2把该墙面设计成长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为〃，可得长为曲+包a2故选B.【例23】若多项式A除以2d—3,得到的商式为3x-4,余式为5x+2,则4=【答案】=6/—8x2—4x+l4【详解】解根据题意得A=（3x—4）（2/—3）+5X+2,=6d-9尤一8x2+12+5x+2,=6元3—8工2—4x+

14.【例24】如图，阴影部分的面积为.［答案］5片+4【详解】解如图，由题意可得阴影部分的面积为=6~+3ab+4ab+2b~—2b~-2ab—cib-=5a2+4ab故答案为5a2+4ab.【例25】已知A=2x,B是多项式，计算8+A时，某同学把8+A误写成3+4结果得试求

（1）B+A的值；

（2）屁一口的值.乙【分析】

（1）根据被除式=商式x除式，列式计算求出以代入求出A+3的结果；

（2）把A、3的式子代入联-2从去括号，合并同类项化为最简形式.乙【解答】解

（1）B=2X（f+聂）=2/+/,A+B=2x+/+2无；

（2）联—匆=（2x）2—2）乙=4^-x3-

1.r2=J/-

5.能力提升训练

1.请同学运用计算（+〃+）2=/+Z/2+/+22+2公、+2收，解决问题已知x、y、z^^x2+y2+z2=4,求无一2+y—z2+Z—X『的最大值是.【详解】X2+/+Z2=4,=8-2孙+yz+xz；*/x+y+z『=x2+，+z2+2xy+2xz+2yz,原式=8+X+y2+z-x+y+z2=8+4-x+y+zvx2+y2+z20,，原式V

12.故原式的最大值是

12.故答案为

122.先化简，再求值［x—3y2—x—yx+y+4孙］+2y,其中x=—2,y=L【详解】解原式二［d—6q+9/一f一/+4盯］+2y,=x2-6xy+9y2-%2+y2+4xy+2y当x=2,尸1时，原式=2+5xl=2+5=

7.3,先化简，再求值［x+3»-2xx-2y+x+yx-y］+2y,其中x=y=—l.【详解】解［x+3»—2xx-2y+x+yx—y卜2y=4y+5x,当x=y=_l时,原式=4X_1+5XT=T_5=_

9.

4.如图，一窗框形状由一个长方形和一个半圆组成，若要把窗框设计成一个新的长方形形状，面积保持不变，且底边长仍为〃，则高度应为.【分析】先根据长方形与圆形的面积公式求出原图形的面积，然后根据长方形的面积公式即可求出答案.122【解答】解原面积为+鼻除=+萼，，4o由于新的长方形的面积保持不变，/.〃/+曜4-=〃+勖，O O故答案为b+^a

5.是否存在常数〃、9使得/+内2+9能被d+2x+5整除？如果存在，求出〃、的值，否则请说明理由.【答案】存在，p=6,9=

25.【解析】假设存在〃、q,则说明/+p/+9能被f+2%+5整除，可设另一个因式是Y+nvc+n,J+2X+512+mx+〃=x4+px2+q,即x4+m+2x3+n+2m+5x2+2〃+5Mx+5〃=/+px1+q,m+2=0〃+2m+5=p m=-2p=6且〈n=5q=252〃+5H2=05n=q存在p=

6、q=25使得x4+px2+q能被Y+2%+5整除.【点睛】本题考查的是整式的除法，可利用乘法是除法的逆运算计算，其实就是待定系数法堂堂清

一、选择题每小题分，共分

4321.已矢口M・一2九2=8%—18%与3—2—,则M=A.-4X3-9X3-1B.4X3+9x3-1C.—4x^+9xy，D.-4-x^+9xy，+1【答案】D【分析】将等式右边同时除以-2f,再按照多项式除以单项式进行运算即可求解.【详解】解由题意可知M=Sx5-18x3/-2x22X2=-4X3+9X/+1,故选D.【点睛】本题考查了整式中多项式除以单项式等知识点，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.

2.一个三角形的面积为3孙-4y,一边长是2y,则这条边上的高为.【分析】根据三角形的面积S=，/〃，得到仁々,代入计算即可.乙Uv【解答】解根据题意得:23xy-4y4-2y=6xy-8y+2y=3x-4,故答案为3x-

4.【点睛】本题考查了整式的除法的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确求出三角形的高，从而进行解题.539n65645433A.——x y+—x yB.——y+—xy55102C105C.453D.—xy——xy

323.设M是一个多项式，且=那么加等于【答案】C【分析】根据被除数等于商乘以除数，计算即可得到M的值.【详解】解根据题意得M=\-2x2y^-x--x2^故选C.【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.一个多项式除以2x+l,所得的商式是1,余式是5x,则这个多项式是B.2X3+X2+2X-1C・7x+x~+7x—1D.+尤~+3x—1【答案】D【分析】设该多项式为A,根据题意列出等式即可求出答案.【详解】设多项式为A,.•.A2x+l=x2l…5x,:.A=x2l2x+l+5x=2x3+x22x-1+5x=2x3+x2+3x-1,故选D.【点睛】本题考查整式的混合运算，属于基础题型.

5.有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示.右边场地为长方形，长为2〃+，则宽为A.~B.1C.—a+b D.a+Z【答案】c【分析】用长方形的面积除以长可得.【详解】宽为（〃2+4匕+4人+人2）+2（4+8）=（4+/）2+2（Q+Z）=；（a+b）故选C【点睛】考核知识点整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.

6.某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带.方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙.设攵=”（ab0）,下列选项中正确的是（）»乙1331A.Gk—B.二Z2C.lk-D.-k〈l2222【答案】D【分析】由题意可求S甲=2abb2,S乙=2ab,代入可求k的取值范围.【详解】TS甲=2abb2,S乙=2ab..S甲2ab-b2b=I------..K=——=------------------S乙2ab2aVab0•二VkVl2故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键.

7.已知4=2犬+6,B是多项式，在计算A时，小海同学把A错看成了8・4结果得x,那么的正确结果为（）A.2X2+4X-6B.3x+6C.2/+6x D.2/+4x+6【分析】根据题目的已知可知5=Ar=x（2x4-6）,然后进行计算即可解答.【解答】解・・・人4=人.\B=Ax=x（2尤+6）=2J+6X,.\B-A=2X2+6X-（2x+6）=2/+6x-2x-6=2/+4x-6,故选A.【点睛】本题考查了整式中多项式除以单项式等知识点，熟练掌握运算法则是解决本题的关键.…，都是正数,如果知=（・・・+・・・+

8.%,〃2,20164+2+2015）32+3+2016），双=（出+.・・+那么的大小关系是（）4+2016）（2+%+・・・+%015），Af,NMN2-2=-C.-不确定A.B.D.44【答案】A【分析】设+，可得知-]，再根据，出，都是正数，则，即可元成解S=23+”2015N=2016”2020，12016答.【详解】解设=+52+32015,・・・，都是正数20161〃2016°故选A.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则以及对整式进行灵活变形成为解答本题的关键.

二、填空题（每小题4分，共20分）.计算、）+9（6/2-3%3%2）,=.【答案】孙-21【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可.【详解】解（6x3y2-3x2y）^3x2y=6x3y2^3x2y-3x2y-^3x2y=2xy-].故答案为2xy-l.【点睛】本题考察了多项式除以单项式，其运算法则是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.。