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第讲三角恒等变换与解三角形2目录第一部分知识强化第二部分重难点题型突破突破一三角函数式求值突破二已知三角函数值求角问题突破三三角函数式化简突破四和（差）角公式逆应用突破五拼凑角突破六利用正、余弦定理解三角形角度1三角形个数问题角度2利用正弦定理解三角形角度3利用余弦定理解三角形角度4正余弦定理综合应用突破七判断三角形的形状突破八三角形面积相关问题第三部分冲刺重难点特训第一部分知识强化、两角和与差的正弦、余弦、正切公式11cosa±/3=cos a cos/3i sin a sin[32sin«+/3=sin a cos/3±cos a sin[
3、±,c tantan£z3tan6z+J3=---------------J1♦tancr tanp、二倍角公式2
①sin2a=2sin acos a@cos2a=cos2a-sin2a;cos2^z=2cos2a-\；cos26r=1-2sin2a2tan a
③tan2a=l-tan2a所以，故因此，tanAtanB^l,tanC=0,tan2C==-2V
2.l-tan2C71sin/,sina+cosa=H
35.（2022•陕西・模拟预测（理））已知sin a+—,sin p+cos p=,则2I2J故答案为-
272.cos^-/=1+.71【详解】sin a+—=sin尸,cos a=sin/,.・.sin a+sin.=cos a+cosV3I22【答案噌sinQ+sin/J-j2+2sin sin+sin2p=2+V3s n\2cos a+cos P-cos6z+2cos acos p+cos p-两式作和得，2+2cos acos+sin sin£=2+2cosa-A=2+6cos a-0=故答案为立2突破五拼凑角
71、【详解】解因为合£,71所以乙71710,-----a+—G又COS CtH
12.1212j兀、%、,兀、
1.（2022•湖北黄冈•高三阶段练习）已知cos a----贝Ij sin a+5=H
3771、、12；12J1-cos2’71A3-473f\•4a+—_V|77210C.D.B.—To~w泊5所以a-\——+一sin a+—=sin12；\
371.71cos—•Feos a+sin=sin a+—12；4V【答案】D3V24V27V2------------------------=—x F—x=525210故选Da+
712.（2022•天津•高三期中）已知sin—则sin510；A・噜Qg1717D.--------------------------25C.D.2525【答案】D【详解】因为sin17=l-2sin2a-\~—I525//1771所以sin2a-=sin2a+2a+=-cos10；k25故选D兀2a——
713.（2022•湖南咛乡高三期中）则sin2cr--cos I6J一cos a=—1A.—389B.一D.9【答案】Acos cc——cos aI6；cos a+—sma-cos a--^sin^-cos^sm a+—.Ac兀兀c兀71一=cos-2a=cos7i-2a+sin2a——=cos——2a——=2sin26Z+--12-1=1—2x故选A3JI
4.（2022•山西忻州•高三阶段练习）若sin（a+）=z，则sin（2a+=657A.——161625B.——D.—2525【答案】Cjr3jr jrI【详解】sina+-=-,/.cos[2a+-]=1-2sin2tz+—=—,o5o o
25./c
5717、./八兀、.兀、sin2a----=sin2a H---1—=cos2a H—=—H632325（JI（•山东烟台•高三期中）已知2022cos6Z--l6贝代
5.in-2a故选c7【答案】【详解】由诱导公式可知，二一sin2a=sing+£-la=cos£-2a=cos2a-£,623333JI因为,cosa-7=
65、冗7jr jr所以sin--2a=cos2cr--=2cos2cr---1=~~^•故答案为一六7突破六利用正、余弦定理解三角形角度1三角形个数问题（•陕西•西安市鄂邑区第二高二阶段练习）在一中，此三角形解的
1.2022ABC4=18,b=24,ZA=30°,A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定情况为（）【答案】B【详解】由正弦定理，可得一工，则^7=sinB=2sinA=Wsin30=|sin A sin Ba183因为则所以有两个解,ZB故选B.
2.A.无解B.两解（•陕西咸阳•高二期中（理））在中，若=迪，，则此三角形解的情况为2022ABC b=3,c3=452C.D.解的个数不能确定【答案】Cb【详解】由正弦定理，得k sin B sin C3V2__v得.csinB22b3因为则故为锐角，故满足条件的只有一个.cb,C3,ABC故选C.
3.（2022•吉林・延边第一高一期中）在ABC中，已知，=2/=#,A=45,则满足条件的三角形（）有个有个不存在无法确定A.2B.1C.D.【答案】A【详解】由正弦定理可得一三二‘，又〃=2,b=#,A=45sin Asin B百2y/6=所以，所以y/2sin Bsin B=—,~2因为Q〃，所以，又BGQT）所以或3=53=§◊J•・・满足条件的三角形有2个.故选A.
4.（2022・全国•高三专题练习）在ABC中，已知=21=3,5=30，则此三角形（）有一解有两解无解无法判断有几解A.B.C.D.【答案】A7sin B2sin30【详解】在中，=，由正弦定理得AfiC21=3,8=30sinA而有即为锐角，所以此三角形有一解.AvB=30,A故选A
5.（2022・陕西•武功县普集高级高二阶段练习）在ABC中,内角人B,C的对边分别为，b,c.已知瓜则此三角形（）a=2b=6,A=j6无解一解两解解的个数不确定A.B.C.D.【答案】C,273_6/-【详解】由正弦定理』二，得—后，解得八色.7=r=/r smsin Asin B—22因为所以Qb,Av
3.27rTT又因为所以=可或BcQR,38=J7故此三角形有两解,故选c.角度2利用正弦定理解三角形
1.（2022・四川・成都市第二高三期中）ABC中，已知、b、c分别是角A、B、C的对边，且a_cos B成等差数列，则角=（）Cb cos A71717171B.D.一—或一A.6332a_cos B利用正弦定理得:当=胃sin B【详解】由b cos A cos A即sinAcosA=sinBcosB,/.sin2A=sin2B,【答案】D0A7r,0B7r,0A+B.7T・・.2A=23或24+23=5又、、成等差数列，则A BC A+C=2B,JT由,得A+5+C=3B=7i B=_3TT当时一,A+5=—
2.（2022・河南・汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若故选D.n c.一27171乃3D.一B.-A.T46［则acos C+\3a sin C-/-c=0,A=【答案】C［详解］上C+a sinC-/-c=0/.sin AcosC+6sin Asin C-sin B-sin C=0QCOSsin Acos C+/3sin Asin C-sin4+C-sinC=0/.sin Acos C+V3sin AsinC-sin Acos C+sinCcos A-sinC=0「・V3sin AsinC-sin Ccos A-sinC=0l+cos2«
①cos a=~~
2、降幕公式31-cos2a突破一三角函数式求值/.22sin a=----------------cos2（•河南省淮阳模拟预测（理））若为第二象限角，且
7751.2022sin8+cose=@l-2sin20+-5243D.—、辅助角公式44A.—4B.—33_________________________【答案】Da—=2R【详解】为第二象限角，「.〉，sing cos6^0,sin AsinBsin CQsinx±Z;cosx=J+/乎得拽，-叵Siscos*sim cos*「.*sinx±0其中tan^9=—tancossin2O+cos=
1、正弦定理5“2tan9-
44、余弦定理6/.tan20=---------=---------=-,l—tar1-43a2=b2+c2-2bc cosA;cos20cos20cos20l-2sin2f^+-4,cosf2^+—sin20tan
24.b2=a2+c2-2tzccos Bc2=a2+b2-lab cos2余弦定理的推论C
7./2+c2-a1；cosA=----------------2bc+片_/D；cos B=-----------------laca2+b2-c2cosC=----------------2ab、三角形常用面积公式8
①S=x底x高；2
②；S=—absin C=—acsin B=—besin A222
③S=m+8+c»（其中，，是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；2cihe@S=——（其中，是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.4R第二部分重难点题型突破sin a——I
02.（2022•黑龙江・哈模拟预测（理）已知tana=-3tan—的值为（）512cos a--------------兀I12A.-4B.-2C.2D.4故选D.【答案】C兀、5兀c兀【详=sin OLH--cos a-=sin a------tan=-3tan—,12212j12解】71sin・兀,71sin a一则a---------sinacos------cosasm—121212一一r.兀.71cos a-------7i sin a+——sinacos—+cosasin—1212I12J I12j兀彳兀tan-tan-4tan12_12=2,兀兀tan or+tan--2tan1212故选C.tan
27.50+1（•吉林•东北师大附中模拟预测）求值
3.2022tan
27.5°-8sin
27.5°+l1__________sii
7.50+cos
27.5—+—tan
27.
58417.51-sin
27.58sin
27.5°cos
27.50+cos
27.5【详解】_1_1_26-l-2sin215o-cos30°-^-故答案为空3tan40（•河南焦作•一模（理））计算
4.20222cos50°——■一八.sc tan40°…sin40°【详自单】2cos50°-------=2sin400-------------22cos40°4sin40°cos40°-sin40°_2sin80°-sin40°2cos4002cos40°2cosl00-sin40°_2cos40°-30°-sin40°2cos4002cos40°+_G cos40sin40-sin40_G2cos4002故答案为旦2突破二已知三角函数值求角问题
1.（2022•海南华侨模拟预测）已知名广£（0,2]sina=好,sin/=巫，则二十分二（37C.—7717141B.一D.一或一一344A.12）510【详解】依题意夕均为锐角,由得sina=—cosa=Jl-sin2a=-【答案】A由sin/=更得cos3=Jl-sin2[3=豆叵10710所以3（好小拽x
①一色包=也,v75105102而＜二十万＜兀，所以二+£=工.04故选A.，不、且（•全国•高三专题练习）已知=撞，叵,aw
2.2023cosa sin/=5100,—,/e0,，则夕的值\2a+75/rD.—4【答案】Bcos0=71-sin2=孽【详解】a e，9,P G0，g，sina-Vl-cos2a-l2；y
25.・.30二^3月…行”=拽、亚-旦回v7510510又万乃,2+£0,:.a+B=.
3.（2022•陕西・蒲城县蒲城高三阶段练习（文）,cosA=—,cosB=一,则510故选B.兀35TI5A.—4B.—3C.D.71A+B=T【答案】CB e0,K,且cosA=^^0,C°s5=—亚0,【详解】因为A,10所以Ac0,—,BG\2因为sin/4+cos2A=1,sin2B+cos2B=1,所以咕,於®,sinA=sin510Vs Vio_V2H x=,所以sin A+3=sinAcos B+cosAsinB=5102x57c所以A+r故选Ccos/=，m,则一£的值为（）（•全国,高一课时练习）已知，夕均为锐角，且
4.2022sina10兀兀371C.—A.—B.—444【答案】B【详解】•・《£均为锐角，且近邛,cos噜,・•・cosa=Jl—sin2a=拽，sin/=y/l-cos2p=5,10丁・sin二一/=sin2cos万一cos a sin尸V5VlO2753M6--------------------------------------------=x x=.5105102丈均为锐角a,P故选B.
5.（2022・福建泉州•模拟预测）已知0工二90，且sin360（l+sin2a）=218°COS2a9则a=A.18°B.27°C.54°D.63°【答案】B【详解】因为sin360l+sin2a=2sinl80cosl80l+sin2a所以2cos218°cos2a=2sin18cos18°1+sin2a,整理得cosl8°cos2a=sin18°sin2a+sin180,cos18°cos2a-sin18°sin2a=sin18°cos2a+18°=sin18°因为,0”av90所以，18*2a+180198所以，2a+18°=900-18解得二27故选B突破三三角函数式化简一一；，J
1.2022・广东汕头•高三期中的值为cos-25-snr155A.--B.；C.—D.--2222【答案】A【详解】-sin110cos70°_-sin70°cos70°_-5sin140__5cos50__cos2250-sin21550-cos2250-sin2250cos500cos500—故选A
2.（2022•山东・乳山市银滩高级高三阶段练习）已知函数/
（1）=优一2+2（〃0且1）的图像过定点尸,Un}9ncos-a sin+sin2aL2且角的始边与X轴的正半轴重合，终边过点P,则等于、71cos sin-a-+a一兀12J371cos-------asin—+a4-sin2a12J-sina cos a+2sinacos a所以-sin2acos—+asinacos—+a sina一兀-12【详解】由题设知过定点故=；/x P2,3,tana兀-a sinIa]+sin2a型+cos a_1_2cos32sinatan a372cos4x-2cos2x+—
23.2022・全国•高三专题练习化简:2tanf--x\in2/71---F14X故答案为2・f-、1-cos2x【答案】—cos2x##---【详解】原式二sm7t---X2cos2471cos------X142cos2x-
1、714-sincos---------------x X—4cos4x-4cos2x+1一2cos2x-ljcos22x13兀2-sin---------=—cos2x2cos2x2-------------2x12,故答案为—cos2x2cos80°-sin70°曰,全国•高三专题练习化简:
5.20221cos（乃一夕）sin（3〃-夕）sin（一I乃2一6）sin故答案为一百已知，月避，求/的值.2e0,g,.sina=sin/=^0,I2；510兀3【答案】
（2）-万因为…11—+【详解】
（1）COS--\2sin sin=cos0,2兀、sin2〃—ecos〃+ecos—+8cos12J-sin一cos一sin6-sin8sin0所以=----------------------------------------=----------=—tun2,-cos0sin0sin0cos3cos3cos〃-0sin3%-0sin一万-0sin即tan0=-2,COS2O-sii1-tan2^_3rrr|GA2A.2nm kAcos20=cos8—sin0=---------------；—1+tan235cos29+sin26且巫,sina3,si“=JI5”10因为2a,0£0,—I Lcos p=71-sin2^=时口―小A..A263Vio M6m以cos a+p=cosacosp-sma sinB---------------------------------------=——，x xv75105102jr\因为,所以+分兀，a,Be0,—£0,\27jr所以+『a突破四和（差）角公式逆应用•江苏•高三专题练习
1.2022sin25cos20-cos155sin20=一孝当A.BD.【答案】B【详解】根据三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简可得:V2sin25cos20-cos155sin20=sin25cos20-cos25sin20=sin25+20=2故选B.2%7171r2万A.--------B.------一C.D・T
3332.（2022・全国•高三专题练习）在△ABC中，tanA+tanB+73=V3tanA-tanB,则C的值为（）【答案】C【详解】由已知可得tanA+tanB=73tan/A-tanS—1,z tan A+tan3，一「tanA+8=-------------------=-61-tan A tan B又0A+BN,271/.A-\-B=—7i,「.C——.33故选C
33.（多选）（2022•全国•高三专题练习）已知5后（一/）85一85（〃一1）5皿=一，则）的可能值V21010（sin/+【答案】BD33【详解】依题意，原等式变为:sin［（—分）-m=-sin，=N，即sin尸=-不JJ显然夕是第三象限角或第四象限角，cos2/=l-sin2/7=i1,即cos/=-或cos£=:,J J471V
2.7A/2=-sin/+—=--sin p+cos3=,于是得，当时，（尸+cos/=-t sin当cos/=［时，sin，+午=一sin，+=-^-sin，+cos/3=所以（军）的可能值为述或—sin/+41010故选BD（•江苏海安市立发高三期中）在中，若叵,则【答
4.2022ABC tan A+tan B+\p2=tan A tan Btan2Ctan A+tan B【详解】因为tan（A+3）==tan兀-C=-tanC,1-tan Atan B案】-272所以，tan A+tanB=tanCtan Atan3-1,由题意可得血tan Atan3-1=tan A+tan3=tan Ctan Atan3—1,若则不妨设为锐角，则tanAtan3=l,tanA+tan5=0,Atan3=-tan Av0,则不合乎题意，tanAtan3=—tanA0,。
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