第03讲思想方法专题线段与角计算中的思想方法4类热点题型讲练

第讲思想方法专题线段与角计算中的思想方法（类热点题型讲练）034目录【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用

37.【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键.【变式训练】

1.（2022秋・湖南长沙•七年级校考期中）两根木条，一根长16cm,另一根长22cm,将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为.【答案】或

193.【分析】设根据题意分两种情况

①如图两根木条如图放置，有一端重合,AC=16cm,AB=22cm,1,根据点石是的中点，点是的中点，可得再由即可AC A3AE=8cm,AD=^-AB=llcm29得出答案；

②如图两根木条如图放置，有一端重合，根据点是的中点，点是的中点，可得2,E ACA3AE-8cm，AD=—AB=11cm,再由£D=AD-AE即可得出答案.2【详解】解设根据题意，AC=16cm,AB=22cm,

①如图1,回点是的中点，点是的中点，E AC450/lE=-AC=-xl6=8cm,AD=-AB=-x22=}\cm,2222团£©=AE+A£=8+1l=19（cm）；⑷猜想不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半./AOC25O NMON【答案】⑴45240⑶404ZAOC【分析】利用角平分线的定义求得和的度数，再求得进一步计算即123N7VOC/MOC,可求解；由可得出结论；4123【详解】解10ZAOC=90°,ABOC=60°,0ZA6B=9OO+6O°=15O°,平分[3OM^\ZAOM=-ZAOB=15°,20ZMOC=9O°-75°=15°,又回平分QV/HOC,a ZNOC=-ZBOC=30°,2+0AMON=ZMOC+ZNOC=1530°=45°,故答案为45；解20ZAOC=80°,ZBOC=60°,a ZAOB=800+60°=140°,回平分OM/AQB,^\ZAOM=-ZAOB=70°,20ZMOC=80°-70°=10°,又平分I2QV/BOC,0ZNOC=-/BOC=30°,20AMON=ZMOC+ZNOC=10°+30°=40°,故答案为40；解30ZAOC=80°,ZBOC=50°,0ZA9B=8OO+5OO=13OO,回平分OM N495,0ZAOM=-/AOB=65°,20ZWC=8O°-65O=15°,又平分laoN/BOC,团NNOC△N30C=25，2+0AMON=ZMOC+ZNOC=1525=40°,故答案为40；4解由以上123得出结论NMON=；NAOC,即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半./AOC/BOC NMON故答案为ZAOC.【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解.【变式训练】12023秋・重庆开州•七年级统考期末已知为直线上一点，将一直角三角板MN的直角顶点放在点处.射线平分OC NMO

5.⑴如图若〃=，求的度数；1,4440NCON⑵在图中，若直接写出的度数用含的代数式表示；1NCON将图中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图的位置，当时，求的度数.312NAOC=3/8ON【答案】⑴202Z.CON=⑶144【分析】根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；1根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；2设依次表示出最后根据3ZBOC=x,NCOM=x,ZAOM=180°-2x,4BON=Wx,ZAOC=180°-x,ZAOC=3ZBON列方程即可得到结论.【详解】因为为直线上一点，且，1A3NAOM=40/MON=90所以NBOA1=140°,/BON=56因为射线平分OC所以ZBOC=-ZBOM=70°因为乙CON=NBOC-/BON所以4cON=70°-50°=20°因为为直线上一点，且2A3/MON=9所以—，/5OM=180/BON=9/—a因为射线平分OC ZMOB所以ZBOC=-/BOM=9Q°--a22因为4cON=NBOC-NBON所以/双=一工二一

（一二）=’二090902-2（）设则3/BOC=x,NCOM=x,ZAOM=180°-2x,^BON=90°-2x因为ZAOC=ZAOM+ACOM所以=（-）-/4018021+%=1801因为ZAOC=34BQN所以180一1=3（90-21）解得工=18因为NAOM=180°-2x所以（）一.NAO=182x18=144【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键.

2.（2023春・山东济南•六年级统考期末）解答下列问题如图射线在的内部，图中共有个角和若其中有一个角的度数1,OC/AOB3ZAOB,NAOC/BOC,是另一个角度数的两倍，则称射线是的〃巧分线〃.⑴一个角的平分线—这个角的〃巧分线〃，（填是〃或〃不是〃）.⑵如图若,且射线是的〃巧分线〃，则乙肝=_（表示出所有可能的结果探索新知）.2,/MPN=6PQ/MRV（）如图若且射线夕是的〃巧分线〃，则/“尸=_（用含的代数式表示出所有可能33,/MPN=a,NMRV a的结果）.【答案】⑴是（）或230°,2040cl—1—2⑶5a或铲或5a【分析】

（1）根据“巧分线〃定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；⑵根据“巧分线〃定义，分、、、/加尸三种情况求解即可；NMPN=2/MPQ NNPQ=2NMPQ23=2/NPQ⑶根据〃巧分线〃定义，分=、、心©三种情况求解即可.NNPQ=2NMPQ/MPQ3=2/【详解】

（1）解如图1团平分/AO3,0ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,团根据巧分线定义可得是这个角的〃巧分线〃.OC故答案为是.

（2）解如图3

①当=时，贝lj=工/加取=工*60=30；22

②当贝，解得；NNPQ=2NMPQ,ij NMPN=NMPQ+NNPQ=3NMP02=60ZMPQ=20°32

③当贝」二，解得NMPQ3=2/NPQ3,I NMPN=NMPQ3+NNPQ3==60ZMPQ,=40°.综上，可以为,,.NMPQ30204011zy3解如图3

①当/MPN=2NMPQ时，则NMPQ=—NM/W=—xa=—；

②当NNPQ—NMPQ,则NMPN=NMPQ+NNPQ=3NMPQ2=0，解得^MPQ=-a；232

③当解得NMPQ—NNPQ3,W\/MPN=/MPQ3+/NPQ3=—/MPQ3=a,AMPQ.=-a.3X12综上，NMPQ可以为5a,.【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解巧分线〃的定义是解题的关键.

3.2023秋・河南安阳•七年级校考期末如图，已知NAO8=150，三角形CO是一个直角三角形，NCOD=90°,平分OM ZBOC.⑴如图当时，；1,NAOC=50ZDOM=⑵如图当时，；2,NAOC=110ZDOM=⑶如图当时，求的度数，借助图计算；3,/AOC=a15Ta180/DOM3⑷由问可知，当时，请直接写出的度数.用夕来表示,无需说明理由1,2,3NAOC=/o£vl8NQOM【答案】⑴40270°CC35+15⑷，+15【分析】根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再1/8OC=100NCOM=J/5OC=50乙利用角的和差即可解答;同的思路求解即可;21⑶先根据角的和差求出〃℃=「一，再根据角平分线的定义求出〃再1531*4℃=1-750利用角的和差求解即可;分/，/与尸三种情况，分别结合图形求解即可.406060150150180【详解】解如图，11,I2NAOC=50ZAOB=150°,0ZB9C=1OOO,平分,Eiow/so0ZCOM=-ZBOC=50°,20ZCOD=90°,；0ZMOD=90°-50°=40°故答案为40°；2解如图2,ElZAOC=110o,ZAOB=150°0ZBOC=40°,9平分E1OM/HOC,0ZCOM=-ZBOC=20°,2，[3NCOD=900/MOD=90°-20°=70°；故答案为70°；解3^ZAOC=6^150°180°,ZAOB=150°,0ZBOC=^-15O°,团平分/HOC,OM」，0/COM=-ZBOC a-7522回，NCOD=901A XaZMOD=90°4-—a—75=-+15°.2J2解:当/时，如图40601,0ZAOC=/7,ZAOB=150°90ZBOC=150°-/,平分2OM NBOC,团」-与，/COM N80C=75220ZC9Z=9O°,1B.0ZMOD=90°-75°——B=t+15I2P2，当尸时，如图601502,0ZAOC=^,ZAOB=150°,0ZBOC=15O°-^,回河平分/，3^ZCOM=-ZBOC=750--0229[3ZCOD=90o,国/用一（一，£]=.03=90752+15I2T2，当时，如图由的结论可得；15041803,3NMOZ=2+15综上.N/OO=2+152【点睛】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键.

②如图2,回点是的中点，点是的中点,E ACA30AE=-AC=-xl6=8cm,AD=-AB=-x22=llcm,22220EZ=AD-AE=ll-8=3cm.综上所述，两根木条的中点之间的距离为或19cm3cm.故答案为或

193.【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法.熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键.秋•云南昆明七年级统考期末有、8两根木条，长度分别为、的，将它们的一端

2.20234524518重合且放在同一条直线上，此时、8两根木条中点之间的距离为A3cm.【答案】或321【分析】假设端点3和端点重合，分两种情况如图

①3C不在A3上时，MN=BM+BN,

②3C在A3上时，分别代入数据进行计算即可得解.MN=BM—BN,【详解】解假设端点和端点重合B如图，设较长的木条为较短的木条为AB=24cm,3C=18cm,团知、分别为、的中点，N A38c0BM=12cm,BN-=9cm,

①如图不在上时，1,BC ABMN=BM+BN=12+9=21cm,

②如图在上时，2,8c A3MN=BM-BN=\2-9=3cm,综上所述，两根木条的中点间的距离是机或办21c3c故答案为或

321.【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观.

3.2021秋・湖北•七年级校考阶段练习将一根绳子对折后用线段A3表示，现从P处将绳子剪断，剪断后2的各段绳子中最长的一段为若则这条绳子的原长为84cm,=A3,cm.【答案】或或140210/210140【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的倍，分类讨论，依的倍最长，可得A3A322PB,小的倍最长，可得”的长，再根据线段间的比例关系，可得答案.2【详解】解

①当相的倍最长时，得依=242,=-AP AB93\PB=-AB=42,・・.AB=70,回这条绳子的原长为2AB=140cm,

②当的倍最长时，得AP2AP=42,\AP=-AB=429\AB=105,回这条绳子的原长为245=210cm.综上所述，这条绳子的原长为或140cm210cm.故答案为或

140210.【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键.【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】例题（2023秋•七年级课时练习）已知/45=80，ZBOC=20°,OP平分ZBOC,则NAOP等于.【答案】或7090【分析】分两种情况利用角平分线的定义即可求解.【详解】解当如图所示时平分OP/5OC,ZAOB=80°,ZBOC=20°,・•.ZAOP=ZAOB--ZBOC=70°,2当如图所示时尸平分O/5OC,ZAOB=SO°ZBOC=20°,

9.・.ZAOP=ZAOB+-ZBOC=90°.2故答案为或.7090【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键.【变式训练】（春•黑龙江哈尔滨•六年级统考期末）已知，则的度数是

1.2022NAQ5=18ZAOC=3ZAOB,/BOC【答案】或3672【分析】分两种情况讨论

①当在的内部时；

②当在的外部时，分别求解即可得到答案.8/AOC8/A【详解】解

①如图，当在的内部时，08/AOCZAOB=18°,ZAOC=3ZAOB9ZAOC=54°

9.・.ZBOC=ZAOC-ZAOB=54°-18°=36°；

②如图，当在的外部时，3/AOC ZAOB=1S°,ZAOC=3ZAOB,/.ZAOC=54°,.・.ZBOC=N4OC+NAO3=54+18=72；综上可知，的度数为或，/5O3672故答案为或.3672【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.（春•黑龙江哈尔滨•六年级校考期中）已知，平分射线与所形成的角度

2.2022/AO3=80/4O8,OM是，那么的度数是10N49M【答案】或或3050/5030【分析】分两种情况射线河在的上方和射线同在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别OC OC计算即可.【详解】解:如图1,平分0ZAOB=8O°,OC/AQ5,」0ZAOC=ZBOC=-/AOB x80=40°,22回射线与所形成的角度是，100ZCOM=10°,；0ZAOM=ZAOC-ZCOM=40—10=30°如图2,平分0ZAOB=8O°,OC NAO5,0ZAOC=ZBOC=-ZAOB=-xSO°=40°,22回射线与所形成的角度是OM10°,0ZCOM=10°,0ZAOM=ZAOC+ZCOM=400+10°=50°；综上可知的度数是或ZAOM30°50°故答案为或

3050.【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键.

3.（2022春•黑龙江哈尔滨•六年级校考期中）已知射线是NA03的三等分线，射线为/AQB的平分线，若，贝NAOC=40ijNCOQ=.【答案】或201012【分析】根据三等分线的定义可得=飞乙或乙=（乙画出图形，进行分类讨论即可./443443,【详解】解团射线是的三等分线,/AO3或0ZAOC=-ZAOB ZAOC=-NAOB,33当=』/时，如图/A0C49830ZAOC=4O°,ZAOC=-ZAOB930ZAOB=12O°,回射线为的平分线，OD ZAOB^\ZAOD=-ZAOB=60°920ZCOD=ZAOD-ZAOC=20°；2当时，如图/AOC=—/A080ZACC=40°,ZAOC=-ZAOB390ZAOB=6O°,国射线为的平分线，OD ZAOB^\ZAOD=-ZAOB=30°,2；0ZCOD=ZAOD-ZAOC=10故答案为或.2010【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条.秋•黑龙江大庆•六年级统考开学考试如图，长方形纸片点在边上，点在边上，连接

4.2023A8CD,P NC3将对折，点落在直线上的点处，得折痕正；将对折，点落在直线上的点处，PM,PN./DPN PNW NAPMA A得折痕若,贝77L/MPN=301/£//=.【答案】或75105【分析】分两种情形如图中，当点在点的上方时，可得“尸-，由1N M N+ZAPM=180ZMPN=150翻折变换的性质可知由可得答案;当点在点N£PN=NOPN,ZFPM=-ZAPM,ZEPF=ZMPN+NEPN+NFPM N M的上方时，设则可以得到-/加取=，由翻折变换的性质可知/DPM=x,ZAPN=y x+y=180150ZDPE=-ZDPN9,根据/—N/石+即可求解.=-x+30°,ZAPF=-ZAPM=-y-^30°=180ZAP【详解】解如图中，当点在点的上方时.1N M回，NMPN=30一0ADPN+ZAPM=180ZMPN=180°-30°=150°,由翻折变换的性质可知/砂N=NZ»N,NFPM=；ZAPM,0/EPN+ZFPM=-x150°=75°,20ZEPF=ZMPN+ZEPN+/FPM=300+75°=105°.当点在点的下方时，设NMZAPN=y,则，x+y=1800—NMPN=150由翻折变换的性质可知=尸N=:（X+30），ZA尸F=；ZAPM=；（y+30），0ZEPF=18O°-（ZDPE4-ZAPF）=18Oo--（x4-y）-3Oo=75°.综上所述，满足条件的N石汽尸=或.75105故答案为或.75105【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题.【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题（2022秋・河南南阳•七年级统考期末）

（1）如图，已知线段A3,点C是线段A3上一点，点M、N分别是线段的中点.AC,BC

①若=则线段的长度是；AC=34,MN

②若求线段的长度（结果用含、的代数式表示）；AC=Q,BC=b,MN ab

（2）在

（1）中，把点C是线段45上一点改为点C是直线A3上一点，AC=a,BC=b.其它条件不变，则线段的长度是（结果用含八分的代数式表示）【答案】

（1）

①4,

②,（a+b）,

（2）,（a+b）或5他一a）或5（a—b）【分析】

（1）

①根据线段中点的定义可得MC=mAC=N,NC=j3C=N,即可求解；

②即可求解；MC=—AC=—,NC=—BC=—,Z Z Z Z（）根据题意进行分类讨论即可当点在线段上时，当点在点的左边时，当点在点的右边2C CA C5时.【详解】

（1）解

①团点M、N分别是线段AC,5c的中点，AC=BC=4,^\MC=—AC=ANC=—BC=Z z z9

⑦MN=MC+NC=N+N=4,故答案为4；

②回点朋、分别是线段的中点，N AC,5C AC=BC=49S]MC=—AC=—,NC=—BC=—z z zz9（）；SJMN=MC+NC=^a-hb（）当点在线段上时,2A3由1可得MN=MC+NC=4+b；当点在左边时,C Aiiii1C XfA Ag回点、分别是线段的中点，M N AC,BC AC=a BC=b,9^=—=—,=—=—zzz zMC AC NC BC9

⑦MN=NC-MC=Lb—a；当点在点右边时，CB回点、分别是线段的中点，M N AC,8CAC=a BC=b,9^MC=—AC=—,NC=—BC=—,Z ZZZ^MN=MC-NC=-2a-b；综上；〃+/或;仅一〃或;MV=a-/.故答案为；（〃+）或不仅-〃）或；（）.4-【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想.【变式训练】

1.（2022秋・全国•七年级专题练习）如图，点3在线段AC上，点M、N分别是AC、5c的中点.2⑴若线段则线段的长为_AC=15,BC=-AC,MN⑵若为线段上任一点，满足其它条件不变，求的长；3AC AC-5C=m,MN⑶若原题中改为点在直线上，满足其它条件不变，求的长.B ACAC=a,BC=b,MN9【答案】⑴321m【分析】

（1）先求出8=6,再由点〃、N分别是AC、的中点，可得CM=AC=J,CN=；BC=3,再由即可求解;N=CM-CN,由点、分别是、的中点，可得』再由即可求2M N AC3C CM=AC,CN=-BC,MN=CM—CN,22解；分三种情况讨论当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在的延长线上时,即可求33AC3AC5C4解.2【详解】解1AC=15,BC=-AC9BC=6,又点、分别是、的中点，N AC

8.\CM=-AC=—CN=LBC=3,9222159:.MN=CM—CN=——3=—；229故答案为—；解,「点、分别是、的中点，2N AC8C;.CM=-AC CN=-BC9922:,MN=CM-CN=-AC--BC=-AC-BC=-m；222V72解当点在线段上时，38AC丁点、分别是、的中点，A/N AC3c:.CM=-AC CN=-BC9922,MN=CM-CN=二AC-=BC==AC-BC=La-b；当点在的延长线上时，8AC点、分别是、的中点，MNAC BC:.CM=-AC,CN’BC,

22..MN=CM+CN」AC+，C」AC+3C」a+b；2当点在的延长线上时，3C4点”、分别是、的中点，NAC5C:.CM=-AC CN=-BC

9922.\MN=CN-CM=-BC--AC=-BC-AC=-b-a.【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键.

2.（2022秋・河北石家庄•七年级石家庄市第四H^一中学校考期中）

（1）如图1,点C在线段A5上，M,N分别是的中点，若求的长.AC,AB=12,AC=8,MN

（2）设=C是线段A3上任意一点（不与点48重合）.

①如图当分别是的中点时，的长是；2,NAC,8C MN

②如图3,若N分别是AC,8C的三等分点，即BN=；BC,请直接写出线段MN的长.17【答案】（）（）

①不

②162【分析】

（1）由AB=12,AC=8,得=—AC=4,根据N分别是AC,8C的中点，即得CM=-AC=4,CN=-BC=2,故MN=CM+CN=6；22

（2）

①由N分别是AC,5c的中点，知CM=，AC,CN=』3C,即得MN=,AC+,BC=」A3,22222；=—a2i i22222

②由知即得故4M=—AC,BN=—3C,CM=—AC,CN=—BC,M7V=CM+CN=—AC+—5C=—A8,33333332MN=a；3【详解】解

（1）AB=\ZAC=8；分别是的中点M,NAC,8c故答案为6

（2）

①M,N分别是AC,8C的中点故答案为—ci2

②AM=-AC,BN=-BC2故答案为3a【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算.【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题（2023秋・全国•七年级课堂例题）已知如图，OC在/AO5的内部，OM平分ZA（9B（ZAOB180o）,ON平公NBOC.

（1）当ZAOC=90，ZBOC=60°H J,AMON=°；⑵当，时，；ZAOC=80NBOC=60AMON=⑶当，时，°；ZAOC=80NBOC=50ZMON=。