《华南理工大学高数》课件

《华南理工大学高数》课件欢迎来到华南理工大学高等数学课件，旨在为学生提供全面、深入、易懂的高等数学知识体系本课件涵盖了高等数学课程的核心内容，包括微积分、线性代数、概率统计等重要领域，并结合大量的实例和应用，帮助学生更好地理解和掌握相关知识第一章函数函数是数学中重要的概念本章将介绍函数的基本概念，包括函数的定义、表示、性质以及常用的基本函数类型理解函数是学习高等数学的基础，为后续章节的学习打下坚实的基础函数的概念

1.1对应法则函数是一种对应法则，它将定义域内的每个元素都对应到值域内的唯一一个元素定义域和值域定义域是指自变量能够取到的所有值的集合值域是指函数在定义域内所有取值的集合基本初等函数

1.2指数函数对数函数三角函数幂函数指数函数描述了随着自变量对数函数是指数函数的反函三角函数描述了角与边之间幂函数描述了自变量的某个的增长，因变量呈指数级增数，用于求解指数方程例的关系，在几何学和物理学固定幂次与因变量之间的关长的关系例如，细菌的繁如，用对数函数可以计算地中有着广泛应用例如，正系例如，牛顿万有引力定殖速率可以用指数函数来表震的震级弦函数可用于描述波的运动律中描述的引力大小与距离示的平方成反比复合函数和反函数

1.3复合函数反函数

1.

2.12复合函数是指将两个或多个函数的反函数是指一个函数的反向映射，运算结果作为另一个函数的输入它将函数的输出值映射回输入值定义域和值域应用

3.

4.34复合函数和反函数的定义域和值域复合函数和反函数在数学和工程领可以通过对原始函数的定义域和值域都有广泛的应用，例如在微积分域进行分析来确定、线性代数和概率论等领域函数的性质

1.4单调性奇偶性函数单调性描述函数值随自变量变化趋势例如，单调递增函奇偶性定义函数对原点对称性奇函数关于原点对称，偶函数数随着自变量增大，函数值也增大关于轴对称y周期性有界性周期性函数在某个周期内重复，例如正弦函数和余弦函数都具有界函数的值范围有限，即函数值落在某个范围内，例如常数有周期性函数是有界函数第二章极限与连续本章将介绍微积分的核心概念之一极限与连续，以及相关性质与——应用首先，我们将学习数列极限和函数极限的概念和性质，包括极限的定义、性质和计算方法然后，我们将探讨函数的连续性概念，并学习判断函数在某点或某区间上是否连续的方法数列极限

2.1数列极限的概念极限的定义极限的图形解释数列极限是描述数列的收敛性，即当使用语言来精确定义数列极限，表图形上，数列极限可以理解为数列的nε-δ趋于无穷时，数列的值是否趋于一个示当大于某个值时，数列的项与极限项在数轴上无限接近于一个点n.定值值的差小于.ε.函数极限

2.2定义符号应用函数极限描述的是函数当自变量趋用极限符号表示，例如函数极限是微积分中许多重要概念“lim”lim近于某个值时，函数值所趋近的值表示当趋近于时，的的基础，例如导数、积分、连续性fx=L xa fx极限为等L函数的连续性

2.3定义分类

1.

2.12函数在某点连续意味着该函数的连续性可以分为点点附近的函数图像没有间连续、区间连续和一致连断续性质应用

3.

4.34连续函数的性质包括极连续性在函数的图像分析限存在、可微性、介值定、微积分计算和物理模型理等建立中都有重要应用复合函数的极限与连续

2.4复合函数的极限复合函数的连续性复合函数的极限是指当自变量趋于某个值复合函数的连续性是指在定义域内，当自时，复合函数的值趋于某个值变量连续变化时，函数值也连续变化第三章导数与微分导数与微分是微积分学的重要基础概念本章将介绍导数的概念、性质和求导方法，以及导数在实际问题中的应用导数的概念

3.1导数定义导数公式导数反映函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化导数公式是计算导数的常用方法，它可以用来求解各种函的快慢程度数的导数导数定义为函数值的变化量与自变量变化量的比值的极限导数公式的应用可以简化导数的计算，提高计算效率导数的运算法则

3.2求导法则求导公式应用场景导数的运算法则描述了复合函数、乘每个基本初等函数都有对应的求导公导数的运算法则在求解极限、研究函积函数、商函数的导数计算方法式，例如，常数函数、幂函数、指数数的性质、优化问题等方面都扮演着函数、对数函数等至关重要的角色高阶导数

3.3二阶导数三阶导数高阶导数二阶导数是函数的一阶导数的导数，三阶导数是函数的二阶导数的导数，高阶导数是函数的阶导数，它反映了n它反映了函数变化率的变化情况例它反映了函数变化率的变化率的变化函数阶导数的变化情况例如，一n-1如，一个物体的加速度是其速度的一情况例如，一个物体的加速度的加个物体的速度的阶导数，可以反映出n阶导数，而加速度的变化率则是速度速度，可以反映出速度的变化率的变速度的阶导数的变化情况n-1的二阶导数化率隐函数的导数

3.4隐函数概念求导方法隐函数是指不能用显式表达式表示的函数例如，方程隐函数的导数求解需要使用链式法则和求导公式x²表示一个圆，无法用的形式表示+y²=1y=fx例如，对于方程，两边对求导，得到x²+y²=1x2x+2y，解出*dy/dx=0dy/dx=-x/y第四章微分法应用微分法是数学分析中的重要工具，广泛应用于各种领域本章将深入探讨微分法在解决实际问题中的应用，从基础理论到具体应用，帮助学生理解微分法的强大功能微分中值定理

4.1罗尔定理拉格朗日中值定理

1.

2.12函数在闭区间内连续，开区间内可导，且在区间端点处取值相等函数在闭区间内连续，开区间内可导，则在区间内至少存在一点，则在区间内至少存在一点，使得该点处的导数为零，使得该点处的导数等于函数在区间端点处的增量与区间长度的比值柯西中值定理应用

3.

4.34两个函数在闭区间内连续，开区间内可导，且在区间内导数均不微分中值定理可以用于证明函数的单调性、凹凸性、极值点等性为零，则在区间内至少存在一点，使得两个函数在该点处的导数质之比等于函数值在区间端点处的增量之比函数的单调性与极值

4.2单调性函数单调性的概念是指函数在某个区间上，其函数值随自变量的增大而增大或减小函数单调性的判定可以通过导数来判断极值函数极值是指函数在某个点附近取得最大值或最小值极值的判定可以通过导数的符号变化来判断应用函数单调性和极值的应用包括求函数的最值、求函数的拐点、研究函数的图形等曲线的几何性质

4.3切线法线切线是与曲线在某一点相切法线是与切线垂直的直线，的直线，代表了曲线在该点它与切线共同构成了曲线在处的瞬时运动方向该点处的局部几何结构曲率凹凸性曲率衡量了曲线弯曲程度，凹凸性描述了曲线在某一点曲率越大，曲线弯曲越剧烈附近是向上弯曲还是向下弯曲，由二阶导数的符号决定参数方程和极坐标方程下的微分法

4.4参数方程参数方程使用一个独立变量（参数）来表示曲线上的点，可以方便地描述各种形状的曲线极坐标方程极坐标方程使用极径和极角来描述曲线上的点，适合描述以原点为中心的曲线微分法使用微分法可以求解曲线在特定点处的切线斜率，以及曲线的其他几何性质第五章不定积分不定积分是微积分学中的一个重要概念，它与导数概念互为逆运算本章主要讲解不定积分的概念、性质、基本积分公式以及一些常用积分方法，如分部积分法、换元积分法等不定积分的概念与性质

5.1定义性质

1.

2.12不定积分是求导运算的逆不定积分具有线性性质，运算即多个函数的不定积分等于各函数不定积分之和积分常数几何意义

3.

4.34求不定积分得到的是一个不定积分的几何意义是求函数族，每个函数都相差函数曲线下的面积一个常数基本积分公式

5.2幂函数积分公式指数函数积分公式三角函数积分公式反三角函数积分公式该公式应用于的幂次方形该公式应用于指数函数的积该公式应用于常见三角函数该公式应用于反三角函数的x式的函数的积分分的积分，例如正弦、余弦、积分，例如反正弦、反余弦正切等、反正切等分部积分法

5.3分部积分法应用场景分部积分法是一种常用的积分技巧，用于解决难以直接积当被积函数为两个函数的乘积，且其中一个函数可以较容分的函数的积分问题易求导，另一个函数可以较容易积分时，分部积分法就可以派上用场分部积分法的公式为，其中和分别是∫udv=uv-∫vdu uv两个可导函数例如，积分，其中可以容易求导，可以容∫xsinxdx xsinx易积分部分分式积分

5.4分解方法基本原则将被积函数表示为部分分式根据分母的结构，选择合适之和，分解后的表达式更容的分解方法，例如线性因子易积分，二次因子等应用场景关键步骤适用于分母为可分解多项式正确分解被积函数，并运用函数的积分问题，特别是在积分公式对每个部分分式进涉及有理函数的情况下行积分特殊类型函数的积分

5.5三角函数积分指数函数积分对数函数积分特殊函数积分三角函数积分是高等数学中指数函数积分可以通过换元对数函数积分通常需要利用一些特殊函数的积分需要用常见的积分类型，需要利用积分法或分部积分法来求解对数函数的性质和积分公式到特殊的积分技巧，例如伽三角函数的性质和积分公式，涉及指数函数的性质和积，以及换元积分法或分部积马函数、贝塞尔函数等来进行计算分公式分法结束语本课程涵盖了高等数学的核心内容，为后续学习相关专业课程奠定了基础希望同学们能够通过学习，掌握基本的数学理论和方法，并能够将其应用于实际问题中。