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文本内容:
2.2对数函数
2.
2.1对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读,根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1,理解对数的概念，了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2.通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.
3.学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.重点难点教学重点对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用.教学难点:对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用.课时安排3课时教学过程第1课时对数与对数运算1导入新课思路LL庄子一尺之梗，日取其半，万世不竭.1取4次，还有多长？2取多少次，还有
0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出
1.4=x=
0.125x=
2.l+8%x=2x=都是已知底数和幕的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幕的值，求指数,这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算
1.思路
2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数［引出对数的概念，教师板书课题:对数与对数运算
1.推进新课新知探究提出问题对于课本P
572.L2的例8
①利用计算机作出函数y=13xl.oix的图象.
②从图象上看，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿…？
③如果不利用图象该如何解决，说出你的见解？即=
1.01x,=
1.01x,=L01x,在这几个式子中,x分别等于多少？
④你能否给出一个一般性的结论？活动学生讨论并作图，教师适时提示、点拨.对问题
①，回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题
②,图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题
③,定义一种新的运算.对问题
④，借助
③,类比到一般的情形.讨论结果
①如图j=i3x i.orO图221-1
②在所作的图象上，取点P,测出点P的坐标，移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标，大约分别为
32.72,
43.29,
84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年,43年,84年，我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.of301Q
③匕=
1.0已=
1.0已也=
1.0巳在这几个式子中,要求X分别等于多少，目前我们没学这种1313131Q1Q运算,可以定义一种新运算，即若一=
1.0厂则X称作以
1.01为底的一的对数.其他的可类似得1313到，这种运算叫做对数运算.
④一般性的结论就是对数的定义一般地，如果aa0,a#1的x次累等于N,就是@x=N,那么数x叫做以a为底N的对数logarithm,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.有了对数的定义，前面问题的x就可表示了182030・X=logi,01—,X=log|.01—,x=logi.oi—131313由此得到对数和指数事之间的关系a Nb指数式ab=N底数幕指数对数式log N=b对数的底数真数对数a例如42=162=Iog416;102=1002=logl0100;4=2=log42;10-2=
0.01-2=log
100.01提出问题
①为什么在对数定义中规定a0,a^l
②根据对数定义求logal和logaaa0,a#l的值.
③负数与零有没有对数？.N@a呜=N与logaab=ba0,aWl是否成立？讨论结果
①这是因为若aV0,则N为某些值时,b不存在，如log-2;若a=0,N不为0时,b不存在，如logo3,N为0时,b可为任意正数，是不唯一的，即logo有无数个值；若a=l,N不为1时,b不存在，如logi2,N为1时,b可为任意数，是不唯一的，即logi1有无数个值.综之，就规定了a0且存
1.@log l=0,log a=l.a a因为对任意a0且a4都有a0=l,所以log l=
0.a同样易知:logaa=l.即1的对数等于o,底的对数等于
1.
③因为底数a0且ag,由指数函数的性质可知，对任意的beR,ab0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数.、N1N
④因为a^N,所以b=log N,ab=aa ogfl二N,即aog/=N.ai N因为ab=a1所以logaab=b.故两个式子都成立二N叫对数恒等式思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？活动同学们阅读课本P68的内容，教师引导，板书.解答
①常用对数我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数loglON简记作IgN.例如logl05简记作lg5;log
103.5简记作lg
3.
5.
②自然对数在科学技术中常常使用以无理数e=
2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便,N的自然对数logeN简记作InN.例如kge3简记作In3;logel0简记作InlO.应用示例思路1例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式154=625;226=—;3-m=
5.73;6434log116=-4;5lg
0.01=-2;6ln10=
2.
303.2活动学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题.对1根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数.对2根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底’的对数.64对3根据指数式与对数式的关系,m在指数位置上,m是以1为底
5.73的对数.3对⑷根据指数式与对数式的关系』6在真数位置上』6是’的-4次累.2对5根据指数式与对数式的关系,
0.01在真数位置上,
0.01是10的-2次塞.对6根据指数式与对数式的关系』0在真数位置上』0是e的
2.303次幕.解1log5625=4;2log2=-6;3log
5.73=m;4-4=16;510-2=
0.01；6e2303=l
0.2思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题？活动学生考虑指数式与对数式互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幕的关系,特别是位置的对照.解答若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几，再写成幕的形式.最关键的是搞清N与b在指数式与对数式中的位置，千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.变式训练课本P64练习12例2求下列各式中x的值/、2/、1log4X=--;2log8=6;6x3lgl00=x;4-lne2=x.活动学生独立解题，教师同时展示学生的作题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解1因为Iog64x=・，所以x=64=2=2-4=.2因为logx8=6,所以血产.因为x0,因此x=叵.X6=8=23=3因为lgl00=x,所以因止匕乂=
2.1OX=IOO=I24因为-lne2=x，所以lne2=-x,e.因此x=-
2.点评本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解.变式训练求下列各式中的X13
①log4X二一;
②logx27二一;
③log5logiox=
1.24解
①由log4x=，得x=4=2;33士
②由log27=—,得x4=27,所以X=273=81;4x
③由logs logiox=1,^logiox=5,BP x=
105.点评在解决对数式的求值问题时，若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数募的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是1若log5X=3,贝ij x=152若log25X=L则x=53若logx有二,贝U x二百42若log5X=-3,则x=^—125A.23B.13C.24D.34活动学生观察，教师引导学生考虑对数的定义.对数式化为指数式,根据指数鬲的运算性质算出结果.对于1因为log5X=3,所以x=53=125,错误;1-对于2=5,正确;因为log25X=—,所以x=2521对于4因为log5X=—3,所以X=5-3=，正确.12对于3因为logx宕=0,所以*=石,无解,错误5;总之24正确.答案C点评对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.对于a0,arl,下列结论正确的是1若M=N,则log M=log N2若log M=logaN,则M=N3若log M2=log N2,PliJa a aaaM=N4若M=N,则kgaM2=logaN2A.13B.24活动学生思考，讨C.2D.124论，交流，回答，教师及时评价.回想对数的有关规定.对1若M=N,当M为0或负数时logaMWlogN因此错误；对2根据对数的定义若log M=logaN,则M=N,正确；a对3若logaM2=logaN2,则M=±N,因此错误；对4若M=N=0时，则logaM与logJSp都不存在，因此错误.综上，2正确.答案C点评:0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.例3计算llog27;2log%8l;3log2+V32-3;4log匠
625.9活动教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解,求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解,另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法.解法一1设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=;X⑵设x=log%81,则4x=81,37所以x=16;⑶令X=log2+V32-V3=log2+7324-V3尸，所以2+6x=2+V3-1,x=-l;44令x=log38625,所以^5^户=625,5x=5x=
3.解法二Ilog927=log933=kg99二;2log我81=log^V316=16;⑶log2+732-5/3=log2+732+V3-—1；4log疗625=log冲VF-=
3.点评首先将其转化为指数式，进一步根据指数塞的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.变式训练课本P64练习
3.
4.知能训练
1.把下列各题的指数式写成对数式142=16;23°=1;34*=2;42X=
0.5;5545=625;63-2=-;7-y2=
16.94解:I2=log416;20=log31;3x=log42;4x=log
20.5;54=log5625;16-2=log-;7-2=log j
16.
3942.把下列各题的对数式写成指数式:1⑴x=log27;2x=log7;3x=log43;4x=log-；5875log16=4;6log]27=-3;7log5=6;8logx64=-6;329log2128=7;10log27=a.3解:l5x=27;28x=7;34x=3;47x=;524=16;6-3=27;76=x;8x6=64;927=128;103a=
27.
3.求下列各式中x的值231log x=--;2log27=—;3log210g x=l；4log3Igx=
0.8x534解⑴因为log8x=，所以x=8=23==2-2=;4⑶因为log2log5X10g5X=2,X=52=25；4因为log3Igx=0,所以lgx=l,即x=li=
10.
4.⑴求log4的值；8⑵已知Ioga2=m,loga3=n，求a2m+n的值.解⑴设log84=x，根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x=，即log84二;2因为Ioga2=m,loga3=n，根据对数的定义有am=2,an=3,所以2m+n=am2-an=22-3=4x3=
12.a点评此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的事的运算法则的应用.拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读部分的内容，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础.课堂小结⑴对数引入的必要性；2对数的定义；3几种特殊数的对数；4负数与零没有对数；5对数恒等式；6两种特殊的对数.作业课本P74习题
2.2A组12【补充作业】
1.将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值.1X2log24=x;33=—V5274—x=64;5IgO.OOO l=x;6lne5=x.4解15=化为对数式是log5=;X=log^y4化为指数式是血x=4,即2^=22,—=2,x=4;23X=-L化为对数式是X=log3-L,因为3X=J3=3-3,所以x-3;2727334―x=64化为对数式是x=log.64,因为！户=64=43,所以x—3;4745IgO.OOOl=x化为指数式是lx=
0.oooi,因为iox=O.OOO1=10-4，所以_；x=46lne5=x化为指数式是e二e§,因为西二,所以x=
5.
2.计算3bg3b+省”叼的值.解设x=kg3，则3x=,3x=，所以x=log.所以+r誓3,计算％》•陶°•啮,b0,c0,N
0.Na0解===N.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.设计者路致芳31-2因为kgx27=一，所以X4=27=33,即=333=34=81;x。
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