《图的定义和术语》课件

图的定义和术语图数结关是据构的一种重要形式，用于表示实体之间的系节组节关它由点和边成，点表示实体，边表示实体之间的系什么是图节点和边抽象模型图节组结节图是由点和边成的构，是一种抽象模型，用于表示实对对们关点表示象，边表示象之间的体和它之间的系关系广泛应用图应计数领问题广泛用于算机科学、学、物理学等各个域，用于解决各种图的元素和结构图节顶组节图对节关由点（点）和边成点表示中的象，边表示点之间的系节单关节边可以是有向的或无向的有向边表示点之间的向系，无向边表示点之关间的双向系图结简单杂图节节的构可以是的，也可以是复的一个可以包含多个点和边，点连之间也可以有多条边接图的分类无向图有向图图没连节图节单无向中边有方向性，接两个点的边有向中边有方向性，表示点之间存在节关关链为图表示点之间存在双向系例如，社交网向系，例如网页接可以表示有向，络关图中朋友系可以用无向表示其中一条边表示一个网页指向另一个网页完全图稀疏图和稠密图图对节图图数远节数图图完全是每点之间都有一条边的，完稀疏是指边小于点的，稠密图数为节数节数图图全中的边nn-1/2，其中n是点是指边接近点的稀疏常用于表数级关关较络图关例如，一个班的学生系可以用完全示系弱的网，而稠密常用于表示图紧络表示系密的网有向图和无向图无向图图节关无向的边是双向的，表示两个点之间的相互系络连例如，在道路网中，两座城市之间有一条道路，可以用一条接两座城市的无向边表示有向图图节单关有向的边是有方向的，表示两个点之间的向系络关例如，在社交网中，用户A注用户B可以用一条从A到B的有向边表示邻接关系相邻节点邻接矩阵邻接表节们认阵图节图节关如果两个点之间存在一条边，它就被邻接矩是一种用于表示中点之间邻接邻接表是另一种表示中点之间邻接系为节节关数结阵阵数结节关是相邻的例如，点A和点B之间存系的据构在邻接矩中，矩的每的据构在邻接表中，每个点都联则节节节节该该节在一条边，点A和点B是相邻点个元素代表两个点之间是否存在边一个列表，列表包含所有与点相邻的节点度和连通性度顶连数图顶为连数图顶为点的度表示与它相的边的量无向中，点度与其相边的量；有向中，点度分入度和出度，别该顶数该顶数分表示指向点的边和从点发出的边连通性连图顶连图顶径则们连图通性指中点之间的接情况无向中，如果两个点之间存在路，它是通的；有向中，如果从顶顶径则们连一个点到另一个点存在路，它是强通的路径径图顶顶顶线径为径数路是中点和边的序列，表示从一个点到另一个点的路路的长度路上边的量路径和连通分量路径1顶顶顶从一个点到另一个点的点序列简单路径2径没顶路上有重复点回路3终径起点和点相同的路连通分量4图顶径图中任何两个点之间都存在路的子径图连顶顶简单径径没顶则终径连图顶路是中接两个点的点序列路是指路中有重复点回路是起点和点相同的路通分量是中任何两个点之间都径图存在路的子环与树环树环图径终节树环连图节节节是指中存在一条路，起点和点是同一个点是无通，每个点都有且只有一个父点，除了根点环的存在可能会影响算法效率，需要特殊处理树结计应数结构在算机科学中被广泛用，例如文件系统和据构网络流与最小割网络流络络汇传网流是指在一个网中，从源点到点输的流量最小割络将汇最小割是指网中，源点和点分离的最小容量的边集最大流最小割定理络最大流最小割定理表明，一个网中最大流的流量等于最小割的容量拓扑排序有向无环图线性排序环图为图顶线拓扑排序适用于有向无它中的点提供了一个性这图环顶DAG，种中不存在循排序，其中每个点都在其所有继节后点之前依赖关系来赖关项拓扑排序可以用表示任务之间的依系，例如，在目管理中最短路径问题路径长度最小化应用场景算法示例寻连终径径导线规络领单找接起点和点的最短路，路长度航、路划、物流配送、网路由等Dijkstra算法、A*算法等，常用于解决源时寻径径问题可以是距离、间、成本等域中，找最佳路最短路最小生成树问题连接所有节点无环

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22.树问题连树环图最小生成旨在找到接最小生成是一个无，即图节环中所有点的边集合，且总不存在任何路权边最小贪婪算法

33.鲁贪常用的算法如普里姆算法和克斯卡尔算法，都利用婪策略逐步构建树最小生成匹配问题二分匹配最大匹配完美匹配将进对二分匹配是两个集合中的元素行配，最大匹配是指在所有可能的匹配中，找到匹完美匹配是指每个元素都被匹配，例如，在将数谈每个元素只能匹配一次，例如，婚礼中的配的元素量最多的匹配，例如，在体育比商务判中，双方达成一致，所有参与者都宾赛将员队客安排座位中运动分配到不同的伍找到合适的合作伙伴染色问题为图顶颜现问题图图问题应计中每个点分配不同的色，使得相邻可用于解决实世界中的，例如地着着色有广泛的用，在算机科学和顶颜计筹点拥有不同色色，电路板设等运学中十分重要图的表示方法邻接矩阵邻接表

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22.维数组储顶连关链数组储顶连用二存点之间的接系，用表或存每个点接的边，图图适用于稠密适用于稀疏边集数组

33.数组储图用存每条边的信息，适用于无向邻接矩阵定义优点阵维数组图顶连关阵现断顶邻接矩是一个二，用于表示中点之间的接系矩邻接矩易于实，可以快速判两个点之间是否存在边阵顶中的每个元素都代表两个点之间的边是否存在缺点应用图顶连较则阵费阵图顶连较络如果是稀疏的，即点之间接少，邻接矩会浪大量空邻接矩适用于表示稠密，即点之间接多，例如社交网间邻接表缺点顶无法直接查找两个点之间是否存在边，需历对应链要遍表优点存储方式节对图别顶对应链链省空间，于稀疏特有效，可以方便每个点一个表，表中包含了所有顶顶该顶连顶链节储顶地查找与某个点相邻的点与点相的点表点存相邻应权点和相的边重边集数组边集数组优点数组图数组图这储简储图现使用边集表示，中的每个元素都表示中的一条边，通种方法存洁，适合存稀疏，并且易于实一些算法，例终权常包括边的起点、点以及边如Kruskal算法应用场景社交网络分析1:络图结关传社交网分析中，构可以有效地表示用户系和信息播路径节关过图结点代表用户，边代表用户之间的系通分析构，络传趋势可以揭示社交网中的用户群体、影响力人物和信息播，为营社交平台的运和管理提供参考应用场景路径规划与导航2:径规导图论应领路划和航是用最广泛的域之一例如，Google图导应图结来络图Maps和百度地等航用使用构表示道路网，利用计径径算法算最短路或最优路终导应图结状计用户输入起点和点，航用会根据构和交通况，算线导最佳路并提供航信息，帮助用户快速安全地到达目的地应用场景推荐系统3:图应场为数推荐系统是算法的典型用景之一例如，基于用户行据和商品特征构图图现为建用户-商品，利用算法发用户偏好，用户推荐更精准的商品图问题过图算法可以有效解决推荐系统的冷启动例如，通算法分析用户和商品关关为之间的联系，新用户或新商品建立初始推荐列表应用场景交通网络优化4:络图论来交通网优化利用的理提高交通效率、降低成本线规例如，优化公交路、划交通信号灯、交通流量控制等应用场景电子电路设计5:图论计应别线在电子电路设中用广泛，特是用于电路布局和布优化图节连的点可以代表电路中的元件，边可以代表元件之间的接过图论线通算法，可以找到最佳的元件布局和布方案，从而提高电路性能和降低成本应用场景生物信息学6:计计术数生物信息学是生物学与算机科学交叉学科，利用算机技处理生物据图论组质组领应络质在基因学、蛋白学等域有广泛用，例如基因网分析、蛋白络预测相互作用网典型图算法深度优先搜索广度优先搜索历图节开历图节开深度优先搜索是一种遍的方式它从一个起始点始，沿广度优先搜索也是一种遍的方式它从一个起始点始，径尽节尝试访问连节访问这节着一条路一直走到头，然后再回溯到上一个点，另外首先所有与它直接相的点，然后再些点的邻居径节访问过节访问过一条路，直到所有点都被，依次类推，直到所有点都被深度优先搜索探索路径回溯

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22.节开当节没访问从起始点始，沿着一条路如果前点有未的邻径没访节则节深入探索，直到遇到有接点，回溯到上一个点问过节继续径的点，探索其他路标记访问递归实现

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44.为访问节归了避免重复点，需要深度优先搜索通常使用递的记录节访问过现节归每个点是否被方式实，每个点都会递调地用深度优先搜索算法广度优先搜索从起点开始层次遍历图开层历节访问节渐访问远节广度优先搜索算法从中的起点始，逐遍所有点它优先与起点距离最近的点，然后逐距离更的点队列结构路径寻找队来储访问节证层级顺进访问径断连寻节算法使用列存待的点，保按照序行广度优先搜索常用于查找最短路、判通性、找所有点的距离等算法Dijkstra最短路径图径找到中两点之间的最短路加权图节权图适用于点之间有重值的贪婪算法选择权径每次重最小的边，逐步构建最短路算法Kruskal贪婪算法最小生成树权开选择标图连从边最小的边始，依次Kruskal算法的目是找到中节连节权树边，直到所有点都被通接所有点的最小总边并查集应用场景数结来断络计络规算法使用并查集据构判网设、交通运输网划、导环连问题边是否会致路最小成本接等小结图论应计数领是一个强大而灵活的工具，广泛用于算机科学、学、物理学等域习图论现杂问题络径规学有助于解决实世界中的复，例如社交网分析、路划、推络荐系统、交通网优化等。