【高中数学课件】函数的单调性（习题课）课件

函数的单调性（习题课）在本习题课中，我们将通过一系列具有实际意义的问题，深入探讨函数的单调性概念学会分析函数单调性是理解和解决更复杂问题的基础单调性概念回顾递增函数一个函数在某个区间内，值随自变量的增加而增加的函数称为递增函数递减函数一个函数在某个区间内，值随自变量的增加而减小的函数称为递减函数常函数一个函数在某个区间内，值保持不变的函数称为常函数单调性判断依据函数图像分析函数导数符号关键点分析通过观察函数图像的走势可以判断函数在函数在某一区间内单调递增或递减当且仅对于特殊函数如一次函数、二次函数等它,,,某一区间是否单调递增或递减图像是否存当该区间内函数的导数均不变号因此分析们的拐点、极值点等关键点的位置可以直接在拐点也是判断单调性的重要依据函数导数的符号变化也是判断单调性的关键判断函数的单调性区间单调性判断方法导数判断1通过计算函数的导数，可以判断函数在某个区间内是否单调增加或单调减少图像分析2分析函数图像的走势观察函数图像是否在某个区间内始终上,升或下降比较值判断3对于区间内任意两点和若或x1x2,fx1≤fx2fx1≥fx2,则函数在该区间内单调增加或单调减少基本函数的单调性函数类型单调性一次函数在整个定义域内都是单调函数，其单调性由常数项的正负决定二次函数根据二次函数的图像形状，在定义域内可能表现出单调递增或单调递减的性质幂函数当指数为正数时，幂函数呈现单调递增的趋势；当指数为负数时，呈现单调递减指数函数指数函数始终呈现单调递增的性质，不论指数为正还是负对数函数对数函数始终呈现单调递增的性质，不论底数为正还是负（底数不等于）1三角函数三角函数具有周期性，在一个完整周期内可能表现出单调递增和单调递减的区间复合函数的单调性复合函数由一个或多个基本函数构成其单调性取决于组成它的基本函数的单调性以及它们的组合方式通过分析复合函数的构成和各部分函数的性质，我们可以判断复合函数的单调性复合函数的单调性分析需要注意基本函数的单调性；函数的组合方式；自变量的取值范围综合这些因素才能准确判断复合123函数的单调性一次函数的单调性一次函数是最基本的函数之一其单调性特点如下,:1+斜率正-—单调性负一次函数的斜率决定了其单调性性质当斜率大于时函数在整个定义域上单0,调递增当斜率小于时函数在整个定义域上单调递减这是一次函数单调性的;0,判断依据二次函数的单调性二次函数是一类重要的基本函数，其单调性具有明显的特征当二次函数的图像向上开口时，其在抛物线的左分支上呈单调递增，在右分支上呈单调递减当二次函数的图像向下开口时，情况相反-11-1左分支顶点右分支单调递增极值点单调递减幂函数的单调性幂函数是一种基本初等函数，其形式为，其中为实数幂函数的单调性取决于指数的正负fx=x^n nn指数函数的单调性指数函数具有明确的单调性特点当底数时，指数函数是单调a1fx=a^x递增函数；当时，是单调递减函数无论底数如何，指数0a1fx=a^x函数都具有以下性质当时x1x2a^x1a^x2当时x1x2a^x1a^x2这些性质可以直接判断指数函数的单调性，并应用于函数值的大小比较和最值问题的解决对数函数的单调性对数函数是一种重要的初等函数，它描述了量之间的对比关系对数函数的单调性对于理解相关实际问题中数量变化的规律非常重要三角函数的单调性三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等它们在不同区间内具有不同的单调性以下总结三角函数的单调性特点:函数单调性正弦函数在递增在递减[0,π],[π,2π]余弦函数在递减在递增[0,π],[π,2π]正切函数在递增在递减-π/2,π/2,π/2,3π/2分段函数的单调性对于分段函数来说，它由不同的单调性函数组成要分析分段函数的单调性，需要分别分析每一个组成部分的单调性分段函数通常以拐点为界限划分成多个部分在每个部分内部，该函数都保持单调性但是在拐点处，函数的单调性可能会发生改变24常见拐点分析步骤分段函数通常在个或个节点处发生要确定分段函数的单调性，需要分段23单调性改变分析每个部分的单调性单调区间的确定正向单调1函数在区间上单调递增负向单调2函数在区间上单调递减区间确定3根据函数性质和图像分析确定单调区间确定函数在不同区间上的单调性是很重要的数学问题通过观察函数图像、分析函数性质等方法可以确定函数的单调区间为后续相关问,,题的求解奠定基础单调性与导数的关系导数与单调性的联系判断单调性的方法函数的导数可以反映其单调性通过求导可以找到函数的拐点从,,当导数大于时函数单调递增当而确定函数在各区间的单调性0,;导数小于时函数单调递减0,应用单调性与导数的关系可以用于求函数的最值以及分析函数图像的特征,单调性与最值的关系最大值与最小值极值点与单调性应用分析函数在递增区间内取得最大值，在递减区函数在极值点处发生单调性的转折极大利用函数的单调性可以更好地确定函数图间内取得最小值反之亦然，函数在递减值对应于递减到递增的转折点，极小值对像的特征，分析函数的最大值和最小值，区间内取得最大值，在递增区间内取得最应于递增到递减的转折点从而解决实际问题小值函数值的最大最小问题确定极值点比较极值点12通过分析函数的单调性和导数比较多个极值点的函数值大小,情况来确定函数的极值点找出最大值和最小值确定函数的最大最小值3根据极值点的函数值和函数在不同区间的单调性确定函数的全局最大最,小值极值点的判断一阶导数为01函数在极值点处的导数值为0二阶导数检查2二阶导数为正则为极小值，为负则为极大值端点与临界点3端点和函数定义域边界上的临界点也需要检查判断函数的极值点需要综合考虑一阶导数和二阶导数的信息当一阶导数为时，可能是极值点此时进一步检查二阶导数的符号，如果0二阶导数为正则为极小值，为负则为极大值同时还要注意端点和函数定义域边界上的临界点也可能是极值点函数图像的绘制函数图像的绘制是数学学习的关键环节之一通过绘制函数图像，我们可以直观地观察函数的变化趋势、单调性、极值点等特征，为进一步分析和应用函数提供基础绘制函数图像需要注意横纵坐标范围的选取、刻度单位的设置等细节精准绘制函数图像不仅为理解函数性质提供帮助还可应用于实际问题的解决如,,确定最值、解方程等因此掌握函数图像绘制的技巧和方法对于提高数学分析,能力和解决问题能力非常重要函数图像特征分析函数图像的特征分析是理解函数性质的关键我们需要识别函数图像的拐点、渐近线、相交点等重要特征，掌握函数的单调性、极值、渐近趋势等性质这有助于我们更好地描述函数的整体变化情况，并应用于解决实际问题函数单调性的应用优化决策物品定价利用函数的单调性可以帮助我们做出更好的决策比如投资组合选对于一些商品我们可以根据函数的单调性来确定合理的价格区间,,,,择、生产成本最小化等以增加利润并满足消费者需求问题求解图像分析通过分析函数的单调性我们可以更有效地解决一些实际问题如最了解函数的单调性有助于更好地绘制和分析函数图像从而获得更深,,,大利润、最小成本、最大产量等入的认知应用实例求最值1确定函数域首先要确定函数的定义域排除不合法的取值范围,分析单调性根据函数的单调性确定函数在不同区间的变化趋势,寻找临界点将函数在变化趋势不同的区间端点和可能的极值点作为候选最值点比较取值对比候选最值点的函数值确定函数的最大值和最小值,应用实例确定区间2确定单调区间1通过分析函数的单调性，可以确定函数在某些区间上是单调递增或单调递减的这对于解决实际问题很有帮助应用实例最大值问题2例如，求二次函数在何区间取最大值先分析fx=x^2-4x+3函数单调性，确定其在某区间内单调递增或递减解题步骤3分析函数单调性，确定单调区间结合单调性，确定最

1.

2.大值所在区间在该区间内找到临界点，即为最大值

3.应用实例证明性质3确定适用性设置假设条件运用单调性分析总结证明过程根据函数的性质确认该函数根据待证性质设置适当的假利用函数的单调性推导出结整理论证步骤形成完整的证,,,,可用于证明某种性质设条件进行分析论并证明所需性质明过程应用实例解决问题4分析问题1明确问题的关键条件和要求确定函数2选择适合问题的函数模型分析函数3研究函数的单调性及其特点求解问题4根据函数性质得到问题的解在实际问题中，我们需要根据问题的具体情况选择合适的函数模型，并深入分析函数的单调性和其他性质，从而得到问题的最终解答这需要我们运用所学的函数知识，灵活运用并综合运用单调性综合习题这一部分包含了对之前学习的单调性概念和判断方法的全面总结性练习通过解决各种情况下的函数单调性问题，帮助同学们深化对函数单调性的理解，并提高分析问题和解决问题的能力这些习题涉及一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等多种函数类型，需要学生灵活运用之前学习的知识，综合分析函数的性质来判断其单调性同时还会涉及分段函数、复合函数等更复杂的情况通过这些综合性的习题训练，不仅可以巩固和提高同学们对函数单调性的理解和掌握能力，还能培养他们分析问题、解决问题的思维能力，为后续的更深入学习奠定良好基础单调性综合习题讲解在完成了对各类基础函数单调性的学习后，我们将通过解析一些综合性的习题来更好地理解函数单调性的各种应用这些习题涉及多种函数类型，需要综合运用上述知识点进行分析和求解我们将逐步分析每个习题的关键点，并给出详细的解决步骤通过这些实例的讲解，同学们可以更好地掌握函数单调性的判断方法和相关应用技能课后作业布置习题集参考资料思考题针对本课单调性的相关概念和应用布置一推荐学生复习教材相关章节并结合课堂笔布置一些开放性的思考题引导学生将单调,,,套完整的习题集作为课后作业包括基本判记和讲义深入学习函数单调性的相关知识性的概念应用于解决实际问题培养分析问,,断、综合应用等不同难度的题目题的能力总结与反馈课堂总结学生反馈优化调整回顾本课主要内容总结学习效果鼓励学倾听学生对课堂学习的感受了解课程内容根据学生反馈适当调整教学内容和方式持,,,,生积极提出疑问和建议、教学方式的优缺点续优化课程质量。