【高中数学课件】函数的极限

函数的极限函数的极限是数学中一个重要的概念,它描述了一个函数在某个点附近的行为和趋势了解函数极限的性质和计算方法对于理解微积分等高级数学概念至关重要极限概念的形成直观理解数学表述通过观察和实验,人们对极限的概随着数学的发展,极限概念被严格念有了初步的直观认识,比如物体定义并纳入数学体系,用于描述函速度或运动距离的变化趋势数值或变量的变化规律广泛应用极限概念被广泛应用于微积分、概率论等数学分支,在自然科学和工程技术中也有重要用途极限的定义极限概念极限是函数在某一点上的极限值或终极状态它表示当自变量向某一特定值靠近时,函数值也趋近于某一特定值数学语言在数学语言中,极限是用ε-δ定义来严格描述的,要求函数值能无限逼近于极限值而又不等于极限值技巧应用理解极限概念并掌握其数学定义是后续学习函数极限性质和计算技巧的基础函数极限的性质有界性保号性12在极限存在的情况下,函数值必定有界函数的极限表示其在如果函数在某一点连续且极限为正负,则函数在该点的值必某处的取值范围为正负连续性单调性34如果函数在某点连续,则该点的极限必定等于函数在该点的值如果函数在某区间内单调增加减少,则其极限也单调增加减少单侧极限单侧极限的定义左极限和右极限单侧极限的判断单侧极限是指当自变量x从某左极限是指当x从左侧无限接通过分析函数在a点附近的值一侧左侧或右侧无限逼近某近a时,fx的极限值右极域变化情况,可以判断是否存一特定值a时,函数fx的极限是指当x从右侧无限接近a在单侧极限如果左右极限存限值这种极限分为左极限和时,fx的极限值在且相等,则函数在a处存在右极限极限无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小的表示无穷大的表示无穷小是趋近于0的数列或函数,而无穷大是通常用小写希腊字母如ε、δ等表示无穷小,无穷大通常用大写希腊字母Ω表示,表示一个随着自变量的增大而越来越大的数列或函数它们在极限理论中扮演了关键的角色数越来越大而超出任何有限的范围它们是函数极限理论中两个重要的概念极限的运算加法与减法1如果函数fx与gx在x=a处都有极限,那么fx+gx和fx-gx在x=a处也有极限,且极限分别为lim fx+limgx和lim fx-lim gx乘法2如果函数fx与gx在x=a处都有极限,那么fxgx在x=a处也有极限,且极限为lim fx×lim gx除法3如果函数fx与gx在x=a处都有极限,且lim gx≠0,那么fx/gx在x=a处也有极限,且极限为lim fx/lim gx基本极限公式简单乘除法则加减法则如果lim fx=A且lim gx=如果lim fx=A且lim gx=B，那么lim fx/gx=A/B B，那么lim fx±gx=A±B幂法则指数函数极限如果lim fx=A且lim gx=lim a^x=a^lim x，其中aB，那么lim fx^gx=A^B0利用等价无穷小计算极限指标对比1比较不同指标的无穷小性质等价替换2用等价无穷小替换原表达式极限计算3计算简化后的等价表达式的极限在计算函数极限时,可以利用等价无穷小的概念来简化计算过程首先比较不同指标之间的无穷小性质,找出可以相互替换的等价无穷小然后用等价无穷小替换原表达式中的项,再计算简化后表达式的极限,就可以得到原函数极限的值这种方法可以大大减轻计算的难度函数极限的计算技巧利用公式简化转化为等价无穷小利用夹逼定理拆分分式掌握基本的极限公式,如根式适当地转化表达式,利用等价当遇到复杂的极限时,可以通对于分式型的极限,可以适当、三角函数、指数函数等,可无穷小的性质,可以得到极限过构造上下界来应用夹逼定理拆分分子分母,简化表达式,从以大幅简化计算过程,提高计的更简单形式,简化计算而更容易计算算效率高阶无穷小的比较理解高阶无穷小比较无穷小的大小12高阶无穷小指极限为零的函数通过导数或倒数的比较可以判的导数或倒数的无穷小它们断无穷小的增长速度快慢导的增长速度相对较慢数越高，无穷小越小利用等价无穷小应用高阶无穷小34使用等价无穷小可以简化比较高阶无穷小在极限计算、近似过程，更好地分析高阶无穷小计算和泰勒展开等数学分析中的变化趋势都有广泛应用夹逼定理定义如果一个函数fx在区间[a,b]上满足a≤fx≤b，那么fx在区间[a,b]上必有极限比较通过比较fx与上下界a、b的大小关系，可以确定函数fx的极限应用夹逼定理广泛应用于计算难以直接求得的极限重要极限在数学分析中,存在一些非常重要的极限公式,我们称之为基本极限这些基本极限为我们计算更复杂函数的极限提供了基础下面介绍几个常用的基本极限:连续函数的概念连续函数的定义连续函数的性质常见的连续函数当自变量x在某个区间内的任何微小变化都•函数值随自变量的连续变化而连续变化多项式函数、指数函数、对数函数、三角函会导致函数值y的变化趋于0时,就称该函数数等都是连续函数,它们在定义域内处处连•函数具有定义域内的图形上的任何一点在这个区间内是连续的续都可以连通•可以在定义域内任意取两点,函数值总是可以通过这两点间的无数个点连续变化而取得连续函数的性质平稳变化区间上的性质极限与连续稳定性连续函数在其定义域内能够平在任意定义域区间内,连续函连续函数与极限概念密切相关连续函数通常对输入变量的微滑、连续地变化,没有突然变数都具有诸如介值定理、最大,前者要求函数在任意点都能小变化具有稳定反应,这为实化或跳跃的情况出现这使它值最小值定理等重要性质,这取得极限值,后者则描述了函际应用中的模拟和预测提供了们具有良好的视觉效果和实际为分析和应用函数提供了有力数在某点附近的极限可靠保证应用价值保证behavior间断点的种类跳跃间断无穷间断可去间断函数在某点突然发生跳跃,此时该点为跳跃函数在某点处无法定义或趋向于正负无穷大函数在某点处虽然存在间断,但通过适当的间断点这种间断常见于实际生活中涉及开,此时该点为无穷间断点这种间断常见于定义可以使其连续这种间断点称为可去间关或其他离散事件的函数涉及除法或对数的函数断点间断点的判定连续性判断1观察函数在某点左右的函数值变化情况左极限存在2当x从左侧趋近于某点时,函数值的极限存在右极限存在3当x从右侧趋近于某点时,函数值的极限存在左右极限相等4左右极限都存在且相等,则函数在该点连续通过判断函数在某点左右的极限是否存在,以及左右极限是否相等,可以确定该点是否为间断点如果左右极限都存在且相等,则该点为连续点;如果左右极限不相等,则该点为跳跃间断点;如果仅一个极限不存在,则该点为无穷间断点极限的应用连续性判断连续性与极限连续性判断方法连续函数的极限存在且等于函数通过计算函数在某点的左右极限,值,而间断点处的极限不存在或与判断该点是否为连续点如果左函数值不等可以利用极限分析右极限相等则为连续点,否则为间函数的连续性断点应用案例如判断函数y=1/x在x=0处是否连续,只需计算x趋于0+和x趋于0-时的极限,看是否相等连续函数的性质连续函数的微小变化连续函数的平滑变化12连续函数的输入值稍作变化,输连续函数在定义域内变化是平出值也会相应微小变化,不会出滑的,不会出现尖角或破坏性突现跳跃变连续函数的稳定性连续函数的可预测性34小的输入变化只会导致小的输连续函数的行为是可预测的,可出变化,连续函数具有良好的稳以根据输入推测出输出的大致定性范围一致连续性定义特点一致连续性是指函数在某个区间内处一致连续函数的图像为光滑曲线，不处连续，且连续度沿区间变化不超过存在跳跃、无穷大或无穷小的点某个确定的常数判断应用可以通过极限、导数或几何性质等方一致连续性在泰勒展开、拉格朗日中法判断一个函数是否一致连续值定理、微分学中有广泛应用连续函数的运算求和运算若函数fx和gx在区间[a,b]上连续,则fx+gx在该区间上也连续乘法运算若函数fx和gx在区间[a,b]上连续,则fxgx在该区间上也连续复合运算若函数fx在区间[a,b]上连续,且gx在区间[fa,fb]上连续,则复合函数fgx在区间[a,b]上也连续闭区间上连续函数的性质连续性图形性质最大值最小值积分性质在闭区间上的连续函数具有良在闭区间上的连续函数具有良在闭区间上的连续函数必然存在闭区间上的连续函数具有良好的连续性性质,能确保函数在好的图形性质,其图形是一条连在最大值和最小值,它们分别出好的积分性质,其积分值是有意区间内的平稳变化续曲线,没有断点现在区间的端点或某个内点义的,并且可以表示为面积中值定理连续性要求应用场景12中值定理要求函数在闭区间上中值定理在函数极值问题、微连续只要函数在某个区间上分方程求解等数学分析中有广连续，就一定存在该定理所描泛应用它能保证函数在区间述的性质内一定存在某些值几何解释3几何上,中值定理表明连续函数在某区间上的图像一定交叉过区间端点连线这是函数变化的一种保证泰勒公式概念1泰勒公式是用一个多项式近似表示一个函数的方法特点2该多项式能够在某一点附近拟合函数的值和导数应用3用于分析函数的性质和计算极限、导数等泰勒公式是一种强大的数学工具,可以用一个简单的多项式来逼近一个复杂的函数它在函数性质分析、极限计算等方面有广泛的应用通过研究泰勒公式的性质和计算方法,能够更好地理解函数的行为洛必达法则未定形式的极限1当表达式变为0/0或∞/∞的形式时导数公式2用导数来计算这种形式的极限收敛条件3当满足一定条件时,可以使用洛必达法则洛必达法则是一种计算未定形式极限的方法当表达式出现0/0或∞/∞的形式时,可以通过计算导数比值来求得原表达式的极限该方法适用于满足一定条件的表达式,可以帮助我们更快捷地得出极限的结果极限的存在与否的判断极限存在的条件单调有界性Cauchy收敛性利用特征判定要判断一个函数在某点的极限函数在某点的极限存在,需要如果函数在某一点的左、右邻还可以利用一些已知的特征判是否存在,需要满足两个基本满足该函数在该点的某一领域域内的值互相无限接近,则该定极限是否存在,如振荡性、条件:单调有界性和Cauchy内是单调的且有界的函数在该点的极限必然存在无穷大性等收敛性满足这两个条件的函数,极限必然存在无穷小的比较无穷小的定量比较无穷小的等价关系无穷小的大小比较规则通过对不同无穷小的大小关系进行比较分析若两个无穷小的比值趋于有限值，则这两个通过掌握一些基本的比较规则，如幂函数、，可以对它们的相对大小有更深入的理解，无穷小是等价的这种等价关系在微分学中指数函数、对数函数等，可以更有效地比较从而更准确地应用于数学计算中有重要应用不同无穷小的大小关系自变量趋于正负无穷时的极限理解极限的定义当自变量无限接近某个值时,函数值也会无限接近某个确定的值,这就是极限的定义分析函数的性质通过分析函数表达式,可以确定函数在自变量趋于正负无穷时的极限行为利用基本极限公式利用基本极限公式,如limx-±∞1/x=0,可以方便地计算出相应的极限值分析极限的几何意义函数图像在自变量趋于正负无穷时的极限行为,可以直观地反映在函数图像上函数间断点时的极限理解间断点1函数在某点处不连续,即存在间断点这可能是由于函数定义不完整或者某些条件限制造成的分类识别2间断点主要有三种类型:可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点需要分析函数在间断点附近的行为计算极限3对于可去间断点,通过延拓或者定义新函数可以计算极限;对于跳跃间断点,需要分别讨论左右极限;对于无穷间断点,极限可能不存在函数极限的几何意义函数极限的几何意义在于能够描述函数在某点附近的趋近特性极限代表着函数值逐渐接近某个固定值,这对应于函数图像上的渐进性行为通过分析极限行为,我们可以了解函数在特定区域内的变化规律和性质函数极限的应用工程设计金融分析工程师使用极限概念设计结构、金融分析师利用极限计算股票价电路和机械系统,以确保能够承受格、利率和其他金融指标的变化预期荷载和条件变化趋势,支持投资决策医学诊断物理科学医生通过研究生理指标的极限值物理学家运用极限概念研究物质来识别疾病症状,并制定适当的治的性质、运动和能量变化,推动科疗方案学进步。