【高中数学课件】复合函数求导课件

复合函数求导复合函数是一个函数被另一个函数所代替的形式求解复合函数的导数需要运用链式法则,通过对内层函数和外层函数分别求导来得到最终结果前置知识回顾函数的定义函数的基本类型12对关系、映射等概念有深入理解，掌握函数的基本性质了解常见的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数等函数图像特点基础求导法则34掌握函数图像的形状、特征及变换规律熟悉幂函数、指数函数、三角函数等基础函数的求导函数的定义数学概念函数是从一个数集到另一个数集的映射关系,是数学中的基础概念之一关系定义函数是一种特殊的关系,它规定了域中每个元素都对应到对应域中唯一的一个元素输入输出函数通过某种对应关系,将输入映射到唯一的输出,这是其核心特点常见函数类型线性函数指数函数对数函数三角函数线性函数是最简单的函数类型指数函数的图像为一条指数曲对数函数是指数函数的倒数,其三角函数包括正弦、余弦、正之一,其图像为一条直线它们线,用于描述复利、人口增长等图像为一条对数曲线它们常切等,其图像为周期性的正弦曲常用于描述线性关系,如速度与指数级增长的现象它们的特用于表示相对变化、半衰期等线它们常用于描述周期性变时间、价格与数量等点是增长速度快且变化剧烈对数函数变化缓慢,增长速度化,如机械振动、电流等较慢函数图像特点数学函数的图像可呈现线性、指数、对数、三角等不同形态这些图像特点反映了函数的增长速度、对称性、周期性等性质理解函数图像的特点,有助于分析函数的性质,并应用于解决实际问题复合函数的概念定义表示复合函数是指两个函数通过特定复合函数用符号°表示，例如方式组合而成的新函数内层函fgx表示一个由f函数和g函数复数的输出作为外层函数的输入，合而成的新函数构成了复合函数实例常见的复合函数有三角函数、幂函数、指数函数等例如sinx^2就是一个复合函数复合函数的几何意义复合函数可以形象地理解为一个数据处理的黑盒过程输入一个值后，经过两个或多个函数的连续变换，最终得到输出这种级联的函数变换有着丰富的几何意义每个函数都可以看作是一个坐标变换或映射，复合函数则体现了这些变换的叠加效果理解复合函数的几何意义有助于我们更好地掌握复合函数的性质和性能复合函数的性质可逆性可微性导数性质等价无穷小复合函数f∘gx可逆,当且仅如果函数fx和gx都可微,那复合函数f∘gx的导数为如果gx在x0处无穷小,那么当函数fx和gx都可逆么复合函数f∘gx也可微:[f∘gx=fgx·gx]f∘gx在x0处也无穷小复合函数求导的步骤确定函数关系1理解复合函数的组成部分提取内层函数2找出函数中的内层函数应用链式法则3利用链式法则求出导数化简表达式4整理计算得到的导数求解复合函数的导数需要遵循一定的步骤首先要确定函数的组成关系,找出内层函数接下来应用链式法则进行求导,最后对导数表达式进行化简整理只有掌握好这些步骤,才能顺利地求出复合函数的导数求导法则常数倍法则1常数倍法则适用范围推导过程对于函数fx=k·gx进行求导时,可以将常数常数倍法则适用于任何形式的函数,只要函从函数定义出发,运用导数定义即可推导出k提出来,即fx=k·gx这个规则可以大数外有常数因子即可应用这是最基本但也常数倍法则,体现了这一求导法则的内在合大简化复合函数的求导过程非常实用的求导法则理性求导法则加法、减法法则2加法法则减法法则若函数fx和gx都可导,那么它们若函数fx和gx都可导,那么它们的和fx+gx也可导,且的差fx-gx也可导,且fx-fx+gx=fx+gx gx=fx-gx应用场景加法和减法法则适用于求解涉及多个函数的复合关系,可大大简化运算过程求导法则乘法法则3定义应用优势示例如果y=fx*gx，则y=乘法法则可用于求导涉及乘积乘法法则简单易懂,适用范围设y=x^2*sinx，求y应fx*gx+fx*gx这就的复合函数，如三角函数乘幂广,在复合函数求导中占据重用乘法法则可得y=2x*是复合函数中乘法法则的求导函数、指数函数乘幂函数等要地位掌握该法则可以高效sinx+x^2*cosx公式地处理大量实际问题求导法则除法法则4除法法则对于以商形式表达的函数fx=gx/hx，其导数可以表示为fx=gxhx-gxhx/hx^2求导步骤

1.求出分子函数gx的导数gx

2.求出分母函数hx的导数hx

3.带入公式计算fx应用注意事项分母函数hx不能等于0，否则导数会出现定义域问题同时要注意分子函数gx与分母函数hx的相互关系链式法则函数嵌套导数乘积12链式法则适用于函数嵌套的情复合函数的导数等于内部函数况,即内部函数的输出作为外部导数和外部函数导数的乘积函数的输入灵活运用3链式法则是一种常用而有效的复合函数求导方法,能帮助我们快速得出导数表达式复合函数求导示例1给定函数设fx=x^2+1^3,求fx分析函数结构可以看出fx是由内层函数gx=x^2+1和外层函数hx=x^3构成的复合函数应用链式法则根据链式法则，fx=hgx*gx计算导数gx=2x,hx=3x^2,代入链式法则即可得到fx=6x^2+1^2*2x复合函数求导示例2确定函数构成1确定两个函数fx和gx的形式写出复合函数2将两个函数组合成复合函数Fx=fgx应用链式法则求导3运用复合函数求导的链式法则计算Fx在这个例子中,我们将学习如何运用链式法则求解复合函数的导数首先我们需要确定构成复合函数的两个基础函数,然后将它们组合成复合函数Fx最后运用链式法则逐步求出Fx的导数这个过程需要仔细推导,是掌握复合函数求导的关键复合函数求导示例3情景描述求导步骤某公司销售额与广告投放费用之间存在复合函数关系求销售额关于广告根据链式法则，先求内层函数gx的导数，再求外层函数fgx的导数投放费用的导数123设定变量设销售额为y，广告投放费用为x，则存在复合函数关系y=fgx复合函数求导示例4给定函数1fx=3x+2²内层函数2u=3x+2外层函数3v=u²求导步骤4应用链式法则求导在这个例子中,我们有一个复合函数fx=3x+2²首先找到内层函数u=3x+2,然后外层函数v=u²应用链式法则求导,即可得到fx的表达式这种分步求导的方法非常有助于理解复合函数的微分过程复合函数求导示例5已知复合函数fx=x^2+1^3,gx=2x-1求fgx的导数首先确定内层函数gx和外层函数fx应用链式法则根据链式法则，fgx=fx*gx计算导数fx=3x^2+1^2*2x,gx=2得到结果fgx=32x-1+1^2*22x-1=182x-1^3复合函数求导示例6已知函数1设fx=3x^2+5x+2,gx=x^3-2x+1求复合函数f◦gx的导数求导步骤2•将内层函数gx代入外层函数fx，得到复合函数f◦gx=fgx=3x^3-2x+1^2+5x^3-2x+1+2•根据链式法则进行求导，即f◦gx=fgx*gx•首先求得fx=6x+5和gx=3x^2-2•代入链式法则公式，得到f◦gx=6x^3-2x+1+5*3x^2-2最终结果3因此，复合函数f◦gx的导数为f◦gx=6x^3-2x+1+5*3x^2-2复合函数求导示例7fx=e^sinx1指数函数与三角函数的复合u=sinx2内层函数v=e^u3外层函数这个例子结合了指数函数和三角函数,体现了复合函数求导的链式法则我们首先求出内层函数u=sinx的导数u=cosx,然后将u带入外层函数v=e^u的导数公式,得到最终的导数函数为fx=e^sinx·cosx复合函数求导的应用绘制函数图像优化问题分析将复合函数求导应用于绘制函数图像利用复合函数的求导公式可以帮助解中,有助于更好地理解函数的性质决各种优化问题,如最大化利润、最小化成本等物理应用经济应用在物理学中,复合函数的求导公式可以在经济学中,复合函数的求导公式可以应用于速度、加速度等时间相关的问应用于投资收益率、税率等问题的分题析利用复合函数求导解决实际问题日常生活应用工程领域应用科学研究应用复合函数求导广泛应用于工程、物理、经济在工程设计中,复合函数可以用来计算桥梁在物理学和化学研究中,复合函数可用于建等领域,例如测量建筑物高度、预测股票价承重力、管道系统压力和热量传递等关键参立模型,揭示自然界的规律,推进科学发展格走势、优化生产流程数,确保结构安全可靠复合函数求导总结复合函数的概念复合函数的求导步骤12复合函数是两个或多个单独的通过链式法则逐步求导,内层函函数经过合成后形成的新函数数的导数乘以外层函数的导数复合函数的应用3复合函数求导在工程、经济等实际问题中得到广泛应用思考题1给定函数fx=x^3+2x^2-5x+1，求其复合函数gx=f2x-1的导数请详细地推导计算过程，并给出最终结果思考题2一个工厂每天生产x件产品,随着生产量的增加,单个产品的生产成本呈递减趋势设生产成本函数为Cx=a/x+b,其中a、b为常数请求出生产x件产品时的总成本函数TCx分析总成本函数的特点,并找出使总成本最小的x值思考题3某公司在最近一年推出了一款新产品,该产品的销量可以表示为复合函数fx=x^3+2x^2-x，其中x表示销售时间（月）请问该新产品在第几个月的销量最大？课后练习练习1练习2练习3练习4求函数y=x^2+2/x+1的函数fx=2x-1^3，求其导已知函数gx=√x^2+1，求设函数hx=sinx^2，求hx导数数fx其导数gx参考文献基础理论参考实践应用参考《高等数学》第三版，同济大学数学系主编《数学建模实战》，张洪海等著介绍了复包含复合函数的定义、性质及求导法则合函数在数学建模中的应用案例拓展学习参考在线课程参考《高等数学教程》，李大潜等著深入探讨MOOC平台上的《数学分析》系列课程，涵了复合函数的理论及在高等数学中的应用盖复合函数的相关知识点。