【高中数学课件】极值

高中数学极值函数极值是高中数学的重要概念，也是后续学习微积分的基础本课件将带领大家深入学习极值的定义、性质以及求解方法，并结合具体例题进行讲解导言引入意义

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2.12学习极值是高中数学的重极值问题广泛存在于现实要内容，也是后续学习微生活中，例如求最优解、积分的基础从实际问题最值等，学习极值有助于切入，让学生体会极值的学生更好地理解数学知识意义在实际生活中的应用目标

3.3通过学习，学生能够掌握极值的定义、性质和解决方法，并能运用这些知识解决实际问题初次接触极值在日常生活中，我们经常会遇到一些与极值相关的问题例如，我们要找到一条最短的路径，或者要找到一个最大的面积在数学中，极值的概念也十分重要，它帮助我们解决许多优化问题，找到函数的最大值或最小值极值的定义最大值最小值函数在定义域内取得的最大函数在定义域内取得的最小值，称为函数的最大值，即值，称为函数的最小值，即最大值是函数在定义域内所最小值是函数在定义域内所有函数值中的最大值有函数值中的最小值极大值极小值函数在某点附近的局部最大函数在某点附近的局部最小值，称为函数的极大值，即值，称为函数的极小值，即极大值是函数在该点附近所极小值是函数在该点附近所有函数值中的最大值有函数值中的最小值极值的特点极值点临界点函数在极值点处取得最大值或最小值极值点通常对应函函数的导数为零或不存在的点称为临界点极值点通常是数图像的峰值或谷值临界点，但临界点不一定是极值点极值的基本性质单调性导数为零函数在极值点附近的变化趋势，由导数符一阶导数为零，函数可能在该点取得极值号决定二阶导数函数图像二阶导数可以判断极值点是极大值还是极通过观察函数图像，可以直观地判断极值小值点极值问题的解决步骤确定函数首先要确定函数表达式，并明确定义域，为后续步骤提供基础寻找临界点求解导数并找出导数为零或不存在的点，这些点可能对应函数的极值点判断临界点类型利用导数的符号变化情况或二阶导数判定临界点是极大值点、极小值点还是拐点比较大小将所有可能的极值点和端点代入原函数，比较大小，确定最大值或最小值寻找临界点寻找临界点是求函数极值的关键步骤，它标志着函数导数的变化点在临界点处，导数可能为零，也可能不存在导数为零1函数在该点处的切线平行于x轴导数不存在2函数在该点处可能存在尖点或拐点定义域边界3函数定义域的边界点也可能是临界点临界点分类极大值点极小值点拐点函数在该点左侧递增，右侧递减，对函数在该点左侧递减，右侧递增，对函数在该点两侧的单调性相同，图形应图形为函数图像的“山峰”应图形为函数图像的“山谷”形状发生变化，如从凹形变为凸形或反之判断临界点类型确定一个临界点是最大值、最小值还是鞍点，需要根据函数的一阶导数和二阶导数来判断一阶导数1如果一阶导数在临界点处为零，则该临界点可能为极值点或鞍点二阶导数2如果二阶导数在临界点处为正，则该临界点为局部最小值点二阶导数3如果二阶导数在临界点处为负，则该临界点为局部最大值点二阶导数4如果二阶导数在临界点处为零，则无法确定临界点的类型，需要进一步分析通过分析函数的一阶导数和二阶导数，我们可以准确地判断临界点的类型，从而找到函数的极值点如何判断临界点类型一阶导数符号变化1临界点处一阶导数符号的变化可以判断极值类型导数从正变负，则为极大值点；导数从负变正，则为极小值点二阶导数符号2在临界点处，如果二阶导数小于零，则为极大值点；如果二阶导数大于零，则为极小值点如果二阶导数等于零，则无法判断极值类型，需要进一步分析函数图像变化3通过观察函数图像在临界点附近的变化趋势，也可以判断极值类型如果函数图像在临界点附近先上升后下降，则为极大值点；如果函数图像在临界点附近先下降后上升，则为极小值点案例分析1求函数y=x3-3x+2在区间[-2,2]上的极值•求导数y=3x2-3•令导数为零，求得驻点x=1或x=-1•判断驻点类型x=1为极小值点，x=-1为极大值点•计算极值y1=0，y-1=4•比较端点函数值y-2=0，y2=6•结论函数在区间[-2,2]上的最小值为0，最大值为6案例分析2函数fx=x^3-3x^2+3x在区间[0,2]上的最大值和最小值求解首先，我们需要找到函数的导数fx=3x^2-6x+3令fx=0，求得x=1然后，我们比较函数在区间端点和临界点处的函数值f0=0，f1=1，f2=2因此，函数在区间[0,2]上的最大值为2，最小值为0案例分析3函数图像微积分分析找到函数极值点，并分析其类型利用导数来判断函数的极值点类型，通过函数的性质和图像来解释极值点并求出极值和极值的意义最大值问题最大值在给定范围内，函数取得的最大值，称为函数的最大值最大值可能是唯一一个值，也可能是多个值求函数的最大值问题，通常需要先求出函数的临界点，然后判断临界点是最大值点，还是最小值点，或者都不是最小值问题寻找临界点判断临界点类型比较函数值

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3.123首先要找到函数的导数为零或通过二阶导数或其他方法，判将函数在所有临界点和定义域不存在的点，即函数的临界点断每个临界点是极大值点、极边界上的函数值进行比较，找小值点还是鞍点到最小值应用案例1在现实生活中，极值问题有很多应用，比如寻找最佳路径，最大化利润，最小化成本等在这些问题中，我们需要利用数学知识找到函数的极值点，从而得出最佳方案例如，一个企业想要在一段时间内最大化利润，可以建立一个函数模型，用极值点来表示利润最大化的生产量或销售价格应用案例2最大值问题在实际生活中应用广泛例如，要设计一个容积最大的长方体盒子，需要找到其长、宽、高的最优组合，从而最大化其体积这个问题可以转化为求函数的最大值问题应用案例3在经济学中，边际成本和边际收益分析是企业决策的重要工具通过找到成本和收益曲线交点，企业可以确定最佳生产量，实现利润最大化这体现了极值在经济学领域的应用应用案例4运动中的极值问题桥梁结构设计火箭发射轨迹运动员在跑步比赛中，如何才能达到桥梁设计需要考虑承重和稳定性，这火箭发射时需要选择最佳发射角度和最佳速度？这涉及到速度函数的极值可以通过优化结构参数来实现，而优推进力，以达到最远射程或最大高度问题化过程也涉及到极值问题，这同样涉及到极值问题注意事项注意时间注意细节注意思考时间管理很重要，合理分配时间可以解题过程中注意每个步骤，避免因细不要死记硬背公式，要理解背后的逻提高学习效率节问题导致错误辑，才能举一反三常见错误忽略临界点误判极值点类型在求函数极值时，要仔细检查使用一阶导数或二阶导数检验函数的定义域和临界点，不要时，要准确判断临界点类型，遗漏任何可能的极值点避免误判为极值点不注意极值点和最值点区别忽视函数图像变化趋势可以通过画函数图像来直观地极值点指的是函数在某个区间观察函数的单调性、极值点等内取得的局部最大值或最小值，帮助理解和判断函数的极值点，而最值点指的是函数在整问题个定义域内取得的最大值或最小值点习题演练1以下是一些关于极值的练习题，帮助你巩固所学知识请尝试独立解答，然后对照答案进行分析练习题1求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,2]上的极值练习题2求函数gx=x^2+1/x-1的极值这些练习题涵盖了不同的极值求解方法和技巧，例如利用导数求极值，利用单调性求极值等习题演练2为了巩固对极值概念的理解，我们准备了一些练习题这些练习题涵盖了不同类型的函数，包括一次函数、二次函数、三次函数等通过练习，你可以更加熟练地运用求解极值的方法，并提高对极值问题的分析能力习题演练3本节课主要学习了极值的概念、性质和求解方法，并通过多个案例分析加深了对极值的理解为了巩固所学知识，接下来进行一些习题演练第一题，求函数fx=x^3-3x^2+2的极值点和极值本题要求学生运用导数求函数的极值点和极值第二题，求函数fx=x^2/x+1的极值点和极值本题考察学生对函数单调性与极值关系的理解第三题，已知函数fx=x^3+ax^2+bx+c在点x=1处取得极值，且f0=1，求a,b,c的值本题考察学生对导数的应用和方程组的解题能力通过以上习题演练，学生可以加深对极值的理解，并掌握求解极值的方法习题演练4函数fx=x³+3x²+3x+1在区间-2,1内的极值.首先，求导数fx=3x²+6x+

3.令fx=0,解得x=-

1.所以，函数fx在x=-1处有一个临界点.然后，判断临界点的类型，可知x=-1为极小值点.最后，计算函数在区间端点的值f-2=-1,f1=

8.因此，函数fx在区间-2,1内的极小值为f-1=0,极大值为f1=

8.小结关键概念极值是函数在特定点上的最大值或最小值寻找极值通过求导并分析导数的符号变化来找到极值点应用场景极值概念广泛应用于优化问题、物理模型和经济学等领域课后思考函数图像应用场景如何利用极值点来理解函数试着寻找生活中应用极值概图像的形状？念的例子，例如优化问题、成本分析等拓展学习可进一步探究更高阶的导数对极值的影响，例如拐点等概念课后作业练习题拓展问题

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2.12完成教材上的习题，巩固对极值概思考如何将极值概念应用到实际生念的理解和应用活中的问题，例如寻找最佳路线、优化设计等课后反思课后拓展

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4.34回顾本节课的学习内容，总结学习尝试查找和阅读一些关于极值的科心得，反思遇到的问题和不足普文章或书籍，拓展学习领域。