第十二章-液体运动的流场理论

第十二章液体运动的流场理论流束理论一元流；流场理论三元流★12-1流速、加速度水力学中常采用欧拉法流速场；；若x,y,z为常数,t为变数，则可得到不同时刻通过某一空间定点时液体质点的流速变化；若t为常数,x,y,z为变数，则可求得同一瞬时不同空间点的液体质点的流速分布（流速场）加速度；du du du du duv v vvv3ydt dtdx dzdu du du du du,a.=--=--+u--+u--+u--7777Y vT“dt dtdxdy-dz上式中，等号右边第一项为时变加速度（即当地加速度）；第二至四项之和为位变加速度（位移加速度）例水库由坝身的泄水孔泄水全=义+人次+%生+巴生+-dp dp虹2+Uxdpdydt dt dtdtdxdy+Uydx dzdz上述概念同样实用于液体的密度与压强恒定流满足；；即；；★12-2流线、迹线及其微分方程拉格朗日法对应于迹线；欧拉法对应于流线流线方程；；即，式中、、都是变量x,y,z和t的函数t是参变数迹线方程；；即，式中,t是自变数恒定流时（流线与迹线重合），特别地，二元平面流动★12-3液体质点运动的基本形式刚体的运动平移及转动液体更为复杂

1.平移、、是微分六面体在x,y,z各方向的位移速度

2.线变形线变形速率（单位时间单位长度的伸长）x方向；y方向；z方向

3.边线偏转（角变形和旋转）

（1）以平面为例z边偏转，即同理:X边偏转，即角变形z边角变形与X边角变形相等，即,则:绕y方向直角边的变形角速度为八da-/a1da+dB1du du,、x7v/二-----------------=-（-------------）=-（--+―二）dt2dt2dz dx

（2）即；；旋转运动纯旋转角为，旋转角速度为Na\/da—d/

3、1,du duv7xco=——=一（------------）=-（------------）,xdt2dt2dz dx即；；所以液体质点的运动是由平移、线变形、角变形及旋转运动等四种基本形式所组成★12-4无涡流与有涡流无涡流每个液体质点都不存在绕自身轴的旋转运动，即（无势流）有涡流有液体质点存在绕自身轴的旋转运动（有势流）注意涡是指液体质点绕自身轴旋转的运动，不要把涡与通常的旋转运动混淆起来无涡流满足，即，，若存在，使得，，，则称函数为流速势函数显然无涡流满足上式，即如果流场中所有液体质点的旋转角速度等于零，既无涡流，则必有流速势函数存在，所以无涡流又称势流,由此可求出势流的流速势函数★12-5液体运动的连续性方程式由流场中任取一封闭曲面，流入与流出的质量差应等于液体密度变化产生的质量变化取一微分平行六面体，边长为dx,dy,dz,中心点A（x,y,z）的流速为,密度为在x方向在出时间内，流入与流出的液体质量分别为，，流入与流出的质量差为同理得y和z方向的流入与流出的质量差，则总的质量差为又密度变化引起的质量改变量由质量守恒定律得，可压缩液体非恒定流的连续性方程,不可压时（），或，叫速度散量，是个标量同时，上式说明液体微分平行六面体虽有平移和线变形，但其体积不变，即如一个方向有拉伸，则在另一个方向必有压缩根据高斯定理，有为封闭表面的速度通量恒定流时，，即O★12-6理想液体运动微分方程式及其积分

一、理想液体动水压强的特性

（1）理想液体动水压强总是沿着作用面的内法线方向

（2）理想液体中任一点的动水压强在各方向上大小均相等特性

（2）的证明可仿照静水压强的证明在x方向上，同理y和z方向，则当取极限时，与静水压强的特性完全一样

二、理想液体运动微分方程式•…欧拉方程式同样仿照液体平衡微分方程的推导得1dp du1dp du1dp duxy zA----------=------;i--------------=-------;Z------------=-------p dxdt p dy dtp dz dt静止液体时，上式可化为静水力学欧拉平衡方程式上式可将加速度表达式代入

三、葛罗米柯方程式及其积分222d u2d u+u+udududu因一—=—:=人一~+U--+〃一一二x zz vdx2dx2dxdx dx则欧拉方程可改写为:同理y—工变—（幺）—也_=2（人・一以口,）p oyoy2ot1dp dudu,=2u co-u coy xx yA--------------------------------—一dtp dzdz2此方程称为葛罗米柯方程式当质量力只有重力时，可导出22+旦+纹=+区+理想液体恒定流的伯努里方程式Z]2272g-y2g★12-7实际液体运动时所产生的内应力任一点的内应力有三部分组成一个正应力，两个切应力X.切应力的性质和大小由牛顿内摩擦定律则；；说明作用在两相互垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的

2.动水压强的性质和大小实际液体中任一点的动水压强各方向是不相等的实用上采用三个正交方向的平均值:,可以证明ox oydz理想液体时，，则,即任一点各方向上的动水压强相等★12-8实际液体运动微分方程式取一微分平行六面体，边长分别为dx,dy,dz,列x方向的动力平衡方程式:dp5rvvpXdxdydz+p dydz-p+——dxdydz-dxdz+r H----dydxdzxx xxT xxvvdx dydr duT^dxdy+乙+dzdxdy=pdxdydz1dp1QT du得X++=—p dxp dydzdt同理；此式即为以应力表示的实际液体运动基本微分方程式

1.Navier-Stokes方程将动水压强及切应力的表达式代入，并注意不可压缩液体的连续性方程，可得:“1dp/拼人S d2u duxX---------+V（——7-+——7-+——=--1dp之〃d2udu、.yY——^+v+=pdy dy~dz2dtp dxdx1dy^dz2dtd2u_d2u_dux z+——+^=dt

②2b若写成拉普拉斯算子形式:du.du x+u--+u也du..,I dxydy+u--7dt■dz1dp bduy duyduyvY---------+vV=-+u.--+u--x vpdy dtdxdy置+小du^dudu_duz-7z------+U..----=-\r U..=--F Udt2dz-----dx---------dy如果是理想液体（），则上式变为欧拉运动方程式；如是静止液体，上式变为欧拉平衡方程式

2.雷诺方程太复杂，不讲。