【高中数学课件】函数的极值

函数的极值极值是函数在某个点上取得的最大或最小值理解函数的极值是高中数学中一个重要的概念,对解决各种实际问题有着广泛的应用什么是函数的极值函数的极值局部极值和全局极值12函数在某个点的取值比该点附局部极值是在某个小范围内的近其他点的取值更大或更小最大值或最小值，而全局极值这个点就是函数的极值点是在整个定义域范围内的最大值或最小值最大值与最小值3函数在某个点的取值是该点附近其他点的最大值时，称为函数的最大值同理，函数在某个点的取值是该点附近其他点的最小值时，称为函数的最小值极值的定义函数图像的顶点或底点极值是函数在某个点上取到的最大值或最小值这个点就是函数的极值点导数的性质导数在极值点处等于零或不存在这是判断极值点的重要条件最大最小问题极值在很多实际问题中有重要应用,如求最大利润、最小成本等函数的极值类型全局极值局部极值相对极值函数在整个定义域内的最大值和最小值称为函数在某个小区间内的最大值和最小值称为函数在相对于某点的小区间内的最大值和最全局极值它们是函数最高点和最低点局部极值它们是函数图像上的峰值和谷值小值称为相对极值它们包括局部极值和全局极值连续函数的极值性质连续性局部极值点连续函数在定义域内处处连续,这连续函数在某个邻域内取得最大是它具有极值的基本前提值或最小值的点称为该函数的局部极值点全局极值点连续函数在整个定义域内取得最大值或最小值的点称为该函数的全局极值点极值点的判定条件一阶导数为0一阶导数不存在二阶导数的符号几何解释如果一元函数在点x处的一阶如果一元函数在点x处的一阶如果一元函数在极值点x处的几何上来说，极值点对应于函导数等于0，那么这个点就可导数不存在，那么这个点也可二阶导数小于0，则该点是函数图像上的拐点，其一阶导数能是函数的极值点能是函数的极值点数的极大值点；如果二阶导数为0或不存在，二阶导数的符大于0，则该点是函数的极小号决定了极值的类型值点一元函数的局部极值点求法确定变量范围1首先需要确定函数定义域中的变量范围,以确定可能存在的临界点位置计算一阶导数2求一阶导数,找出函数导数为零或不存在的临界点判断临界点性质3利用一阶导数或二阶导数的符号变化,判断临界点是否为局部极值点一元函数的全局极值求法确定区间1首先需要确定函数的定义域，并选择一个合适的研究区间求临界点2在研究区间内求出一元函数的临界点，也就是导数等于0的点比较大小3计算临界点处的函数值，并与区间内其他点的函数值进行比较确定极值4选出区间内的最大值和最小值，即为一元函数的全局极值通过上述步骤，我们可以有效地求出一元函数在给定区间内的全局最大值和最小值这不仅是数学理论的应用，也有诸多实际问题的解决方法实际问题中的极值应用成本优化投资决策物流优化通过分析成本曲线寻找成本最小化的生产水运用极值分析确定最优的投资收益率,为企运用最小化运输距离或时间的极值分析,有平,帮助企业提高利润空间业或个人作出投资决策提供依据助于制定高效的物流配送方案求解实际问题中的极值分析问题1仔细分析给定问题,确定待优化的目标函数确定约束条件2根据实际问题,找出相关约束条件建立数学模型3将问题转化为函数极值问题求解最优解4运用求极值的方法,找出最优解检验和分析5检查解是否符合实际要求,并分析结果在求解实际问题中的函数极值时,需要仔细分析问题,确定目标函数和约束条件,建立数学模型,根据求极值的方法求出最优解最后还要检验解是否符合实际要求,并对结果进行分析这个过程需要很好的数学建模和分析能力如何画出函数的图像定义函数域先确定函数的定义域,了解函数在什么区间上有效确定函数特征分析函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等确定坐标轴范围根据函数的特性,确定合适的横纵坐标范围绘制曲线图像在确定的坐标轴上,根据函数表达式作出曲线图像利用函数图像确定极值点通过绘制函数的图像,我们可以直观地观察函数的性质,包括极值点的位置熟练掌握如何根据函数图像确定极值点,有助于理解函数的性质和变化规律首先需要确定函数在定义域内的拐点,这些点即可能为极值点然后结合导数的性质,分析函数在这些点的单调性,从而判断是否为极值点极值点与函数图像的关系函数的极值点与函数图像的关系密切极值点对应于函数图像上的极大点或极小点极值点可以通过分析函数图像的形状来确定，比如拐点、最高点或最低点就是函数的极值点掌握函数图像与极值点之间的关系非常重要，可以辅助我们快速确定函数的极值利用一阶导数判断极值点确定函数的导数首先需要求出给定函数的一阶导数找出导数的零点将一阶导数设为0并求解，可以找到可能的极值点分析导数符号变化检查导数在各个区间的符号变化,确定极值点的类型判断极值点类型若导数在极值点处由正变负,则为局部最大值若由负变正,则为局部最小值利用二阶导数判断极值点查找二阶导数1首先找出函数的二阶导数,这是判断极值点的关键判断二阶导数的符号2若二阶导数大于0,则该点为局部最小值点;若二阶导数小于0,则该点为局部最大值点特殊情况处理3当二阶导数等于0时,需要进一步分析判断,可能是极值点、拐点或者只是临界点一阶导数法求极值点计算一阶导数1对函数求导，得到一阶导数函数寻找临界点2求解一阶导数等于0的点判断极值性质3分析临界点的一阶导数符号变化利用一阶导数法求函数的极值点主要分为三步首先计算函数的一阶导数，然后找出一阶导数为0的临界点，最后根据临界点处一阶导数的符号变化来判断极值性质这种方法简单直观，适用于大多数一元函数的极值问题二阶导数法求极值点计算二阶导数1对函数求二阶导数判断临界点性质2分析二阶导数的符号确定临界点是极大值还是极小值找到最终极值点3将满足一阶导数为0的临界点带入二阶导数判断利用二阶导数法求函数的极值点,首先需要计算出函数的二阶导数,然后分析二阶导数的符号来判断临界点的性质当二阶导数大于0时,临界点为极小值;当二阶导数小于0时,临界点为极大值最后将满足一阶导数为0的临界点带入二阶导数进行判断,即可找到函数的极值点极值的应用实例1在日常生活中,极值问题随处可见例如计算物体移动过程中的最大速度、材料运输中的最短距离、生产过程中的最大利润等,都需要利用函数极值的方法来分析和解决正确掌握极值问题的分析方法对于解决现实问题具有重要意义下面就来探讨一些极值问题的应用实例利用函数极值优化企业利润利用函数极值原理可以帮助企业找到最优生产水平,从而实现利润最大化通过分析成本函数和收益函数,可以确定产量的临界点,使企业在有限资源下实现最高收益这种方法广泛应用于生产管理、投资决策等领域,为企业创造更大价值极值的应用实例3在实际生活中,我们可以广泛应用函数极值的概念解决各种优化问题例如,我们可以使用函数极值确定生产成本最小化、利润最大化、时间最短化等目标这些问题都涉及寻找函数的最大值或最小值,即求函数的极值掌握求解极值问题的方法对于商业决策、工程设计等都非常重要极值问题的综合案例分析提出问题1分析问题情境,确定待解问题建立模型2将实际问题转换成数学函数模型寻找极值3运用极值求解方法,找出函数的极值点结果解释4将数学求解结果转换回实际问题情境综合案例分析是将函数极值理论应用于实际问题求解的关键一步首先需要从问题情境出发,将实际问题转化为数学函数模型然后运用极值求解的方法,找出函数的极值点最后将数学结果转换回实际问题情境,得到问题的最优解这需要统筹兼顾,灵活运用极值问题的解题技巧总结分析函数性质选择合适方法在求解极值问题之前,需要全面分根据函数的性质,选择一阶导数法析函数的连续性、可导性、单调或二阶导数法等适当的求解方法,性等性质,为后续的求解奠定基础并熟练掌握相关公式和步骤注意边界条件检查解的合理性除了求解极值点,还需考虑边界条最后要对求得的解进行检查和分件的影响,确保找到全局最优解析,确保结果符合实际问题的要求极值问题实操练习1这一练习旨在帮助同学们掌握求解一元函数极值的基本方法包括利用一阶导数法和二阶导数法判断极值点，并通过具体案例巩固所学知识请仔细思考每一题的题干要求,选择合适的数学工具进行分析和求解极值问题实操练习2在这个练习中，我们将深入探讨如何利用函数的一阶和二阶导数来判断和求解函数的极值问题通过一系列具有代表性的例题，您将掌握运用导数分析函数图像、确定极值点的技巧这将为您日后解决更复杂的极值问题奠定坚实的基础极值问题实操练习3在这一组实操练习中，学生将应用所学的函数极值概念和判断方法，解决涉及最大值和最小值的实际问题练习将涉及多种类型的函数,要求学生灵活运用微分法、二阶导数法等技巧,准确找出函数的临界点和极值通过这些练习,学生将进一步深化对函数极值理论的理解和应用能力极值问题实操练习4这一组实操练习侧重于函数极值问题的综合应用学生需要根据具体情况,运用所学的知识和技能,分析函数图像、求出极值点,并解决实际问题这些练习涉及多种函数形式,增强了学生对函数极值的整体理解和运用能力极值问题实操练习5这份实操练习将进一步加深你对函数极值问题的理解您将面临更复杂的情况,需要综合运用函数极值的各种性质和求解方法请仔细思考每个问题的前提条件,并选择恰当的方法来确定函数的极值点这些练习将帮助你掌握解决实际问题中极值问题的技能课堂小结函数极值的概念求解极值的方法12我们学习了什么是函数的极值,以及如何判断一个点是否为极掌握了一阶导数法和二阶导数法两种经典的求解极值点的方值点法极值在实际中的应用综合应用能力提高34了解了极值在工程、经济等领域中的实际应用案例和求解技通过大量的习题练习,提高了同学们分析和解决极值问题的综巧合能力思考与讨论总结反思拓展思考交流讨论未来展望回顾本课学习的内容,思考哪结合实际生活中遇到的问题,与同学或老师就本课内容进行思考函数极值在未来学习和工些知识点需要进一步巩固和深思考函数的极值在实际应用中深入交流,分享自己的想法和作中可能产生的影响,为将来化并针对自己的学习状况提的价值和意义探讨如何运用理解,互相探讨可能存在的疑的发展做好准备出改进措施和学习计划相关概念解决实际问题问。