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因式分解的常用方法第一部分方法介因式分解因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是:1通常采用一“提”、二“公”、三“分的步骤即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；2若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法；注意将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止
一、提公因式法.ma+mb+mc=ma+b+c
二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如1a+b a-b=a2-b2---------------a2-b2=a+b a-b；2a+b2=a2±2ab+b2----------------a2+2ab+b2=a±b2；3a+b a2-ab+b2=a3+b3----------a3+b3=a+b a2-ab+b2；4a-b a2+ab+b2=a3-b3-----------a3-b3=a-ba2+ab+b
2.下面再补充两个常用的公式5a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2；6a3+b3+c3-3abc=a+b+c a2+b2+c2-ab-bc-ca；.例.已知是的三边，且,则AABC的形状是A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解a2+b2+c1=ab+bc+ca2a1+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca=a—b2+b—c2+c—a2=0=a=Z=c
三、分组分解法.
14.
15、
16.
17、222X+4-16X199m+n2-16m-n
218、
五、解答题
20、如图，在一块边长=
6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长二
3.33cm的正方形求纸片剩余部分的面积
21.如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？（取
3.14,结果保留2位有效数字）
22.观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第5个等式1x2-l=x+lx-l2x4-l=x2+lx+lx-l4九_1=卜+1尤无+1元+1元_11684+]25_______________________________________________________经曲一・.
1.通过基本思路达到分解多项式的目的.例
1.分解因式分析这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解;也可把，,分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解解一原式解二原式二.
2.通过变形达到分解的目的.•例
1.分解因式解一将拆成，则有解二将常数拆成，则有.
3.在证明题中的应用例求证多项式的值一定是非负数分析现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数证明.
4.因式分解中的转化思想例分解因式分析本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法解设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B说明在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的中考点拨例
1.在中，三边a,b,c满足求证证明说明此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分.例
2.已知解说明利用等式化繁为易题型展示.
1.若X为任意整数，求证的值不大于100解说明代数证明问题在初二是较为困难的问题一个多项式的值不大于100,即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法解:说明利用因式分解简化有理数的计算实战模拟
1.分解因式
2.已知的值
3.矩形的周长是28c叫两边x,y使，求矩形的面积.
4.求证是6的倍数（其中n为整数）.
5.已知a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值.
6.已知a、b、c为三角形的三边，比较的大小经典三因式分解练习题精选
一、填空30分
1、若是完全平方式，则的值等于O
2.则==
3.与的公因式是—
4.若=，则m=,n=o
5.在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有,其结果是
6、若是完全平方式，则m=o
7、Y+x+2=x+2x+
8、已知1+/=0,则X+/+…+4+%2005m26=.
9、若16—h2+M+25是完全平方式M=o
10、,
11、若是完全平方式，则1=O
12、若的值为0,则的值是o
13.若则=°
14.若则—o
15.方程，的解是o
二、选择题（10分）1•多项式的公因式是（）A.-a B.C.D.
2.若，则m,k的值分别是（）A.m=—2,k=6,B.m=2,k=12,C.m=—4,k=一
12.D m=4,k=
12.
3.下列名式中能用平方差公式分解因式的有（）A.1个,B、2个,C、3个,D、4个
4.计算的值是（）A.B.
三、分解因式（30分）
1、432-2-35X X X
2、3x6-3x
23、25（%-24-4（2y-x）
24.
5.
6、-
17、ax2-bx2-bx+ax+b-a
9、9x4-36y
210、x+lx+2x+3x+4—24
四、代数式求值15分已知，，求的值若x、y互为相反数，且，求x、y的值已知，求的值
五、计算
15310.75x
3.66—x
2.664/1\200l2+I2J322256+85622+244X X X X
六、试说明8分
1、对于任意自然数n,都能被动24整除
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积
七、利用分解因式计算8分L一种光盘的外D=1L9厘米，内径的d=
3.7厘米，求光盘的面积结果保留两位有效数字一分组后能直接提公因式例
1.分解因式:分析从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系解原式=每组之间还有公因式!=m+na+b例
2.分解因式解法一第
一、二项为一组；解法二第
一、四项为一组；第
三、四项为一组第
二、三项为一组解原式=原式==2ax-5y-bx-5y-b-b=x2a5y2a-二x-5y2a-b=2a-bx-5y练习分解因式L
2.二分组后能直接运用公式例3•分解因式分析若将第
一、三项分为一组，第
二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组解原式=二%+y%—y+々％+y=x+yx-y+a例
4.分解因式解原式==a-b2-c2b—ca—Z+c=—Q练习分解因式
3.
4.综合练习123%2+6xy+9y2—16a+8〃-14a2-6ab+12b+9b2-4a4a2x-4a2y-b2x+b2y65-2+—9Q Qa8-2+Z—2Z+2Z+1Q7厂一2xy-xz+yz+ya+ca-c+bb-2a10+
192.正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长
八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述甲这是一个三次四项式乙三次项系数为1,常数项为1丙这个多项式前三项有公因式T这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式4分经典四因式分解
一、选择题
1.代数式a3b2—a2b3,a3b4+a4b3,a4b2—a2b4的公因式是A.a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b
32.用提提公因式法分解因式5ax-y-10b-x-y,提出的公因式应当为A.5a-10b B、5a+10b C、5x-y D、y-x
3.把一8m3+12m2+4m分解因式，结果是A.—4m2m2—3m B、—4m2m2+3m—1C.-4m2m2—3m—1D、—2m4m2—6m+
24.把多项式一2x4—4x2分解因式，其结果是A.2-x4-2x2B、-2x4+2x2C、一x22x2+4D、一2x2x2+
25.-21998+-21999等于A.-21998B、21998C、-21999D、
219996.把16—x4分解因式，其结果是A.2-x4B、4+x24-x2C.4+x22+x2—x D、2+x32—x
7、把a4—2a2b2+b4分解因式，结果是A.a2a2-2b2+b4B、a2-b22C、a—b4D、a+b2a—b
28、把多项式2x2—2x+分解因式，其结果是A.2x-2B、2x-2C、x-2D、x—
129、若9a2+6k—3a+l是完全平方式，贝k的值是A.±4B、±2C、3D、4或
210、-2x—y2x+y是下列哪个多项式分解因式的结果A.4x2-y2B.4x2+y2C—4x2—y2D.—4x2+y
211.多项式x2+3x—54分解因式为A.x+6x-9B、x—6x+9C.x+6x+9D x—6x—9
二、填空题
1.2x2—4xy-2x=x—2y—
12.4a3b2—10a2b3=2a2b
24.mm—n2—n—m2=
5.x2-+16y2=
26.x2—2=x+5yx—5y
7、a2—4a—b2=•
8、ax+y—z+bx+y—z—cx+y—z=x+y—z•
9、16x—y2—9x+y2=•
10、a+b3—a+b=a+b••
11.x2+3x+2=12已矢口x2+px+12=x—2x—6,贝p=.
三、解答题
1.把下列各式因式分解6x2—2/23y3—6y2+3y3a2x—2a2—a x-2a2525m2—1Omn+n2X4x-22—x+2612a2b x—y—4ab y—7x-123x—2+2—3x8a2+5a+629-11+24X X10y2-12y-2811x2+4x—512y1—3y3—28y
22.用简便方法计算19992+99922022-542+256X352199719972-1996x
19983.已知x+y=,xy=l.求x3y+2x2y2+xy3的值
四、探究创新乐园1Q
1、若a—b=2,a—c=—,b—c2+3b—c+—的值24求证1111-1110-119=119X109
五、证明（求值）
1.已矢口a+b=O,求a3-2b3+a2b-2ab2的值.
2.求证四个连续自然数的积再加上1,一定是一个完全平方数.
3.证明ac-bd2+be+ad2=a2+b2c2+d
2.
4.已知a=k+3,b=2k+2,c=3k—1,求a2+b2+c2+2ab—2bc—2ac的值.
5.若x2+mx+n=x—3x+4,求m+n2的值.
6.当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2—5x+43y—24可以分解为两个一次因式的乘积.
7.若x,y为任意有理数，比较6xy与x2+9y2的大小.
8.两个连续偶数的平方差是4的倍数.经典五因式分解分类练习题因式分解一提公因式法
1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是A.B.x2+2x C.x2+y2D.x2-xy+y
22.在把分解因式时，应提取的公因式是2A.a B.a C.ax D.ay
3.下列变形是因式分解的是A.3x2y-xy+y=y3x2-x B.x2-+3=x-12+22:AC.x2y2+2xy-1=xy+1xy-1D.x+2_%+l_X2-X-
14.多项式的公因式是
5.多项式二
6.已知，则代数式
7、用提公因式法将下列各式因式分解ax—ay6xyz-3xz2-x3z+x4j1；2；3；436aby-12abx+6ab；3xa-b+2yb-a5；6xm-x7n—y—mx m
8、若，求的值
9、利用因式分解计算131X
3.14+27X
3.14+42X
3.14⑵当时，求的值因式分解一公式法
1.若是完全平方式，则的值等于A.3B.—5C.7D.7或一
12.若能在整数范围内因式分解，则可取的整数值有A.2个B.3个C.4个D.6个
3.下列分解正确的是A...B.C.4%2_6xy+9y2=2x—3yy D.x2—2x—1—x—1^
4.分解因式的结果是
5.为使在整数范围内可以分解因式，则可能取的值为任写一个
6、分解因式x+y-9y21；2a—〃；310bx-y2-5ay-x2；ab+b~—〃+124；54〃xx—-I2—；6Q1x+y+z2-x-y+z
27、已知是AABC的三边，且满足关系式,试判断AABC的形状
8、⑴研究下列算式你会发现有什么规律，4X1X2+1=，4X2X3+1=，4X3X4+1=,4X4X5+1=,…….请你将找出的规律用含一个字母的等式表示出来⑵试用上述规律计算:4X2006X2007+1=
9、当为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值因式分解一分组分解法
1.用分组分解法把分解因式，分组的方法有A.1种B.2种C.3种D.4种
2、用分组分解法分解，分组正确的是A.B、C.D.
3、填空1⑵一—2y—4y2+%=+=X34a2—b2-4c2+4bc=-=X
4.把下列各式因式分解15x2+6y-15x-2xy；2la2+ab-21a-3b；3cix^+3x^—4-
125.把下列各式因式分解1x，+X-4x—42+々—bx—ab+2ax3；2；—212+尤y_y+]
26.把下列各式因式分解2abc^+d2+cd〃~+b~1）a（〃+1）—/0+1）；因式分解一十字相乘法1,若是代数式分解因式的结果，则的值为（3a{a+2b-2c+bb-2cA.-2B.2C.8D.-
82.在多项式1,2,3,4,5中，有相同因式的是A.只有12B.只有34C.只有25D.不同于以下答案
3.把分解因式得（）A.B.C.D.Cll a2b+c+b2a+c+c2a+b+labc12«3+Z3+c3-3abc
四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式-------X2+p+q%+pq=x+p\x+q进行分解特点1二次项系数是1;2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和思考十字相乘有什么基本规律？例.已知OV W5,.且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求0而且是一个完全平方数于是为完全平方数，例
5.分解因式分析将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5由于6=2X3=-2X-3=1X6=-1X-6,从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5o12解二13c2=qc23b=ac+ac分解结果=-1122{=x+2x+31X2+1X3=5用此方法进行分解的关键将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数例
6.分解因式解原式=1-1=x-lx-6-6-1+-6=-7练习
5.分解因式123练习
6.分解因式12⑶二二次项系数不为1的二次三项式条2ax+bx+c件
14、把下列各式因式分解:12+3-10X X314/—29r15y4-Ylax1+28axy-15ay
225.把下列各式因式分解:2%-2y——1014a2x2+4ax—3543«V-39«V+108x23210+2-29+2+10X X
6.把下列各式因式分解1222⑵Xy+2+4xx-j-1-4+7-4+12X X X X3x2-4xy+4y2一%+2y-6+1〃—+3*Q+5—9Q例
7、分解因式:-23・5分析-6+-5=-11解=练习
7、分解因式12310x2-17x+36y2+11j+104—三二次项系数为1的齐次多项式例
8、分解因式分析将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解8b16b8b+-16b=-8b解==tz+8Za-16Z练习
8、分解因式⑴，_3孙+2ym2-6mn+8n23a2-ab-6b22四二次项系数不为1的齐次多项式例
9、2x2-Ixy+6y之例
10、x2y2-3xy+22^^-3v把p看作一个整体1-1-3y+-4y=-7y-l+-2=-3解原式=解:原式=练习
9、分解因式12综合练习
10、18x6-7x3-1212x2-llxy-15y23%+y—3%+y—104a+b2-4a-4b+3m2—4mn+4〃3m+6〃+5一6/62—%2y2-5%285〃+b2+23/—10〃—与27x2+4xy+4y2-2x-4y-312%+y+11/-2+2o—y4x2-4xy-6x+3y+y2-101092y2思考分解因式:
五、换元法、换单项式1例1分解因式x6+14x3y+49y
2.分析注意到x6=x32,若把单项式x3换元，设x3=m,则x6=m2,原式变形为m2+14m y+49y2=m+7y2=x3+7y
2.、换多项式2例2分解因式x+4x+6+x2+6x+6+x
2.分析本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m,则x2+4x+6=m+4x,x2+6x+6=m+6x,原式变形为m+4xm+6x+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+1Omx+25x2=m+5x2=x2+6+5x2二22x+
32.[+2+3]=+2X X X以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m,则x2+6x+6=m+2x,原式变形为mm+2x+x2=m2+2mx+x2=m+x2=x2+4x+6+x2=x2+5x+62二222[+2+3]=+2+
3.X X X X另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m.[x2+4x+
6..x2+6x+6].x2+5x+6,贝1J x2+4x+6=m-x,x2+6x+6=m+x.m+xm-x+x2=m2-x2+x2=m2=x2+5x+62=[x+2x+3]2=x+22x+
32.例3分解因式x・lx+2x・3x+4+
24.分析这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘,使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，.x4x+2x・3x+4分组为[x-l.x+2][x-3x+
4..x2+x-
2.x2+x-12,从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设m=[x2+x-2+x2+x-12]=x2+x-7,贝I」x2+x-2=m+5,x2+x-2=m-5,原式变形为m+5m-5+24=m2-25+24=m2-l=m+lm-l=x2+x-7+l x2+x-7-l222=+-6+-8=-2+3+-
8.X XXXXXXX、换常数3例1分解因式2+1-2003X
2004.XXX分析此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到
2003.2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003,则2004=m+l.于是，原式变形为x2x+l-mm+lx=x[xx+l-mm+l]=xx2+x-m2-m=x[x2-m2+x-m]=x[x+m x-m+x-m]=xx-mx+m+l=xx-2003x+2003+l=xx-2003x+
2004.例
13.分解因式1x+lx+2x+3x+6+x22解1设2005=,则原式==ax+lx-〃=2005x+lx-20052型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式二%2+7x+6x2+5x+6+x2设，贝！I•••原式=A+2x A+x=+2Ax+x2=A+x=x+6x+6/练习
13.分解因式1x2+3x+24x2+8x+3+90234++/+52—4面+32例
14.分解因式1观察此多项式的特点一一是关于的降幕排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”这种多项式属于“等距离多项式”方法提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法解原式==设，则,原式=，［2〃-2-t-6\=x22t2—%—10=x22t-5/t+2=X1x7-5x++2x+12=+12-1-2XXX2，12x H-----5X H------F2%4—4/+F+4x+12解原式==设，则•••原式=x2y2_4y+3=%2y—iy_3+1+2x+%22练习
14.1
六、添项、拆项、配方法例
15.分解因式1解法2------添项解法1——拆项原式二—3x—4x+4x+4原式=+1—3x+3=xx—3x—4+4x+=x+1%2-x+l-3x+lx-14=x+lx2-x+l-3x+3=xx+lx—4+4%+1=x+lx2-4x+4=x+lx2—4x+4=x+lx—222X9+—3解原式==，-lx6++]+%3_1X3+]+_13Q=X3-1/+/3+1+1+1+%=x-lx2+x+1，2x3+3+练习
15.分解因式1-9x+82x+l4+x2-l2+x-l43x4-7x2+1+2ax4+1—Q462a2b2+2a2c2+2b2c2—一5X+/+X+#4
七、待定系数法例
16.分解因式分析原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解设=22,:x+3y+mx-2y+n=x+xy-6y+m+nx+3〃一2m y-ivn••2222x+xy-6y+x+13y-6=x+xy-6y+m+nx+3n-2m y-mn对比左右两边相同项的系数可得，解得:.原式=x+3y-2X-2y+3例
17、1当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式2如果有两个因式为和，求的值1分析前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解设=贝！1X2—y2+mx+5y—6=x2-y1+〃+bx+Z—ay+ab比较对应的系数可得，解得或，当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=2分析是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式解设=贝!+bx+8=x^+3+cx^+2+3cx+2c・•・解得，•a+b=21练习
17、1分解因式3移—10y2+x+9y—2％2—2分解因式/+3»+2y2+5x+7y+63已知能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式4为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式第二部分习题大全经典
一一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式2分解因式m3-4m=.
3.分解因式x2-4y2=.
4.分解因式=o
6、若，贝!I-,-0
二、选择题
7、多项式15加〃2+5/〃―20疗〃3的公因式是A.B.C.D.
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是A.B、C.D、
10.下列多项式能分解因式的是A x2-y Bx2+l Cx2+y+y2D x2-4x+
411.把x—y2—y—x分解因式为A.x—y x—y—1B.y—xx—y—1C.y-x y—x—1D.y—xy—x+
112.下列各个分解因式中正确的是A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac5b2+3cB.a—b2—b—a2=a—b2a—b+1C.x b+c—a—y a—b—c—a+b—c=b+c-a x+y—1D.a—2b3a+b—52b—a2=a—2b11b—2a
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式。
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