【初中数学课件】切线长与弦切角课件

切线长与弦切角本课件介绍了圆的切线长与弦切角的定义、性质和计算方法我们将通过图解、示例和练习来帮助您理解这些概念知识点概述切线长弦切角从圆外一点引圆的两条切线，两切线之间的线段叫做切线长圆心角的角的两边与圆周相交，其中一条边与圆相切，另一个边与圆相交，所成的角叫做弦切角切线长等于弦的半长弦切角等于圆心角的一半切线的定义与圆只有一个交点切线垂直于半径切线与圆心角切线与圆相交于一点，称为切点切线与过切点的半径垂直，此性质是切线重切线与圆心角的关系，是切线性质应用的重要特征要组成部分弦切角的定义弦切角是指圆周上的一条弦和过弦端点的一条切线所成的角弦切角的顶点在圆周上，一条边是圆的切线，另一条边是经过切点的弦切线长等于弦的半长切线长是圆外一点到圆的切线与圆心之间的距离，弦是圆上两点之间的线段，切线长与弦的关系可以通过几何证明来推导证明连接圆心和切点，则切线与半径垂直，且弦与切线在切点处相交，因此，切线长等于弦的半长121/2切线长弦比例关系圆外一点到圆的切线与圆心之间的距离圆上两点之间的线段切线长等于弦的半长圆内两切线垂直垂直关系1两条切线互相垂直切点2两条切线交于圆心弦切角3形成直角弦切角圆内两条切线垂直，意味着它们在圆心处相交，形成直角弦切角这种关系是几何图形中的重要性质，在解题过程中可以用来推导其他结论切线长与半径的关系切线性质圆的切线垂直于过切点的半径直角三角形切线、半径和弦构成直角三角形角度关系切线长与半径构成直角•切线长和弦形成的角等于圆心角的一半•切线长的应用测量圆的半径计算圆的周长和面积

1.

2.12利用切线长公式，可以测量圆通过计算圆的半径，可以进一的半径例如，已知切线长和步计算圆的周长和面积这在弦长，可以求出圆的半径实际应用中非常有用，例如计算圆形物体的大小和面积设计和制造圆形物品

3.3切线长的知识可以应用于圆形物品的设计和制造，例如，设计一个圆形容器，需要根据容器的切线长和半径来确定容器的尺寸切线长问题解题思路理解定义1切线长是指圆外一点到圆的切线与圆心之间的距离寻找关系2切线长与半径、弦长、圆心角等之间的关系，寻找可利用的等式或定理运用公式3利用切线长公式和勾股定理，建立方程求解切线长问题通常需要结合几何图形的特点，利用切线长与其他几何元素之间的关系进行解题切线长问题解题示例1问题描述1已知圆的半径为厘米，点在圆外，过点作圆的两条切O5A O A O线，切点分别为、求切线长B CAB.解题思路2连接、，根据切线性质，⊥，⊥，且OB OCOB ABOC AC厘米因此，四边形是矩形根据矩形性质，OB=OC=5OBAC厘米AB=OC=

5.解答步骤3连接、，根据切线性质，⊥，⊥，且OB OCOB ABOC AC厘米因此，四边形是矩形根据矩形性质，OB=OC=5OBAC厘米所以，切线长厘米AB=OC=5AB=5切线长问题解题示例2题目描述已知圆的半径为，、为圆的两条切线，、为切点，O5PA PBOAB∠，求的长APB=60°PA解题步骤连接、•OA OB利用切线的性质，得到⊥、⊥•OA PAOB PB根据∠，可以推导出△为等边三角形•APB=60°OAB求出•OA=OB=5•利用勾股定理，求出PA=5√3结论PA的长为5√3弦切角的性质弦切角是指圆内一个弦和与该弦的一个端点相切的直线所形成的角弦切角的大小与圆心角有关，它等于圆心角的一半这个性质是解题的关键，可以帮助我们求解弦切角的大小，也可以利用弦切角的大小求解圆心角弦切角等于圆心角的一半圆心角弦切角顶点在圆心顶点在圆周上两边都是半径一边是圆的切线，另一边是圆的弦大小等于圆心角的度数大小等于圆心角的一半弦切角问题解题思路明确概念理解弦切角的概念，明确其定义和性质观察图形仔细观察题目中的图形，找到弦切角以及与之相关的其他角或线段应用性质利用弦切角的性质，建立方程或不等式，求解未知量检验结果检验所求得的结果是否符合题意，并进行必要的说明弦切角问题解题示例1题目1已知圆的半径为，弦的长为，求弦所对圆心O5cm AB8cm AB角的度数解题步骤2连接圆心与弦的中点，则垂直

1.O ABC OCAB根据切线长定理，

2.OC=AB/2=4cm利用余弦函数求得圆心角的度数

3.AOB答案3圆心角的度数为AOB2arcsin4/5≈

106.26°弦切角问题解题示例2问题已知圆O的直径AB=10，圆上一点C，连接AC，过点C作圆O的切线交AB延长线于点D，求∠ACD的大1小思路2连接OC，利用弦切角定理，求出∠ACD的大小解答3连接OC，根据弦切角定理，∠ACD=1/2∠AOB答案4因为AB是圆O的直径，所以∠AOB=90°，所以∠ACD=1/2×90°=45°切线长与弦切角的联系相互关联角的计算切线长与弦切角是圆中重要的几弦切角的大小可以通过切线长与何概念，两者之间存在着密切的半径之间的关系计算得出联系应用广泛切线长与弦切角的知识点在解题中常常结合使用，可以帮助我们解决各种与圆有关的几何问题切线长与弦切角综合应用1理解题意1认真审题，找出题目中的已知条件和求解目标运用定理2根据切线长和弦切角的性质和定理进行推导构建方程3结合题目条件和性质，建立关于未知量的方程求解问题4解方程，求出题目所求的解切线长和弦切角是初中几何中的重要知识点，在实际应用中经常需要将两者结合起来解决问题综合应用题通常需要综合运用多个知识点，并进行逻辑推理和计算切线长与弦切角综合应用2理解题意1仔细阅读题目，明确已知条件和求解目标画辅助线2根据题目条件，画出辅助线，构造特殊角或三角形应用定理3运用切线长定理、弦切角定理等解决问题检验结果4检查答案是否合理，并进行必要的验证切线长与弦切角的综合应用需要灵活运用相关知识，结合图形特点，寻找解题思路切线长与弦切角综合应用3已知条件1明确题目给出的切线长、弦切角等已知条件几何关系2分析图形中存在的切线长、弦切角以及其他几何关系辅助线3根据需要添加辅助线，构建辅助图形解题思路4结合切线长、弦切角性质，运用相关定理进行推导计算答案验证5检验所得结果是否符合题意，并进行最终的答案表达此应用示例展示了切线长与弦切角综合应用的解题步骤，需要综合运用多个知识点来解决问题，提高解题能力切线长与弦切角联系总结切线长弦切角关系应用切线长是连接圆外一点和圆周弦切角是指圆周上的一条弦与切线长与弦切角密切相关，切理解切线长与弦切角的关系，上切点的线段，它与圆的半径圆的一条切线所成的角，它等线长可以通过弦切角来求解，能够帮助我们解决更多关于圆垂直于圆心角的一半而弦切角可以通过切线长来确的几何问题定典型例题1123题目解题思路答案已知圆O的半径为5，PA，PB是圆O的根据切线长定理，PA=PB由连接OA，根据切线性质可知OA⊥PA两条切线，A，B为切点，∠P=60°，∠P=60°可知△PAB为等边三角形，则，所以△OAP为直角三角形，且求切线长PA的长PA=AB∠OAP=90°，∠PAO=30°，所以PA=OA/√3=5/√3=5√3/3典型例题2例题如图，已知圆O的半径为5，弦AB=8，点C是圆O上一点，且AC=BC求∠ACB的度数解题步骤过点O作OC⊥AB，垂足为D，则AD=BD=AB/2=4求解根据勾股定理，可求得OD=3，所以cos∠ACO=OD/OC=3/5，所以∠ACO=53°最终结果因为∠ACB=2∠ACO，所以∠ACB=106°典型例题3题目1如图，圆O的半径为5，点A在圆O上，PA为圆O的切线，连接OA，若∠PAO=30°，求PA的长解题步骤2连接OA，根据切线性质可知OA⊥PA，所以△PAO为直角三角形解题思路3利用三角函数知识求解PA的长，已知∠PAO=30°，OA为圆的半径，可以求出PA的长典型例题4已知圆的半径为，弦的长为，点在圆上，且，求∠的度数O5AB8P OPA=4APB连接OB1证明为等腰三角形2△OAB计算∠的度数3AOB利用弦切角定理4求∠的度数5APB典型例题5问题描述一条直线与圆相交于两点，求两交点间的距离.解题思路利用圆的弦切角性质，通过求解圆心角来确定弦长.解题步骤首先连接圆心与两交点，根据弦切角性质，圆心角等于弦切角的两倍.答案验证利用三角形余弦定理或勾股定理验证求得的弦长是否正确.思考与练习课堂练习拓展练习利用课堂所学知识，尝试独立完寻找一些与切线长、弦切角相关成课本上的练习题的拓展练习题，挑战自我思考题思考切线长、弦切角在实际生活中的应用场景本课知识点总结切线弦切角定理切线与圆只有一个交点，且垂直于过交点的弦切角是指圆的弦和切线所夹的角，其度数切线长等于经过切点和圆心的直线与圆心到半径等于圆心角的一半切线的距离的积课后思考切线长与弦切角的联系应用场景切线长与弦切角有何联系？切线长与弦切角有哪些应用场景？拓展延伸切线长与弦切角的知识可以如何拓展？。