【初中数学课件】反证法课件

反证法引入反证法是数学证明中的一种重要方法它通过假设命题的结论不成立，然后推出矛盾，从而证明原命题成立反证法概念假设结论错误推导出矛盾先假设要证明的结论是错误的，也就是假设结根据假设和已知条件，进行逻辑推理，最终推论的否定成立导出矛盾的结果，即推导出与已知条件、公理、定理或公认事实相矛盾的结果否定假设肯定结论由于推导出矛盾，说明假设是错误的，所以要由于假设是错误的，那么它的否定，也就是要否定假设证明的结论，就必然是正确的反证法的步骤假设结论的否定首先，假设结论的否定成立逻辑推理从假设的否定出发，运用逻辑推理得出矛盾得出结论由于假设的否定导致矛盾，因此假设不成立，原结论成立反证法的特点间接证明巧妙思路反证法不是直接证明命题本身，而是通过证明命题的否定来间接反证法可以将复杂问题转化为更易于证明的命题，并利用假设的证明命题成立矛盾来推导出结论反证法的适用范围证明命题解决问题反证法可以证明一些直接证明比反证法可以帮助解决一些逻辑推较困难的命题例如，证明无理理问题，例如一些数学谜题或逻数的性质辑游戏排除错误证明存在反证法可以用来排除一些错误的反证法也可以用来证明一个集合结论，帮助找到正确的答案中存在具有某种特定性质的元素反证法的演绎过程假设结论1先假设要证明的结论不成立推导出矛盾2根据假设，进行逻辑推理，推导出与已知条件或公理相矛盾的结果否定假设3由于推导过程逻辑严密，矛盾的出现说明假设不成立肯定结论4因此，原结论成立反证法是一种重要的间接证明方法，通过假设结论不成立，并进行逻辑推理，最终推导出矛盾，从而证明结论的正确性反证法证明∞+1∞反证法是一种重要的数学证明方法，它可以用来证明一些看似难以证明的结论例如，我们可以用反证法证明∞+1∞假设∞+1≤∞，那么我们可以得到∞+1-∞≤∞-∞，即1≤0但是，我们知道10，这与我们的假设矛盾因此，我们的假设是错误的，即∞+1∞反证法证明不是有理数“√2”假设√2是有理数，则可表示为√2=a/b，其中a和b是互质的整数两边平方得2=a²/b²，即a²=2b²，说明a²是偶数因为偶数的平方是偶数，所以a也是偶数，可以表示为a=2k，其中k是整数将a=2k代入a²=2b²得4k²=2b²，即b²=2k²，说明b²是偶数，所以b也是偶数因此，a和b都有公因子2，这与a和b互质的假设矛盾所以，假设不成立，√2不是有理数反证法证明无限小数不是有理数假设无限小数是有理数则无限小数可以表示为两个整数的比值但无限小数的位数是无限的因此无限小数不能表示为两个整数的比值结论无限小数不是有理数反证法证明存在无理数假设所有实数都是有理数根据有理数的定义，任何实数都可以表示为两个整数的比值因此，我们可以将所有实数排列成一个序列，例如121/11/2342/11/3562/23/1781/42/39103/24/1然而，这与实数的稠密性矛盾因为在任何两个有理数之间，都存在无数个无理数因此，假设不成立，所以存在无理数反证法证明无限小数必是无“理数”假设无限小数是有理数则它可以表示为两个整数的比值但无限小数不能表示为两个整数的比值因此假设不成立，无限小数必是无理数反证法证明无理数之和、差、积、商仍为无理数反证法是数学证明中的一种重要方法，可以用来证明许多结论例如，我们可以用反证法证明“无理数之和、差、积、商仍为无理数”假设无理数之和、差、积、商不为无理数，即为有理数那么，我们可以将这些有理数表示为两个整数的比值但是，根据无理数的定义，无理数不能表示为两个整数的比值因此，我们的假设是错误的，即无理数之和、差、积、商仍为无理数反证法在数学证明中起着重要的作用，它可以帮助我们证明许多看似难以证明的结论通过运用反证法，我们可以更好地理解数学概念，并能更有效地解决数学问题反证法证明三角形内角和公式反证法是数学证明中常用的方法之一，它是一种间接证明方法在证明一个命题时，我们可以假设该命题的结论不成立，然后通过一系列的推论，最终得出矛盾，从而证明原命题的结论是正确的反证法在证明三角形内角和公式时，我们可以假设三角形内角和不等于180度，然后推导出矛盾例如，如果假设三角形内角和大于180度，则我们可以通过延长三角形的一条边，构造出一个新的三角形，这个新三角形的内角和将大于360度，这与三角形内角和等于180度的结论矛盾反证法证明平行线性质假设两条直线平行，但它们的内错角不相等，那么根据内错角相等的性质，这两条直线应该相交，但这与我们的假设矛盾，因此假设不成立所以，两条直线平行，它们的内错角必须相等，反证法得证反证法证明勾股定理假设a^2+b^2≠c^2推论根据勾股定理，直角三角形两条直角边平方和等于斜边平方矛盾假设与定理矛盾，所以假设不成立结论a^2+b^2=c^2成立，即勾股定理成立反证法证明奇数的平方是奇数假设奇数的平方不是奇数结论奇数的平方是偶数推论奇数的平方可以被2整除矛盾奇数的平方不能被2整除，与结论矛盾因此，假设不成立，奇数的平方是奇数反证法证明偶数的平方是偶数假设偶数的平方不是偶数，而是奇数根据定义，偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数那么偶数的平方就是2k²=4k²=22k²，仍然是2的倍数，也就是偶数这与我们假设偶数的平方是奇数矛盾，所以我们的假设不成立因此，偶数的平方一定是偶数反证法证明有理数的有理数次幂是有理数假设有理数a的有理数次幂b不是有理数，即a^b是无理数因为a和b都是有理数，可以表示为a=p/q，b=m/n，其中p、q、m、n都是整数，且q和n不为零那么，a^b=p/q^m/n=p^m/q^n，因为p^m和q^n都是整数，所以a^b也是有理数这与我们的假设矛盾，所以假设不成立，因此有理数的有理数次幂是有理数反证法证明根号不是有理数2假设根号2是有理数则根号2可以表示成两个整数a和b的比值即根号2=a/b其中a和b互质，即a和b的最大公约数为1两边平方得2=a^2/b^2则a^2=2b^2，所以a^2是偶数因为偶数的平方是偶数所以a也是偶数设a=2k，代入a^2=2b^2得到4k^2=2b^2，即2k^2=b^2，所以b^2是偶数因为偶数的平方是偶数所以b也是偶数这与a和b互质矛盾所以假设不成立，即根号2不是有理数反证法证明根号不是有理数3假设根号3是有理数，则根号3可以表示成两个整数的比值，即根号3=a/b，其中a、b为互质整数两边平方，得3=a^2/b^2，a^2=3b^2由此可知，a^2是3的倍数，因此a也是3的倍数，可以设a=3k，k为整数将a=3k代入a^2=3b^2，得9k^2=3b^2，b^2=3k^2由此可知，b^2是3的倍数，因此b也是3的倍数因此，a和b都是3的倍数，与a、b互质的假设矛盾所以，根号3不是有理数反证法证明无理数之和、差、积仍是无理数假设无理数之和、差、积为有理数，则可推出矛盾反证法证明无理数之和、差、积仍是无理数√2√3√2+√3无理数无理数无理数例如根号2例如根号3无理数之和√2-√3√2*√3无理数无理数无理数之差无理数之积反证法证明无理数之商仍是无理数假设无理数之商是有理数，则可以表示成两个整数的比值根据有理数和无理数的定义，无理数不能表示成两个整数的比值，因此假设不成立，即无理数之商仍然是无理数例如，假设√2和√3都是无理数，则它们的商√2/√3也是无理数因为如果√2/√3是有理数，则可以表示成两个整数的比值，但√2和√3都是无理数，因此√2/√3不能表示成两个整数的比值，所以√2/√3是无理数反证法证明是无理数e假设e是有理数，则可以表示为p/q的形式，其中p和q为互质的整数利用e的定义，可以构造一个无理数，从而得出矛盾假设e是有理数，那么可以将其表示为两个互质整数p和q的比值，即e=p/q将e的定义式代入，得到等式:e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...将e用p/q替换，得到等式:p/q=1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n!+...将等式两边乘以q!，得到等式:pq-1!=q!+q!/1!+q!/2!+q!/3!+...+q!/n!+...等式左边是一个整数，而等式右边除了第一项q!是整数外，其他所有项都是分数，且分母大于q，因此等式右边是一个分数这与等式左边是整数矛盾，因此假设e是有理数不成立，即e是无理数反证法证明是无理数“π”假设π是无理数推论π可以表示成p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于0矛盾π是一个无限不循环小数，不能表示成p/q的形式结论假设不成立，因此π不是无理数，而是无理数反证法证明是无理数√2+√3假设√2+√3是有理数，则存在两个整数a和b，使得√2+√3=a/b将等式两边平方，得到2+2√6+3=a^2/b^2化简得到2√6=a^2/b^2-5，因此√6=a^2-5b^2/2b^2由于a和b是整数，所以a^2-5b^2/2b^2也是有理数但这与√6是无理数矛盾所以，假设不成立，√2+√3是无理数反证法证明根号根号是无理数2*3假设根号2*根号3是有理数即存在两个整数a、b b≠0，使得根号2*根号3=a/b则根号6=a/b，即根号6b=a平方6b²=a²因此a²是6的倍数则a是6的倍数，可设a=6k k为整数将a代入6b²=6k²=36k²，即b²=6k²所以b²是6的倍数，b也是6的倍数矛盾a、b都为6的倍数，违背了a、b互质的假设结论根号2*根号3不是有理数，即为无理数反证法证明根号与根号之“23比是无理数”假设根号2与根号3之比是有理数，则可以表示为两个互质整数a和b的比值，即根号2/根号3=a/b两边同时乘以根号3，得到根号2=a根号3/b两边同时平方，得到2=3a²/b²等式左边是整数，而等式右边是分数，因此假设不成立，所以根号2与根号3之比是无理数反证法证明其他结论证明结论应用领域反证法可以用来证明各种数学结反证法在数学、物理、计算机科论，例如几何定理、代数定理、学、经济学等领域都有广泛的应数论定理等用思维方式反证法是一种重要的数学思维方式，可以帮助我们从反面思考问题，从而找到问题的答案反证法的应用举例证明三角形内角和为度证明勾股定理证明无理数之和为无理数180假设三角形内角和不等于180度，则可以推假设勾股定理不成立，则可以推出矛盾，从假设无理数之和为有理数，则可以推出矛盾出矛盾，从而证明三角形内角和等于180度而证明勾股定理成立，从而证明无理数之和为无理数反证法思维训练发现矛盾1假设结论不成立逻辑推理2推导出矛盾结果证明结论3得出结论成立思维逆转4从相反方向思考反证法思维训练，让学生学会从相反角度思考问题总结反证法的运用逻辑思维团队合作学习效率反证法可以训练学生逻辑思维能力，提高问运用反证法解决问题需要学生之间相互讨论掌握反证法能够帮助学生更高效地学习数学题解决能力，协作完成知识，理解数学概念。