第八章-欧氏空间

第八章欧式空间基础训练题

1、证明，在一个欧氏空间里，对任意得向量以下等式成立1；2〈0/〉=、［提示:根据向量内积得定义及向量模得定义易证、］

2、在欧氏空间炉中，求一个单位向量与仍=1,1,0,0以2=1,1,I,-103=1,-I,1,-1都正交、解:=、

3、设2,…,4就是〃个实数,证明、证明令0=14，•••1,网⑶晒,…,同a,J3=\a\•|夕|=、

4、试证,欧氏空间中两个向量a,6正交得充分必要条件就是:对任意得实数都有|a+-同、证明a+t］3,a+tJ3=a,a^2ta阶tz0,0必要性:设a与夕正交,对任意得实数，，则a+tJ3,a+t/^a,陟a,a所以|a+如之间、充分性:当代0时，结论成立、当狂0时,取年,则a+toj3,a+to/3=a,a、由己知a+为以a+fo夕Na,a故=0,所以,代

0、即a,夕正交、

5、在欧氏空间内中，求基｛%，密俏,8｝得度量矩阵，其中的=1,1,1,1,2=1,1,1,0,3=1,1,0,0,04=1,0,0,

0、解:度量矩阵为、

6、在欧氏空间R3中,已知基01=1,1,1,02=1J0,8=1,0,0得度量矩阵为B=求基£1=1,0,0,£2=0,1,0,=0,0,1得度量矩阵、解:度量矩阵为、

7、证明1=,2=3=,口4=就是欧氏空间配得一个规范正交基、［提示:令〃=幽,02,03,04,计算即可、］

8、设｛£1,E1,£3｝就是欧氏空间修得一个基，1=£1+,且基｛£1,,｝得度量矩阵就是4=、1证明就是一个单位向量；2求无，使与£1=£1++46正交、证明1£1,£1=1,£1,©=,及，及=2a\,a\=£\,fi+2fi,及+及,及=1所以仍一个单位向量、

9、证明，如果佃，电…,｝就是欧氏空间修得一个规范正交基，”阶实方阵力=劭就是正交矩阵，令小，丁」••,丁=©,鱼，…,4那么｛根，办…，小｝就是修得规范正交基、证明rji,T］j=、

10、设力就是〃阶正交矩阵，证明1若det4=l,则一1就是得一个特征根；2若n就是奇数，且det4=1,则1就是/得一个特征根、证明:ldet—I—4=det—/AT-A=detJ•det一4r—Z=detJ,det—I—Z=detI—所以det—I—尸，即一1就是得一个特征根、2=detZ AT—A=detJ,detZ7—Z=det4•ln,detI—=detI-y4所以detI-^=0,即1就是/得一个特征根、

10、证明,〃维欧氏空间修得两个正交变换得乘积就是一个正交变换;一个正交变换得逆变换还就是一个正交变换、［提示:根据正交矩阵得乘积就是正交矩阵,正交矩阵得逆矩阵就是正交矩阵，结论易证、］

11、证明，两个对称变换得与还就是对称变换、两个对称变换得乘积就是不就是对称变换？找出两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件、证明两个对称变换得与还就是对称变换易证、两个对称变换得乘积不一定就是、例如:令g，就是R2得一个规范正交基,分别取R2得两个对称线性变换，使得=£,=昂，金，可以验证不就是对称变换、两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件就是它们可换、

12、设就是〃维欧氏空间/得一个线性变换，证明，如果W黄足下列三个条件中得任意两个，那么它必然满足第三个:⑴就是正交变换;2就是变换;34=心就是恒等变换）、［提示:根据就是正交变换当且仅当屈一个规范正交基下得矩阵就是正交矩阵，就是对称变换当且仅当b在一个规范正交基下得矩阵就是对称矩阵，结论易证、］

13、设就是〃维欧氏空间厂得线性变换，若对于任意匕有〈《）,伪=一＜a,£）〉,则说cr就是斜对称得、证明

（1）斜对称变换关于修得任意规范正交基得矩阵都就是斜对称实矩阵；

（2）若线性变换关于修得某一规范正交基得矩阵就是斜对称得，则就是斜对称线性变换、［提示:证明过程与第八章第三节定理

8、

3、2（p、349）得证明过程完全类似、］

14、设就是欧氏空间P到广得一个同构映射，证明，如果｛,「••,｝就是P得一个规范正交基，则｛6＞1）,o（£2）,,,,,（7（£）｝就是修，得一个规范正交基、证明:由（p、253）定理

5、

5、3可知，｛H＞）,aa）,…，就是忆得一个基、由欧氏空间同构映射得定义可知，a）,«与）=,£/=,所以结论成立、

15、设就是〃维欧氏空间忆得一个正交变换、证明，如果修得一个子空间少在b之下不变，那么少得正交补也在＜7之下不变、证明:因为正交变换就是可逆线性变换，由（p、331）习题七得第13题得结论得V=、因为，且b就是正交变换，所以、由已知条件知,，且可逆，因而从而，即、

16、设｛g,出,｝就是欧氏空间修得一个规范正交基，沙=乙（1,2）,其中1=£1+,2=2£1-a+

6、1求〃得一个规范正交基；2求肥得一个规范正交基、解:取3=£2,4=£3,将四，02,3,04先正交化，然后规范化后得修得一个规范正交基伙=仇=仇=则｛夕1戏｝与侬，闺分别就是少与於得一个规范正交基、

17、求齐次线性方程组、得解空间吹得一个规范正交基，并求出、解:经计算，得空间得一个基础解系为ai=,ot2=将ai,0C2扩充为或4得一个基ai,0C2,a3=,OC4=将幽，S,3,极规范正交化后得邛得一个规范正交基仇=,优=,03=,04=那么｛加屈｝与｛区四｝分别就是〃与脚得一个规范正交基且淤=£后,㈤、

18、已知心得子空间少得一个基ai=l,-1,1,-l,a=0,1,1,02求向量a=l,—3,1,—3在沙上得内射影、解:易求得出得一个基«3=1,0,0,1,04=—2,—1,1,0则ai,«2,痣，极就是配得一个基、a=2a—极+—33+0的所以a在沙上得内射映为2ai一公、

19、对于下列对称矩阵4各求出一个正交矩阵a使得就是对角形式⑴Z=,2Z=、解:⑴2。