第八章 §8.9　圆锥曲线中求值与证明问题

锥曲线中求值与证明问题§

8.9题型一求值问题例1（12分X2021・新高考全国I）在平面直角坐标系X），中，已知点B（一行，0）,尸2（师,0）,点A/满足记的轨迹为W—M/2=2M C.⑴求的方程；［切入点双曲线定义］（）设点在直线尤=上，过的两条直线分别交于两点和两点，且2T T43P,Q7X73=TP TQ求直线的斜率与直线的斜率之和,［关键点利用等式列式］A3PQ9思路分析由定义求方程一设直线的方程一求出各弦长一由条件列等式一得出斜率之间的关系一结论答题得分模板规范答题不丢分解（）因为1M%—MF2=2F/2=2/T7,所以点的轨迹是以储，尸分别为左、右焦点的双曲线的右支•

①;［M C12分］”

①处确定双曲线右支22设双曲线的方程为鼻（心）半焦距为a b-9=1010,c,则2Q=2,C=，TT,得Q=l,b2=/-〃2=16,［3分］.....-..2所以点的轨迹的方程为/一）

②［分］-M2=121416

②处方程中加范围（）设（，由题意可知直线的斜率均存在且不为2T g,4AB/Q0,

③处设直线、的设直线的方程为力-上自A3P48方程直线的方程为丁一，二后卜一!）（后六），P得（-居）/一■卜-分]由1624]«-2-16=

0.[5V设A（XQA）,3（X28），易知16-吊产0,9・•・・••・•・・•・・•・・・・・•・・••・••・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・••・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・•・・・・••・・・・••・・・・••・・・•・・・・・•・・・・・・•・・・・・・・•・・・・・・・・・•・•・•・•・••・・・・•・・・・・•・••・・・・・・・・.辨-

④处根与系数的关系G162M则-----------------------，必+------------;—，分]453[6-吊-斯1616所以TA=+居（以-・乙乙A/1+AI x|f ITB=」\+人工厂=）\+邕），乙乙j418-1

⑤处求出弦长设椭圆，〃的左焦点为凡上顶点为已知椭圆的短轴长为离心率为坐.

2.+£=10A4,求椭圆的方程；1⑵设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负M P3x N y半轴上.若为原点，且求直线的斜率.ON=OF OP_LMN,P3解设椭圆的半焦距为，1依题意,2b=4,又、可得〃=小，b=2,、=a2=〃+c2,c l.%v所以椭圆的方程为由题意，设尸2XP,%XPWO,

0.设直线PB的斜率为kkWG,又则直线的方程为30,2,PB=+2,与椭圆方程联立V20k可得xp=—4+5*8—10F代入y=kx-\-2得yp=4+5F整理得日4+522/+20=0,斤4—52所以直线尸的斜率苫xp—lOk2一在中，令得工.y=Ax+2y=0,XM=由题意得N0,-1,k所以直线的斜率为一系MN公4-5FA由得二于=—，75rL1化简得/=半，从而左=心皆.匕匕士心乙JW nnA.1^22/

30.2V^5所以直线尸的斜率为\或一七.8维技能提升练.莆田质检曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于

3.2022C PF2,0x=4坐，过点且与轴不重合的直线/与交于不同的两点B.M4,0x A,⑴求的方程；求证厂内切圆的圆心在定直线上.2AAB⑴解设由题意，Px,y,22^/x-2+y VI2心|x—4|_2=_2-+2=1x-4,22x v化简得今o即的方程为c5+1=

1.o4证明设直线/巾，2x=my+4,Axi,小，8X2,将/代入C得搜+/町/+28+8=0,2in12,2=64m—32m2+20=8m.・.》+竺=一旋”8U，2=；^.设直线/与尸的斜率分别为历，k2,A5y+12myi+24272+2+”2mMy2+2myi+2m^2+

28._8m_\加加22+2+21—4+2*myi+2my2+2:・ki=—k2,则NBFM=7i—NAF7%，直线平分而三角形内心在所的角平分线上,x=2NAbB,NA，△尸内切圆的圆心在定直线上.AB x=2cr拓展冲刺练

4.（2022・深圳光明区模拟）已知双曲线C”一y2=l（a0）右焦点分别为Q,（）F,E0,l,2的左过焦点，且斜率为焉的直线与的两条渐近线分别交于B C两点，且满足祸反3=2Z（）求的方程；A,1⑵过点从一|，0）且斜率不为的直线/交于N两点,解

（1）且EM=EN,求直线/的方程.双曲线的渐近线方程为=劣，C过尸（，）且斜率为（的直线方程为20,1（），y=%x—由v；得（在\号,A〔『）LCr i，-/ac—CJ=F由传乙，〃）j1+6+6）U=«LC由于漏=）2,言=言，解得=

2.所以一所以双曲线的方程为了一c y2=L设/攵2y=4x+1W0,消去并化简得y1—4R%2—12/x—93—4=0,由好.且^.1=1443+41—4R9R+4=16—28R0,0设Ng，MQj,yi,”逑则Xl+X2=攵1—4212k2y\+竺—kx\+x2+3=-4k23k=1-4R所以的中点的坐标为M,N G162/—4k2巳\11-4由于EM=£N,所以EG.LMN,-%EG,%MN=1,2k------------——1—4k21------・k=—l,化简得8R+15Z—2=0,1-4^-0%+28%—1=0,解得k—或k=w，—2由于产导且％wo,所以k=Q,o所以直线/的方程为=茅+|.（）一别=+后）则•TB=1+S TA

⑥处写出TBTA•（届）（产）1++]2（硝=1+—居16—k162

⑥居—161+硝+]2:一一二:；-

⑦处写出7P・7同理得TP-7Q=^—-----------------・[1分]年一16（硝（产+）（篇）（）1+121+/+12

⑧处列出等式因为TA-TB=TP・T，所以8；；A—16即4+卷=0；故直线45的斜率与直线PQ的斜率之和为0

⑨.[12分]，--------------

⑨处写出结论【教师备选】已知椭圆，＞＞的长轴长是短轴长的倍，尸是椭圆的一个焦点，点,C+|=1402C M2且MF=y[ld.求椭圆的方程；1⑵若过点的直线/与椭圆交于两点，线段的中点为且满足求/的方程.M A,8N,AM=8N,a=2b,解由题意，可得理+、按+=层，14=10,2解得a=2y[^,故椭圆的方程为C+9=

1.o Z根据题意可得，点必在点的上方，2A5才有AM=3N.当/的斜率不存在时，AM=2_®BN=,不合题意，故/的斜率必定存在.AM中BN设/的方程为丁=履+2,#+11,由j X2=履+2,得好无1+42+16+8=0,＞/=16Z2—321+4/=128^—320,16k8则Xl+X2=-X,X2=1+4R1+4F设丁A（xi,yi）,8（x2,2）,设Mxo,yo）,8k—+x2川犹=2=-1+4F由可得，AB=MN,AM=8N所以y/1—%2|=^/1+^2ko—O|,8k1+4F1+4R则、乃（X1+12）2—412=ko|,整理得=:；,22故人/的方程为=Q^,y=J^x+

2.思维升华求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.、、万r-22跟踪训练.天津已知椭圆点+%=〃的右焦点为上顶点为以离心率为平,且120211»0RBF=y[

5.求椭圆的方程；1直线/与椭圆有唯一的公共点与轴的正半轴交于点过与尸垂直的直线交轴于点2y N,N3x P.若凡求直线/的方程.解易知点却b,1c,0,B0,故BF=yjc2+b2=a=y[5,因为椭圆的离心率为《==芈，所以h=y]a2—c2=l,c=2,因此，椭圆的方程为J1+y=L设点州为椭圆彳+产=上一点，2Mx,1先证明直线的方程为MN g+yoy=l,「独式I1，-+w=1消去并整理得/-就=因此，椭圆（+产=联立〈y2XQX+X3=4=4X8—40,123+尸1,在点Mx，泗）处的切线方程为等+yoy=L在直线的方程中，令可得＞（，由题意可知＞，即点hMN x=0,=yo O{0,11直线BF的斜率为kBF=—}=-亍所以直线PN的方程为y=2x+—,在直线尸的方程中，令可得《，Ny=0,x=—2yo即点《一表，），因为MP//BF,则kMP=kBF,即）‘_），28__11--.12o+l2W尤+丽整理可得（松+）5%2=0,所以直线/的方程为一哈+哈=1,所以加，所以弓+弟=弱Xo=—56=1,即x-y-\-y[6=Q.题型二证明问题22例（.新高考全国）已知椭圆的方程为十方＞），右焦点为（隹）且22021H a=1F0,

一、-、禺心率1A/6（）求椭圆的方程；1C

（2）设N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线炉+产;房a乂））相切.证明M,N,F三点共线的充耍条件是MN=y[

3.⑴解由题意得，椭圆半焦距=$且产=*，所以a=小,又岳=次一，所以椭圆方程为c2=l,+y2=i.⑵证明由⑴得，曲线为22x+j=lx0,当直线的斜率不存在时，直线不符合题意;MN MNx=l,当直线的斜率存在时,设Ng,”,MN Mxi,yi,必要性若N,三点共线，M,b可设直线y=kx—y[2N9即kx—y—y[2k=09h|由直线与曲线/+相切可得MN y2=1Q0R+1尸土尤一也,联立b+y=1,3^/2所以X\+X2=可得24x—6-\/2x+3=0,所以MN=yj々「=小,所以必要性成立；1+1XI+X22—4X X2充分性设直线y=kx+bkbQ^MN即kx—y+b=O9y=kx~\~b,联立[jl,由直线与曲线丁=相切可得所以MN9+101,=3+1,可得226kbx~\-3b21+3Z:x+—3=0,所以MN=q1+吩・、XI+122—4x1・X21+k抉一为小33所以黑^Xl+%2=-]2,=]+322,届一33—4-V24P-------------=11+好・左1+3T化简得伏所以攵=±32—12=0,1,1+3F2化=仅=—1,1,所以「或《厂[b=—yl2[b=y[2,所以直线一/或也，A/N=X y=—x+所以直线过点尸（，）N,尸三点共线，充分性成立，所以N,尸三点共线的MN60,M,M,充要条件是【高考改编】在平面直角坐标系g中，已知椭圆宗（/»）的右焦点为/（）离心率呜c+l=10i,o,⑴求椭圆的标准方程；c（）若过点方的直线/交于B两点、,线段的中点为分别过作的切线小b，且2A,A3M,A,B C/]与交于点，证明，P，三点共线./2P M7=1,⑴解由鸿，解得仁之2226Z=/7+C,/V2・•・椭圆C的标准方程为丁+3=

1.⑵证明由题意知直线/的斜率不为设直线/的方程为殁+0,1=1,PX3,刃，AX1,J1,3X2,2,MM,yo,x=my+1,由《223x+4y=12,整理得3/%2y2+2/%y+l+4y2=12,3m26myEP+4y2+——9=

0.—3m.yi+y2-yo=^~=3^+494%0=2,3m+

4.L__3•・koM——4根.直线的方程为等+誉

①直线的方程为等十号=

②®—®^y2—y\=^x\—X2/i=1,，21,v3xi-123x4^2—yi4m,.13-3--~4m-kop^X3:・koM=kp,即，P,A/二点共线.思维升华圆锥曲线证明问题的类型及求解策略圆锥曲线中的证明问题，主要有两类一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如1某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系相等或不等.解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相2关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.跟踪训练22022・漳州模拟已知复数z=x+yix,y£R在复平面内对应的点为y,且z满足|z+2|一点的轨迹为曲线|z—2|=2,M C求的方程；1⑵设若过的直线与交于两点，且直线与交于点证明4—1,0,Bl,0,b2,0P,AP R.点在定直线上；i R五若直线与尸交于点则488,RbJ_SE⑴解由题意可知，11+22+/—2+y2=2,所以点M到点尸一与到点尸的距离之差为且i2,022,02,2|FIF2|=4,所以动点的轨迹是以尸为焦点的双曲线的右支，M2犬22V设其方程为零一力〃a0b0=1QN,99其中〃2=2,2c=4,所以4=1,c=2,所以b2=c2—a2=39所以曲线C的方程为2x-^=lx^l.证明设直线的方程为检，”，其中即〉及2i PQx=+2,Pxi,y,1,

1.x=,ty~\~2,联立/消去x,9卜=晨3可得祥—3ly2+12y+9=0,由题意知尸一且/=31wo144/2—363/2—1=36/2+10,所以》+竺=品当，必=在，,直线尸曲（叶）AP1,直线

①BQ1由于点（）在曲线上，可知济（宕一）P X1,y C=31,所以扁一所以直线=警产+）

②AP

1.联立

①②，消去可得y（）3X1—1¥2由题意知xWl,斫以（））叮3x+l_2X—I（）（-）5X1—1X2I斫以（））“巨3x+l_⑸）侬+）X—1+11___________=1112Fw+Ky++1,3x+l_9p所以一x—1-%2—12P+3P—1所以，所以点R在定直线上.x=5（）由题意，与（）同理可证点也在定直线上.ii iS设出R r由于在直线尸］，（上,R APX ix+D在直线了=祥［（）上,S A1+1所以尸33y2xi+r（41+源）4,9yj2所以rs=4xi+1x2+!y\yi494yi+3Zy2+3_9____________________________於4＞1m+3/1+＞2）+99______________9_____________=一於436+9（31—］）_9~~49又因为读=（一|,,,竟=（一,，s）,——9所以尸所以R/S=a+rs=O,Rb_LSE课时精练R基础保分练已知抛物线旷〃加的准线与轴的交点为

1.C2=20X A—1,

0.⑴求的方程；若过点的直线/与抛物线交于两点.求证石，+，■为定值.2”2,0P,⑴解由题意，可得一今=—即〃1,=2,乙・•・抛物线C的方程为y2=4x.⑵证明设直线/的方程为x=my+2,x=my-\-2,联立尸尤，4尸为，》，以,2,消去得y2—4my—8=0x9则（源+）＞/=1620,又=«柏）引./.ji+^2—4m,-8,PM=^/l+m2|yi|,QM i+（）行+（源）免l+21+（）资凫9I0yt+©1+/7216//z+16

（2）641+m21+m1歹322X2+1。