《函数极限zhm》课件

函数极限简介函数极限是微积分的基础概念之一描述了函数在某个点附近的定性行为,通过学习函数极限我们可以更深入地理解函数的性质为后续的微分、积分,,等概念打下基础课程简介课程内容本课程将全面介绍函数极限的概念、定义及其相关性质和计算方法学习目标学习掌握函数极限的基本知识并能熟练应用于实际问题求解,学习难点函数极限的定义理解和计算方法的掌握是本课程的主要难点,什么是函数极限函数极限是指当自变量逼近某一特定值时，函数值也逼近某一特定x fx值这一特定值称为函数的极限它描述了函数的渐进行为和趋势fx研究函数极限是微积分和高等数学的基础函数极限的定义极限的概念定义公式12极限描述了函数在某一点附函数在点处的极限是fx x=a近的变化趋势当自变量一个确定的数如果对于任x L,趋近于一个确定的值时，函意给定的正数都存在一个ε,数的取值也趋近于一个确正数使得当时有yδ,0|x-a|δ,定的值|fx-L|ε极限判定3通过检查函数在的某一个邻域内的取值情况来判断函数在fx x=a,处是否存在极限以及极限值是多少x=a,函数极限的性质性质唯一性性质有界性性质保号性1:2:3:函数极限如果存在那么它一定是唯一的如果函数当趋近于某个数时极如果函数当趋近于某个数时极,,fx xa,fx xa,不会出现两种不同的极限值限存在那么在的某个邻域内一定限为正数或负数那么在的某个,fx a,fx a是有界的邻域内一定是正数或负数计算函数极限的一般方法直接代入法1当函数极限存在时，可直接把自变量的极限值代入函数表达式计算因式分解法2当函数表达式存在分母为0的情况时，可对分子分母同时进行因式分解无穷小量法3当分母含有无穷小量时，可利用其性质化简计算洛必达法则4当函数为分式形式且分子分母都趋于0或±∞时，可应用洛必达法则计算计算函数极限时需灵活应用以上四种常见方法,根据具体情况选择合适的方法进行推导这些基本技巧为解决各类型函数极限问题奠定了基础直接代入法简单快捷局限性当函数表达式中的变量直接能够代入时，可以直接计算函数的但当函数表达式中包含分母为或指数为等情况时，直接代00极限值这种方法简单直接，计算方便入法则无法适用，需要采用其他计算方法因式分解法分解因式寻找规律识别出函数中的共同因式将其留意函数形式中的特征如平方,,分解出来简化表达式这有助差、完全平方式等运用相应的,于消除分母或分子中的无穷小因式分解公式进行化简量组合变换有时需要对函数进行适当的组合变换如分子分母同时乘以某个表达式,,以利用因式分解法有理式的无穷小量法有理式的特点有理式是由常数和变量的有理运算构成的代数式,具有一定的代数结构无穷小的概念无穷小是指当自变量趋于某一值时,函数值无限接近于0的一类函数求解方法利用有理式的代数性质和无穷小的特点,通过适当的代换或化简来求解洛必达法则极限等价原理适用条件当趋近某个特殊点时，如果某被除数和除数都在趋近某个特x x个函数的极限形式为或殊点时趋向于或，且它们的0/00∞，就可以使用洛必达法则来导数也满足相同的条件∞/∞求出这个极限计算步骤对被除数和除数分别求导，然后将导数代入原来的极限表达式中计算即可函数极限的应用函数极限不仅是重要的数学概念也在多个领域有广泛应用,它可以用于描述物理量变化的规律、预测趋势、优化设计等掌握函数极限的知识可以帮助我们更好地理解和把握复杂的,数学模型从而做出更准确的预测和决策,连续函数的性质连续性保号性12连续函数是指函数在其定义连续函数在其定义域内保持域内的每一点都是连续的函数值的正负号不变即如当自变量在一个小区间内无果函数在某一点取正值负限逼近某个点时，函数值也值，则在它的某个小邻域内无限逼近该点的函数值也都取正值负值界限性积分性34连续函数在其定义域内是有连续函数在其定义域内是可界的，即函数值不会超过某积的，可以应用积分的基本个最大值和最小值性质进行计算和分析连续函数的分类连续函数间断函数一致连续函数定义域连续函数在其定义域内，函数的值能在其定义域内存在不连续点在整个定义域内都连续的函在其定义域内处处连续的函连续变化的函数称为连续函的函数称为间断函数间断数称为一致连续函数这是数称为定义域连续函数这数这是函数最基本的性质函数有跳跃性、无穷大或无一种更强的连续性概念是函数连续性的基本概念之一穷小的特点初等函数的连续性函数连续性的定义初等函数的连续性连续性的证明连续函数是指在其定义域内任意点都具常见的初等函数如幂函数、对数函数、可以通过极限的定义或者利用函数的性,有连续性的函数这意味着函数值随自三角函数等在其定义域内都是连续的质来证明初等函数在定义域内的连续,变量的微小变化而连续变化这是初等函数的一个重要性质性这是学习微积分的基础间断点的分类可去间断点跳跃间断点12这种间断点可以通过适当的函数在该点处出现跳跃即在,定义来消除即在间断点处重间断点的邻域内函数值存在,新定义函数值明显的跳跃无穷间断点震荡间断点34函数在该点处发生无穷大或函数在该点处发生振荡即函,无穷小的情况即函数值在该数值在该点的邻域内在有限,点的邻域内无穷大或无穷区间内来回震荡小函数的连续性判定直接比较法极限存在判断将函数值与极限值进行直接比较,如果接近则函数连续若函数的左右极限存在且相等,则该点处函数连续123夹逼定理如果存在夹住函数的上下界且均连续,则该函数也连续单侧连续定义性质检查方法应用如果函数在点处仅有单侧单侧连续函数可能存在跳跃分别检查函数在点的左极单侧连续在实际问题中很常x0x0极限即只有左极限或右极点此时函数在该点处不连限和右极限如果两者相等见例如阶跃函数、绝对值,,,,限存在则称该函数在点续只有单侧连续且有限则函数在点连续函数等这些函数在某些点,x0,,x0;处单侧连续如果有一侧极限不存在或不处只有单侧连续性相等则函数在点单侧连,x0续间断函数的连续性间断点的类型跳跃型间断点函数在某点不连续的原因可能是出函数在某点存在跳跃左右极限不,现跳跃、垂直渐近线或其他情况相等这被称为跳跃型间断点这些点被称为间断点无穷型间断点可去型间断点函数在某点存在垂直渐近线导致函数在某点虽然不连续但通过定,,函数无法连续这被称为无穷型间义延拓或确定极限可以使其连,断点续函数的连续性与可导性连续性与可导性的关系可导函数的性质连续性是可导性的基础条件可导函数具有许多特殊的性质,函数在某点连续才有可能在该如导数的连续性、可微性、积,点可导但是可导性并非连续分性等这些性质使得可导函数,性的必要条件具有广泛的应用连续与可导的意义连续和可导体现了函数的平滑性这为函数的分析和应用提供了重要,依据连续和可导是函数最基本的性质之一可导函数的性质连续性微分可导导数性质可导函数在其定义域内都是连续的连可导函数的导数也是连续的即可导函数可导函数的导数具有多种有用性质如单,,续性是可导性的前提条件在其定义域内都是微分可导的调性、凹凸性等这些性质广泛应用于函,数的研究导数的概念导数的定义导数与切线导数的计算导数是表示函数在某一点上的瞬时变化导数可以用于构造函数在某点的切线切导数可以通过极限的概念来定义和计算,,率描述了函数在该点处的斜率或变化速线的斜率即为该点的导数是微积分中的核心概念之一,度导数的求法直接代入法1当函数表达式简单时，可以直接将待求点代入函数表达式来求导数基本导数公式2利用常见函数的导数公式进行求导链式法则3对复合函数进行求导时使用链式法则隐函数求导4当函数关系式中有未知变量时，采用隐函数求导方法导数的求法是微积分中的基础技能通过掌握直接代入法、基本导数公式、链式法则及隐函数求导等方法，我们可以高效地计算出各种类型函数的导数这为后续的微分应用奠定了重要基础基本导数公式基本函数导数导数运算法则包括常数、幂函数、指数函涵盖了加法、减法、乘法和除数、对数函数和三角函数的导法等四则运算的导数计算规数公式这些公式是微分学的则这些法则可以简化复杂函基础数的求导过程复合函数导数针对由多个基本函数组合而成的复合函数的导数计算方法这是解决实际问题中常见的复杂函数导数的关键复合函数的求导识别复合函数复合函数是内层函数作为外层函数的自变量例如fx=ghx应用链式法则使用链式法则可以对复合函数进行求导即对外层函数和内层函数分别求导后相乘计算内外层导数根据基本导数公式分别计算外层函数gx和内层函数hx的导数合并导数将外层函数的导数与内层函数的导数相乘,即得到复合函数的导数隐函数的求导确定独立变量1识别函数中的自变量和因变量建立隐函数关系2用隐函数方程表示函数关系偏导数法求导3使用链式法则计算偏导数对于隐函数，可以通过偏导数法求出对的导数首先确定自变量和因变量，建立隐函数方程，然后利用链式法则Fx,y=0y x计算偏导数得到导数公式这种方法适用于各种形式的隐函数高阶导数定义计算方法12高阶导数指对一个函数进行可以利用基本导数公式和复多次求导得到的导数如合函数求导公式逐步计算高的一阶导数为，二阶阶导数同时适用于隐函数fx fx导数为的高阶导数求解fx应用性质34高阶导数广泛应用于多种数高阶导数具有一定的性质如,学分支如函数极值分析、曲可交换性质、线性性质等可,,率计算、动力学分析等以简化计算导数的应用导数在数学中有广泛的应用例如求函数的极值、描述函数的切线性质、分,析函数的变化趋势等这些应用在工程、经济等诸多领域都有重要意义导数还可用于优化问题的求解比如寻找生产成本最小化、效益最大化的最,优决策许多具体问题都可利用导数的几何意义和计算规则来分析和求解总结与复习复习要点实践应用未来发展•函数极限的定义和性质通过解决课后习题和思考真实生活中的函数极限和连续性是微积分学中的基础案例巩固对函数极限和连续性理论的概念其在数学分析、工程应用等领域,,•计算函数极限的常用方法理解并学会将所学知识灵活应用有广泛应用值得进一步深入学习和探,,•函数连续性的概念及判定标准讨。