2025年MBA解析几何核心要点与例题深度剖析

第九章解析几何考点平面直角坐标系，直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式

一、知识点

1.直线的方程1）倾斜角范围°〈合（180,若/1|x轴或/与x轴重合时,a=0°若轴时，a=90o2）斜率k=tan a已知平面上两点《=（%,y）,乙（％2，必）=%=立——.Xj当％=工2时，a=90,左不存在，々为锐角时，左＞0;a为钝角时，左＜03）直线方程的几种形式斜截式y=kx+b不含y轴和平行于y轴的直线点斜式丁一％=后（工一%）不含y轴和平行于y轴的直线y一必二X一7两点式%—%%2一%不含坐标轴，平行于坐标轴的直线=1截距式a6不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不一样步为0几种特殊位置的直线

①x轴y=0

②y轴x=0

③平行于x轴厂b

④平行于y轴x二a原点y=kx或x=04）直线系（待定系数法的应用）

（1）共点直线系方程pO（xO,yO）为定值，k为参数y-yO二k（x-xO）尤其尸kx+b,表达过（

0、b）的直线系（不含y轴）注意运用斜率法时注意斜率不存在的情形

（2）平行直线系

①尸kx+b,k为定值，b为参数

②Ax+By+入=0表达与Ax+By+C-O平行的直线系Bx-Ay+入=0表达与Ax+By+C垂直的直线系由题，根据光的反射原理，先找P点有关直线x+y+l=（）的对称点P为（-4,-3）,那么P所在的直线方程就是反射光线所在的方程*:=与持，即％-7＞-17=0,故选C

24.★★★已知动点p（x,y）在圆（％-2『+y2=1上运动，）的最小值是（）XA、0B、C、3D、-V2E、-3答案选C,本题考察直线与圆中的最值问题由题，p在圆上运动，因此求上并不轻易，令2=%则丁=入，而k恰为直线＞=丘的斜x x率，下面就是找出直线与圆的位置关系，显然直线＞=依过原点，那么当与圆相切时，k取到最值，即方程（x—2『+（）2=1有两个相等的实数根，A=16-12x（公+1）=0,解得％=土且，即最小值左=—

①，选C.

3325.★★★已知定点A（2,3）,B（-2,7）,直线y=以+2与线段AB有公共点，那么实数A、B、D、a的取值范围是（）\\[51C-,4-00E、-oo,-----—,+

0、、3I202答案选E,本题考察直线的斜率由题，结合图形可看出，直线y=ax+2过定点p（O,2）,直线从A旋转到B的过程中通过y轴，而直线PA的斜率是,，PB的斜率是-3,因此选E.

2226.★★★圆（x—2『+（y—2『=25上到直线3%+4丁+6=0的距离等于1的点的个数有（）A、1B、2C、3D、4E、5答案选C,本题考察直线与圆的位置关系20由题，圆心到直线3x+4y+6=0的距离2=丁=4v5,且5-4=1,因此圆上到直V32+42线3x+4y+6=0的距离为1的点的个数是3个，选C

27.★★★设直线nx+n+ly=l n为正整数与坐标轴围成的三角形的面积为S〃，则□1006W

06.2012D.-------A.12012D.卫士E.以上均不对201320132012答案Co本题是一种综合性题目，波及知识有直线，三角形面积和数列的前n项和的求解由直线可得在坐标轴中的横纵轴截距分别为,，—因此n n+\o

1111.3〃=二-----------------，11120121006—1------1-------b H---------故答案为2012201322013~201321223…20122n n+12n n+\Co

28.★★若x,y满足/+-2x+4y=，则x-2y的最大值是A、10B、9C、0D、逐E、2A/5答案选A,本题考察直线与圆中的最值问题令x-2y=k,则当直线与圆相切时x-2y才获得最值，止匕时d=------=r=^5,因此1V1+22解得k=10或k=0,故x-2y的最大值是10,选A

29.★★★一束光线通过点p2,3射到直线x+y+l=0上，反射后穿过点1,1；⑴入射光线的方程为5x-4y+2=0；⑵入射光线的方程为5x+4y+2=0；答案选A,本题考察直线有关直线对称的性质由题，据光的反射原理，点1,1有关直线x+y+l=0的对称点0,可得到0—2,—2,连接P0的直线就是入射光线，即5x—4y+2=0,那么条件1充足，条件2不充足，故选A

30.★直线L与直线x—y—2=0有关直线x+y=0对称，则直线L的方程是A、x-y=1B、x+y=2C、x-y=2D、-x-y=2E、以上均不对答案选C,本题考察直线有关直线对称的性质有关直线x+y=0对称，那么只要令原方程中的x换成-y,将-y换成x即可，则―y—―%—2=0即，x-y=2选Cf

31.★通过圆x2+2x+y2=的圆心c,且与直线x+y=O垂直的直线方程是（）A、x+y+l=O B、x+y—1=0C x—y+l=0D、x—y—1=0E、以上均不对答案C,本题考察直线与直线垂直的性质由题，圆的方程是（x+l）2+V=i,因此圆心的坐标是（-1,0）,且与直线x+y=0垂直，故斜率是1,因此直线的方程是y=1X（X+1）,即x—y+l=0,选C

32.★★直线通过P（2,3），且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程.33A、x+y-5=0B、x+y-3=0C、y=~x D、x+y-5=0或丫=—xE、以上均不对答D,本题考察直线方程的性质由题设直线方程为±+2=1,又过P（2,3）,因此a b23—十—=1,求得a=5,那么直线方程为x+y-5=

0.；a b33_n3一当直线过（0,0州寸，此时斜率为k=三飞=|,因此直线方程为y=2x3综上，所求直线方程为x+y—5=0或y=选D

33.★设直线/过点A（—l,3）,且和直线3x+4y—12=0平行直线/的方程是（）A、3x+4y-9=0B、3x+4y+9=0C、3x-4y-9=0D、3x+4y-7=0E、以上均不对答案A,本题考察直线与直线平行的性质由题，由于直线3x+4y—12=0的斜率33k=——，又直线/过点A（-1,3）,因此/的方程为y—3=——（x+1），即443x+4y—9=0,选A

34.★在平面直角坐标系xOy中，已知圆G（X+3）2+（T）2=4和圆2一4）2+（）；—5）2=4的解析式，圆C1与C2的位置关系是（）A、相离B、相切C、相交D、重叠E、不能判断答案A,本题考察圆与圆的位置关系由题，圆G的是圆心是（一3,1）,半径为2；圆G的圆心是4,5,半径为2；又两圆的圆心距d=J4+32+5—12=而不小于两圆的半径之和，故两圆相离，选A

35.★★已知直线-26=0与圆/+丁=4相交于,B两点.那么ABA的长为A、1B、2C、3D、4E、6答案B,本题考察直线与圆相交的性质如图所示，解得X1=1,工2=2・•.A2,0,Bl,V3,消去y,得V—3X+2=0因此|A5|=72-l2+0-V32=

2.选B

36.★★若通过两点A—1,

0、B0,1的直线/与圆Cx—2=1相切，则a的值为A、2+72B、2-V2C、3+V2D、2+J1E、3±72答案D,本题考察直线与圆相切的性质由题意，过AB两点的直线/方程为1-02—ci化简得=2土后，选Dy=-^xx+l,即x—y+l=0,圆心到直线/的距离与半径相等，即

37.★★已知直线/x—y+4=0与圆Cx—l2+y—12=2,则C上各点到直线/的距离的最小值为A、B、2C、3D、2A/2E、以上均不对答案A,本题考察直线与圆的位置关系由题，圆心1,1到直线/的距离1=不小于圆的半径后，因此直线/与圆相离，那么圆上的点到直线/最短的距离是2V2-V2=V2,选A

38.★★直线/过点A-4,2,且直线/与x轴的交点到1,0的距离是5,那么直线/的方程是A、x-5y+6=0B、x+5y+6=0C、x+5y-6=0D、5x+y-6=0E.以上均不对答案C,本题考察直线方程的性质由题设直线/斜率为k,其方程为y-2=攵1+4,2则与x轴的交点为-4-,0k—4-------1=5[J k,解得女二一一故所求直线的方程为x+5y-6=0,选C

39.★★若有关x,y的方程2m2+加一1»2+机2-m+2y2+帆+2=的图象表达一种圆，此时m的值是A、0B、1C、2D、3E、4答案B,本题考察圆的原则方程欲使方程人/+2+/=表达一种圆，只要A二CW0,那么得2加之+m-l=m2-m+2,即加2+2机—3=0,解得或3；但当m=l时，方程为2—+2产=-3不合题意，舍去.综上，选Bo

40.★已知直线x=aa0和圆x—12+V=4相切，那么a的值是A、5B、4C、3D、2E、1答案C,本题考察直线与圆的位置关系由题知，圆心的坐标是1,0,且半径是2,而直线x=aa0和圆相切,故a=3,选C

2.两直线的位置关系LIy=klx+bl LIA1X+B1Y+C1=0LI与L2构成的方程组L2y=k2x+b2L2A2X+B2Y+C2Rkl二k2且blWb2无解平行O4_3G—=—丰-----------------4B C22重叠O kl=k2且bl=b2有无数多解工曳=J_A BC222klWk2有唯一解相交OA JiA B22垂直=kl•k2=-l A1A2+B1B2=O有唯一解A X+By+cQ72+2A B1）点到直线距离:已知点pO xO,yO,LAx+By+C=O

3.几种距离公式:\ka-b+贝）一依（）］2）点（〃）到直线的距离为Jl+k2（这是斜率法常常用到的）注若直线为丁一%二以1一%）,即乙_〉+%_仁=

0.二了2|46|二々2+M一%24）点间的距离公式3两行平线间距离L1=Ax+By+Cl=0L2Ax+By+C2=

004.圆1圆的方程一般式x+，+ax+y+°=°、、/a2b2a2+—4czx+-2+y+-2=-----------------——配方得224a byla1+b2-Ac圆心为（，，5）,半径为2原则式（x-x0）2+（y-%=/，圆心为（x°,%）,「为该圆半径2）点与圆的位置关系点在圆内（x-x（））2+（y-%）2r2点在圆上（x-xo）2+（y-%）2=/点在圆外（x-x0）2+（y-%）2产3）直线与圆的位置关系设直线到圆心的距离为d,圆的半径为r,则dr——直线与圆相离d二r——直线与圆相切（有一种交点）dr——直线与圆相交（特指有两个交点）4）圆与圆的关系设两圆圆心的距离为d,两圆的半径分别为R和r,贝U公切线dR+r-----两圆相离4d=R+r---------两圆外切3R-rdR+r——两圆相交2d二R-r-------两圆内切1dR-r------两圆内含

05.对称1）点有关点对称p（xl,yl）有关M（xO,yO）的对称尸‘（2”—X1,2y—匕）o2）点有关线L的对称设p（a、b）,线L是两点所成线段的垂直平分线3）直线有关直线对称找直线上两个点有关直线的对称点4）圆有关直线对称只需要找出圆心有关直线的对称点即为对称后的圆的圆心，半径不变

二、经典例题

1.★已知直线Ar+与+C=0,若AC0,且BC0,则此直线通过的象限是:A第二,三，四象限B第一,三，四象限C第一,二,四象限D第一，二,三象限E以上结论均不对的答案Co本题考察直线的特种C CAjc+By+C=Q^^+^=1因此可得-一0,-20,因此截距为正.可知直线-A A B过第一，二，四象限,选择CA3x+y-6=Q B3x+y+6=0C3x-y+6=02小过点2,0,垂直于直线x—3y—7=0的直线的方程是D x+3y-12=0E4x+3y+12=0答案Ao本题考察两直线垂直的性质两直线垂直斜率互为负倒数，因此垂直于直线x—3y—7=0的直线的斜率为—3,因此直线方程为y=—3x—2+0=—3x+6,选择A

3.★直线y=kx+2k+\与直线yA—6女2B—左0C—上+oo62，x+2的交点位于第一象限,则攵的取值范围是:2E以上结论均不对的y=kx+2k+1]1—2由题:由此可得1—x+2=kx+2k+1x=女y=——x+222k+-1-2左0k+-1112k-,故选择D2y=-----------丁+

2.第一象限阐明\=——1\—2k2■+2062%；答案选D本题考察直线与直线的位置关系

4.★★圆x—32+y—32=4上到直线3x+4y—11=0的距离等于1的点的个数有A1B2C3D4答案选A本题考察直线与圆的位置关系依题意圆心到直线距离为2,圆的半径为2,则有1个点即切点满足条件，即选A

5.★★方程|x—l|+|y—1|=1所示的图形是（）（A）一种点；（B）四条直线；（C）长方形；（D）正方形（E）圆答案选D分类讨论去掉绝对值符号，可以发现是个认为（1,1）中心的正方形，故选D

6.★直线x—2y+2=0有关直线x=l对称的直线方程是（）（）（）A x+2y-l=0B2x+y-l=0C2x+y-4=0（D）x+2y-4=0（E）以上结论均不对的答案选I）本题考察了直线有关直线的对称方程问题（法一运用有关点法）设所求直线上任一点（匕力，则它有关x=l对称点为（2-x»）在直线x—2y+2=0上，.・.2—x—2y+2=0化简得x+2y—4=0（法二排除法）根据直线x-2y+l=0有关直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,（

3、再根据两直线x—2丁+2=0与直线x=l交点为1,—在所求直线上，故选D.\2）

7.★★已知定点A（0,2）,点B在直线/:x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是1313（A）（―,——）（B）（——,—）（C）（1,-1）（D）（-1,1）（E）以上都不对222213答案选A本题考察点根据垂直求交点当AB与/垂直时，AB最短，从而8为（-一,一）

228.★已知两点A（7』）,B（—1,3）,则线段AB的中垂线方程是Ax-4y+7=0B4x——8=0C4x—y—10=0D2x+4^-10=0E4x+2y-ll=0答案选Co本题考察中垂线问题由已知AB中点的坐标是（3,2）,AB的斜率为-；，故中垂线的斜率是4,且过点（3,2）,则可得中垂线方程4x-y-10=0,选C

9.★两条直线3g+2y+l=0与9/nx+6y+2=0的位置关系是（）A平行B相交C重叠D位置关系和机无关E以上结论均不对的答案选Ao本题考察直线与直线的位置关系由直线方程可得到两直线的斜率相似，故平行

10.★直线3—ax+2〃-1+18=0和2a+lx+a+5y—7=0互相垂直，则〃二11111A-----B-C-D—E—82578答案选D本题考察两直线垂直的性质由题知两直线互相垂直，故斜率的乘积为1,可得出a=i

711.★★已知直线4x+3y+12=0与两坐标轴交点为则以线段A5为直径的圆的方程是A X2+J+3%-4丁=0B x2+y2+3x+4y=0C J+J+4%-3一4=0D%2+j;2-4x-3y+8=0E以上结论均不对的答案选B本题考察圆的方程4%+3y+12=0nq+号=1,因此两坐标轴交点分别为—3,0,0,-4,可得直径长度为

5.圆心为―匚―

2.因此圆为3丫n A+y2+3%+4丁=0选择BX H--92J+2=512T

13134、

134113、

113134、ABC

113134、1314^D E.25925,

12.★点-1,-2有关直线3x+4y-12=0的对称点是答案Co本题考察对称问题设对称点为%,%则为+2二4[113x+l-3%0~15°=1343^—L4AZ^_i2=0%+22~^25故选C

13.★★圆x—iy+y—2『=4和直线1+22%+1—4—3—34=0相交于两点1A----------2A=----------------52答案Do本题考察直线与圆的位置关系有两个交点，则圆心到直线的距离不不小于半l+22x+l-2^-3-32=0即径或直线上有一点在圆内由于直线x+y-3+42x-y—3=0过定点2,1而定点在圆内，因此无论/I为多少直线与圆永远相交故选D

14.★★设区域D为x—l2+y—1241,在D内x+y的最大值是A4B4亚C V2+2D6答案选Co本题考察最值问题当相切时到达最大设直线方程为x+y=k,根据相切性质，圆心到直线距离等于半径，上^=1,得攵=2+0或攵=2—血舍，选C

15.★★直线/:x+y=

2.与圆f+y=8的交点为庆，,求AB的长BA.2B.V6C.276D.4E.6答案Co本题考察垂径定理求弦长圆点到直线的距离为:AB=2,--/=2^2=27616★★★由曲线x+y=1所围成的平面图形的面积是A、1B、2C、VI D、6E、272答案B,本题考察绝对值的性质及直线方程如图所示，由曲线国+卜|=1所围成的平面图形是正方形ABCD,且四边的方程分别是y=\-xy=-1-x i\,正方形的边长一◎，y=x-1y=x+l因此得到所围面积S==2,即选B17★以直线y+x=0为对称轴且与直线y-2x=2对称的直线方程为i1A、y-—-x+1B、y—D、y=-x+2E、以上均不对的答案选B,本题考察直线有关直线对称的直线方程的求解如图所示，所求的直线过y+x=O,且与直线y-2x=2的交点为,设直线的斜率为左+1k,则由夹角相等可得，-------------1+旌一1l+-lx2212因此，所求直线的方程为y——=—x+—,323即y=x+l,故选B218★★★如图，正方形ABCD的面积为1,1AB所在的直线方程为y=%—美,2AD所在的直线方程为y=l—x答案选A,本题考察直线方程与坐标轴交点则可得AD所在的方程为y=—%++由条件1,AB所在的直线方程为丁=%-/,因此正方形ABCD的面积:f旨+首S=32+QJ即条件1是充足的；由条件2,AD所在的直线方程为y=l—X,则A1,0,D0,1因此AD=,因此S=AZ2=2即条件2不充足综上，选A

19.★★过点P3,2且与两坐标轴截距相等截距不为零的直线的方程为A.x+y=5B.x+y=-5C.x-y=5D.x-y=-5E.以上都不对答案Ao本题考察直线的方程的求解根据题意可设直线的方程为x+y=a,由于过P点,代入可得a=5,因此选A

20.★通过两条直线2x+3y+l=0和x-3y+4=0的交点，并且垂直于直线X+y—7=0的直线方程为A、9x+9y-22=0B、9x-9y-22=0C、9x-9y+22=0D、9x—lOy—22=0E、9x+10y—22=0答案选C,本题考察直根据已知条件求解直线方程「

57、由题知，直线2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交点坐标为——，一,且直线\39JX+y—7=0的斜率4=—1,从而所求直线的斜率=1,用点斜式方程得到75—§=1心+§,即9x—9+22=0,选C

21.★★已知直线过点0,2,当直线L与圆V+y2=2y有两个交点时，其斜率的取值范围是A、吟B、—2,2C、左2或左V—2D、{k\k^Q}E、以上均不对答案选D本题考察直线与圆的位置关系设直线的方程为丁=辰+2,直线与圆有两个交点，可知圆心到直线的L的距离不不小于半径，圆的原则方程是Y+y—12=1,圆心为0』，半径是1,故J1,解得左0,故选D VF+i

22.★★〃=-4⑴点A1,0有关直线％—y+l=0的对称点是A§—方2直线4:2+ax+5y=1与直线4:〃％+2+=2垂直答案Ao本题考察直线对称和垂直的问题条件1A1,0有关x-y+l=0的对称点为0-1J+1即-1,2因此a=-4充足条件2根据直线垂直的性质，a2+a+5a+2=0,解得a=-2或a=-

5.不充足，选A

23.★★★光线通过P2,3照射在x+y+l=0上，反射后通过03,—2,求反射光线所在直线方程为A、x+7^+17=0B、x-7^+17=0C、x-7y-17=0D、x+7y—17=0E、以上均不对答案选C,本题考察点有关直线对称的性质。