2025年上海初中一年级重点知识点汇总攻略

注意红色为易错点、蓝色为难点、其他为重点第九章整式知识梳理

一、代数式的有关概念1代数式的分类L单项式Y整式L多项式Y代数式11分式2整式没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式

二、同类项、合并同类项所含的字母相似并且字母的指数也分别相似的单项式叫做同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的成果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变

三、去括号与添括号1去括号法则括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不变化符号；括号前是，去掉括号和它前面的号，括号里各项都变化符号2添括号法则添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是，括到括号里的各项都变化符号

四、整式的运算1数的运算律对代数式同样合用2整式的加减整式的加减法实际上就是合并同类项，碰到括号，一般要先去掉括号，去括号的措施是的换算，几何图形的符号表达法，会根据几何语句精确、整洁地画出对应的图形；

2、理解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，理解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补鉴定两条直线平行第十四章全等三角形知识梳理

一、全等三角形概念与性质

1、全等形可以重叠的两个图形叫做全等形

（1）在数学上，两个图形可以完全重叠，或者说两个物体大小、形状完全相等，那么这两个物体全等“全等用符号“也”表达，读作“全等于”

（2）一种图形通过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等反过来，两个全等的图形通过上述变换后一定可以互相重叠

（3）两个多边形全等，互相重叠的顶点叫对应顶点，互相重叠的边叫对应边，互相重叠角的叫对应角

2、两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形两个全等三角形，通过运动后一定重叠，互相重叠的顶点叫做|对应顶点］；互相重叠的边叫做即应边|；互相重叠的角叫做闹应鬲

3、全等三角形的性质两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等推出

（1）周长相等

（2）面积相等

二、全等三角形的鉴定定理边角边公理（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边公理（AAS）两个角和其中一种角的对边对应相等的两个三角形全等边边边公理（SSS）三边对应相等的两个三角形全等注意在全等的鉴定中，没有AAA和SSA,这两种状况都不能唯一确定三角形的形状第十四章三角形知识梳理

1.三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接构成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类r直角三象形⑴按角分类:锐角三角形I钝角三角形⑵按边分类:…\底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形CVI三角形;等边三角形、不等边三角形等腰三角形的性质

①等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠，简称“等腰三角形的三线合一”.

③等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴.等腰三角形的鉴定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形一一等腰三角形的定义

②等角对等边

3.三角形的重要线段的定义⑴三角形的角平分线三角形的一种角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.⑵三角形的中线在三角形中，连结一种顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.⑶三角形的高从三角形一种顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.

4.三角形的高请你在图中画出4ABC的一条高并说说你画法图1从4ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做AABC的边BC上的高，表达为ADLBC于点D注意高与垂线不一样，高是线段，垂线是直线三角形的三条高相交于一点假如AABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？目前我们来画钝角三角形三边上的高，如图C显然，上面的结论成立请你画一种直角三角形，再画出它三边上的高上面的结论还成立

5.三角形的中线如图，我们把连结4ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表达为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.请你在图中画出4ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？三角的三条中线相交于一点假如三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答上面的结论还成立

6.三角形的角平分线如图，画NA的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做AABC的角平分线,表达为NBAD二NCAD或NBAD=NCAD=1/2NBAC或2NBAD=2NCAD=N BACo思索三角形的角平分线与角的平分线是同样的吗？三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样样的请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？三角形三个角的平分线相交于一点假如三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答上面的结论还成立想一想三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不一样？三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部

7.三角形的角与角之间的关系⑴三角形三个内角的和等于180°;⑵三角形的一种外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑶三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角.4直角三角形的两个锐角互余.

8.三角形的边与边之间的关系⑴三角形两边的和不小于第三边；⑵三角形两边的差不不小于第三边；

7.三角形的角与角之间的关系⑴三角形三个内角的和等于180°;⑵三角形的一种外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑶三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角.4直角三角形的两个锐角互余.第十五章平面直角坐标系知识梳理

1、平面直角坐标系的有关概念

2、怎样建立平面直角坐标系？

①在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴;

②取向右，向上的方向为正方向；横坐标纵坐标第一象限++（负,正）-1（正㈤第二象限+I■■to X第三冢限-11第四冢限+—《负的-1（正㈤X轴任意实数0Y轴0任总双数

③两条数轴的单位长度相似

53、、点平面P内a,的b每到一x点轴都的对距应离有为惟|b一|,到的y有轴序的实距数离对为|a|

4、各象限内点的特点

6、特殊位置的点的坐标的特性1坐标轴上的点

①点P的坐标为a,0点P在x轴上；

②点P的坐标为0,b=点P在y轴上;2各象限内的点

①点P a,b在第一象限o a0,b0；

②点P a,b在第二象限=a0,b0；

③点P a,b在第三象限=a0,b0；

④点P a,b在第四象限=a0,b0；

7、具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；1有关坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，如图4,有

①点P a,b有关x轴对称点坐标为Ra,-b；

②点P a,b有关y轴对称点坐标为P2Ja,b；

③点P a,b有关原点对称点坐标为P3-a-b02连线平行于坐标轴的两点，连线平行于x轴的两点的纵坐标相似，连线平行于y轴的两点的横坐标相似

8、在平面直角坐标系中，1将点x,y向右或左平移a个单位长度，可以得到对应点x+a,y或x-a,y；2将点x,y向上或下平移b个单位长度，可以得到对应点x,y+b或x,y-b其中，a0,b0+Q+b—c=〃+/7—c—Q+Z-c——ci—Z+c3幕的运算法则同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即anian=atn+\m.〃都是整数幕的乘方，底数不变，指数相乘即相、〃都是整数积的乘方，等于把积的每一种因式分别乘方，再把所得的幕相乘即而〃=〃？〃〃为整数同底数基相除，底数不变,指数相减即屋〃〃=优〃一〃0,〃2,〃都为整数♦4整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幕分别相乘，作为积的因式，只有一种单项式里具有的字母，则连同它的指数作为积的一种因式单项式与多项式相乘，就是根据分派律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即ma+Z+c=ma+mb+me多项式与多项式相乘，先用一种多项式的每一项乘以此外一种多项式的每一项，再把所得的积相加即m+na+/7=nia+mh+na+nh5乘法公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即〃+ba—b=4~—b2完全平方公式两数和或差的平方，等于它的平方和加上或者减去它们积的2倍,即Q±b2=a2±2ab+b2

五、因式分解把一种多项式化为几种整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式

六、因式分解的基本措施1提取公因式法假如多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，即ma+ivb+me-ma+b+c2运用公式法把乘法公式反过来对某些多项式分解因式，即a1—b1=Q+/〃一6;Q2±2ab+b2=ai b23十字相乘法入2+〃+/%+型式子的因式分解，+〃+qx+pq=d+px+qx+pq=x2+px+qx+pqHn即=xx+p+qx+p=x+px+q4分组分解法运用分组来分解因式的措施

①分组后能直接提公因式；

②分组后能直接运用公式；

七、因式分解的一般环节1多项式的各项有公因式时，先提公因式2各项没有公因式时，要看看能不能用公式法来分解3假如用上述措施不能分解因式，再看能不能运用分组分解法4分解因式，必须进行到每一种多项式都不能再分解为止

八、整式的除法单项式除以单项式，把系数、同底数幕相除，作为商的因式，对于只在被除式里具有的字母，则连同它的指数作为商的一种因式多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加第十章分式知识梳理-知识要点

1.分式的概念:AA、B表达两个整式，A+B BWO可以表达为B的形式，假如B中具有字母，那么A我们把式子8BWO叫分式，其中A叫分子，B叫分母有关分式概念的两点阐明i分式的分子中可以具有字母，也可以不含字母，但分母中必须具有字母，这是分式与整式的主线区别ii分式中的分母不能为零，是分式概念的构成部分，只有分式的分母不为零，分式才故意义，因此，若分式故意义，则分母的值不为零所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值反之，分母的值不为零时，分式故意义

2.分式的值为零J分母的值不等于零分式的值为零［分子的值等于零

3.有理式的概念［敕单项式有理式［多项式分式

4.分式的基本性质1分式的分子、分母乘同一种不等于零的整式，分式的值不变A Ax M…

八、一=-----------M0即5BxM2分式的分子、分母除以同一种不等于零的整式，分式的值不变A.A.-T-M—=----------M w0即B B+M注1分式的基本性质体现式中的M是不为零的整式2分式的基本性质中“分式的值不变”表达分式的基本性质是恒等变形

5.分式的符号法则分式的分子、分母和分式自身的符号，变化其中的任何两个，分式的值不变

6.约分把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分注约分的理论根据是分式的基本性质约分后的成果不一定是分式约分的环节1分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式2分子、分母都除以它们的公因式

7.最简分式假如一种分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式

8.分式的运算b dbd1分式乘法a cacb db cbe--------------;=——■——=2分式除法a ca dad注i分式的乘除法运算，归根究竟是乘法运算ii分式的乘法运算，可以先约分，再相乘iii分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘公Y_竺3乘方a，J n为正整数4通分在不变化分式的值的状况下，把几种异分母的分式化为同分母分式的变形叫通分注分式通分的根据是分式的基本性质最简公分母几种分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母因式的最高次累的积叫这几种分式的最简公分母5分式的加减法同分母m mma,b an,bm an±bm——土—=—±—=------------异分母m nmn mnmn6混合运算做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最终再加减，有括号先算括号内的

9.分式方程分母里具有未知数的方程叫分式方程注分母中与否具有未知数是分式方程与整式方程的主线区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程

10.列分式方程的一般环节1方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程2列整式方程，求得整式方程的根3验根把求得的整式方程的根代入A,使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根4确定原分式方程解的状况，即有解或无解

11.增根的概念在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，也许会增长使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根注增根不是解题错误导致的

12.列方程解应用题环节审、设、歹U、解、验、答

13、整数的负指数累及其运算零指数和负整数指数规定=1,a~p=—a w0,〃为正整数ap第十一章图形的平移与旋转知识梳理图形的平移

1.1平移的概念在平面内，将一种图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不变化图形的形状和大小.注意:

①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换.

②图形的平移有两个要素一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的根据.

③图形的平移是指图形整体的平移，通过平移后的图形，与原图形相比，只变化了位置，而不变化图形的大小，这个特性是得出图形平移的基本性质的根据.2平移的基本性质由平移的基本概念知，通过平移，图形上的每一种点都沿同一种方向移动相似的距离，平移不变化图形的形状和大小，因此平移具有下列性质通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.注意

①要对的找出“对应线段，对应角”，从而对的体现基本性质的特性.

②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的根据.3简朴的平移作图平移作图确定一种图形平移后的位置所需条件为

①图形本来的位置；

②平移的方向；

③平移的距离.图形的旋转

2.1旋转的概念图形绕着某一点固定转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心理解旋转这一概念应注意如下两点

①旋转和平移同样是图形的一种基本变换；

②图形旋转的决定原因是旋转中心和旋转的角度.2旋转的基本性质图形中每一种点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化.3简朴图形的旋转作图两种状况

①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一种特殊点旋转后的对应点.作图环节

①作出图形的几种要点旋转后的对应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形.

（4）图案设计图案的设计是由基本图形通过合适的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的其中中心对称是旋转变换的一种特例旋转对称图形把一种图形绕着一种定点旋转一种角度后，与初始图形重叠，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角0°＜＜360°）.中心对称图形假如把一种图形绕着一种定点旋转180°后，与初始图形重叠，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.图形的翻折

3.图形的翻折

1、轴对称图形把一种图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分可以互相重叠，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴

2、假如把一种图形沿某一条直线翻折，能与另一种图形重叠，那么叫做这两个图形有关这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做有关这条直线的对应点第十二章实数知识梳理

1.为何学平方根、立方根

2.算术平方根的概念

3.算术平方根具有非负性

4.平方根的概念

5.平方根的特性

6.开平方

7.立方根概念

8.立方根的特性

9.开立方

10.实数的意义

11.实数的分类

12.实数范围内求相反数、倒数、绝对值:

13.实数与数轴上的点是一一对应的

14.分数指数累知识归纳一.实数的概念

1.数的分类及概念数系表正整数o负整整数「有理数V数正分（有限或无限循环性数）数负分数比理数（无限不循环小数）阐明“分类”的原则1相称不重、不漏2有原则但理数「正数」

2.非负数正实数与零的统称表为x20I无理数常见的非负数有实数Y0整数「有理舫分数为一切实数质若干个非负数的和为0,则每个非负数均为

03.数轴

①定义“三要素”

②作用A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系二,实数的运算⑴加法同号两数相加，取本来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数2减法a-b=a+-b3乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即|a|•|力|凡6同号=v-1a|・||〃,万异号或为零4除法0=〃・工30b b5乘方an=act…aV-----------V------------〃个⑹开方假如*2=@且乂20,那么右=x；假如x$,那么g=x在同一种式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最终加、减.有括号时，先算括号里面.

3.实数的运算律1加法互换律a+b――b+a2加法结合律a+b+c=a+b+c3乘法互换律ab=ba.4乘法结合律ab c二a be

（5）分派律a（b+c）=ab+ac其中a、b、c表达任意实数.运用运算律有时可使运算简便.第十三章相交线与平行线知识梳理、相交直线只有一种交点1邻补角对顶角斜交——角平分线垂直-------垂直的基本性质——点到直线的距离——线段的垂直平分线两条直线被第三条直线所截——同位角——内错角-------同旁内角

2、平行直线没有交点平行线的性质定理平行线的鉴定定理

①平行线在同一平面内，的两条直线叫做平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种o相交时，对顶角相等

③平行线的鉴定

（1）同位角，两直线平行

（2）内错角相等，两直线o

（3）同旁内角,两直线平行

（4）平行（或垂直）于同一直线的两直线o

④平行线的性质

（1）通过直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行

（2）两直线平行，同位角o

（3）两直线平行，内错角o

（4）两直线平行，同旁内角.

（5）一条直线和两条平行线中的一条垂直（或平行），这条直线也和_____________垂直（或平行）.

（6）平行线间的距离到处o

（7）通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分o考点透视

1、理解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一种交点，理解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒。