2025年成考专升本高数二核心考点深度解析与技巧攻略

高等数学

（二）重点知识及解析、函数、极限I

一、基本初等函数（又称简朴函数）

（1）常值函数y=c

（2）基函数y=x

（3）指数函数y=ax（〉0,且awl）

（4）对数函数y=logaX（〉0,且owl）

（5）三角函数y=sinx y=cosx,y=tanx,y=cotx9

（6）反三角函数=arcsin%,y=arccosx,y=arctan x,y=arc cotx

二、复合函数耍会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的例如y=lncosx是由y=ln〃，u=cos九这两个个简朴函数复合而成.例如y=arctan是由y=arctan u,u=ev和u=3x这三个简朴函数复合而成.该部分是背面求导的关键！

三、极限的计算

1、运用函数持续性求极限（代入法）对于一般的极限式（即非未定式），只要将七代入到函数体现式中，函数值即是极限值，即lim/（x）=.f（x（））注意

（1）常数极限等于他自身，与自变量的变化趋势无关，即limC=C

（2）该措施的使用前提是当x f%的时候，而x f8时则不能用此措施例L lim4=4,lim-3=-3,Iimlg2=lg2,limTI-TI.x—-oc xf-lx—c©—一nx6------

1.x2+3x—10~+3・0—1[7-^tan^tan2-llim==tanl（非特殊角的三角函数值不用计算出来）x—12—1例2lim------------=----------------二-

12、未定式极限的运算法

（1）对于/未定式分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将工代入后函数值即是极限值-------x-9例L计算lim—-13X-

4.反换元）〃再用Inx反换元例3|求不定积分［小+2公11r解原式二一J/K2d（3x+2）……（

1.凑微分）将公凑成一d（3x+2）1,\elldu......（

2.换元）将3x+2换元成3J=-e^+C……（

3.直接积分法）求出〃的不定积分3=-e3x+2+C……（

4.反换元）〃再用3x+2反换元3注意:凑微分时耍注意凑完微分后前后变量要统一!假如能纯熟掌握换元过程,此时就可以•••,4・

3.,.sin x_sin xdsin x=例43------------------------+C将dr凑成一d3%+2sin\xcos4______________1______________13例5「，1+12a=3］，1+12或］+工2=§1+工2尸+

03、分部积分法

三、定积分

（一）、定积分的定义由曲边梯形的面积引出定义公式rbA=I f（x）dx（A为曲边梯形的面积）其中/（X）为被积函数，［凡可为积分区间，为积分下限，b为积分上限用定积分所要注意的事项

1、由于定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一种常数，因此对定积分求导,••••••・•导数值必为零例|一£arctan xdx=0,（sin tdt^=0rbf{x}dx=0i

2、当a二b时,a*b”因定积分上限ba,当ba时，\fxdx=-\fxcbcJ aJbi sinxr-3f2例:J fxdx=-j^fxdx211+COS X（二”定积分的计算

1、变上限积分的计算1定义积分上限X为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限了的函数,记作2变上限积分的导数⑺力=/%将X代入到了⑺即可0x=J例1I设于x=£sin tdt，则f x=sinx.2I—+/卜/=13+x办:J尸

2、牛顿―莱布尼茨公式1公式假如厂x是持续函数/x在［,目上的一种原函数，则有［fxdx=Fx=Fb—FaJ a a2由公式可知持续函数/x在［a.h］上定积分，就是fx的一种原函数Fx在［a.h］上的增量上限值减下限值而持续函数/幻的不定积分，就是/x的全体原函数原函数背面加常数Co可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的例1|求定积分解原式二X223I37上二------------------------ZZ----------31333TC例2求定积分J cos2xsinxdx将sin xdx凑成-dcos x7T cos3x71解原式二一J02cos之xd20-3cos xelnx7例3|求定积分J；------ax将凑成dlnx xIn2x ln2e ln2l101原式二j Inxdlnx解:~2~22222注意:用凑微分法计算定积分时,在换元时,由于引入了新的变量,故原变量的积分限要更••••换成新变量的积分限;如不想更换积分限,可省略换元环节

3、分部积分法附表几种特殊角的三角函数值、角度7171T707兀兀n2万71一万-716V2旦sinx02100—1022B旦COSX1220—110—12旦百tanx01不存在00不存在0373cotx不存在610不存在不存在0不存在3切.-；IX1-X—3Q+3「/,角牛原式二lim------------=hmx+3=6x-^3x—

3、运用等价无穷小的代换求极限1定义设和〃是同一变化过程中的两个无穷小，假如lim2=l,称△与是等价a2定理设

二、°、B、,均为无穷小，又a〜a、〜B,且lim包存在a则lim2=lim邑或lim3-lima•/3aa3常用的等价无穷小代换当x-0时，sinx~x,tanx~x例L当x-0时，sin2x~2x,tan-3x~-3x[7――![7〃口「sin2x「2x22vsin2x用2x等价代换例2极限hm-------=hm——=hm—=一i5x15x55例3|极限lim二lim盘=lim3=3tan3x用3x等价代换an3x-0%x-0%x-°、一元函数的微分学II

一、导数的表达符号

（1）函数/（X）在点与处的导数记作:或包dx,尸（工），y

二、求导公式（必须熟记）

（1）©=o（c为常数）24In x=—x5sin x=cosx6cos x=-sinxarcsin x=1]78arctan x=71-x21+x2\_2例:

1、X3=3x

22、

3、sin—=06J

4、71=

05、

6、

（2）函数/（%）在区间（a,b）内的导数记作:

三、导数的四则运算运算公式（设U,V是有关X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）12/U，uv-uv3v=uv+uv尤其地C〃=C〃C为常数例L已知函数=/+3cosx-2,求y.角军＞=工4+3cosx-2=4x3-3sinx-0=4x3-3sinx例2_已知函数/%=x2In%,求f\x和f\e.解/x=x2lnx+x2ln%=2x-lnx+x2•—=2x-lnx+%JC因此f e-2e-\ne+e=2e+e=3e注意lne=l,lnl=O----x例3已知函数/x=——求尸九.1+工2—工・2工]―/解1+X22―1+X221+x

四、复合函数的求导

1、方法一而5|求复合函数y=sinx2的导数.1首先判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的.=sin%2由y=sin〃和〃=/这两个简朴函数复合而成2用号数公式求出每个简朴函数的导数.rm dyduE|J——=cos u,——=2x du dx3每个简朴函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.dy dydu^t・•———•——2x cosu-2x cos x dxdudx

2、方法二直接求导法复合函数的导数等于构成该复合函数的简朴函数导数的乘积假如对导数公式熟悉，对复合函数的过程清晰，可以不必写出中间变量而直接对复合函数丛处隹里求导.例L|设函数=cos-3x,求y.解y=-3=-sin-3x•-3x=-sin-3x•-3=3sin-3xCQX X例2|设函数y=求y.解y==*x•inx‘=注意:一种复合函数求几次导,取决于它由几种简朴函数复合而成

五、高阶导数

21、二阶导数记作y,/x或我们把二阶和二阶以上的导数称为质阶.导数・.

2、求法1二阶导数就是对一阶导数再求一次导2三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1|已知y=5sinx,求y.解:y=5cosx,/.y=-5sinx例2|已知y=求y”=4x=解:•••y，=—.2%=2/x,•••y”=2・*.2x=4*

六、微分的求法:1求出函数y=/x的导数1x.2再乘以公即可.^dy=f\xdx.例1已知y=Inx,求力.解y=in/二白任二JC277C.ay--dxx例设函数y=/・cosx,求dy.由星*/y=工4cosx+x cosx=4x3cosx-x sinx/.dy-4/cos x-x4sin x dx川、二元函数的微分学

一、多元函数的定义由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数其自••••变量的变化范围称为定义域，一般记作•••例如二元函数一般记作2=/（x,y）,（羽

二、二元函数的偏导数

1、偏导数的表达措施

（1）设二元函数z=/（x,y）,则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为:“g），Zdz dz九（不，为），、z/在（与加X（工dy0，）’0）

（2）设二元函数z=/（x,y）,则函数z在点处对x和对y的偏导数记为:

2、偏导数的求法

（1）对x求偏导时，只要将y当作是常量，将“当作是变量，直接对x求导即可.（而，如）

（2）对y求偏导时，只要将x当作是常量，将y当作是变量，直接对y求导即可.假如规定函数在点处的偏导数，只规定出上述偏导函数后将与和为代入即可.____dz例L已知函数Z=%3y-2y2X,求一和一.dx dy解-=3x2y-2y2,-=x3-4xy dx dy____dz例2已知函数z=%2sin2y,求一和一.dx dydz石・c3z八八解一二f2xsin2y,—二D2厂cos2ydx dy

三、全微分dz1＞全微分公式函数Z=/（x,y）在点（x,y）处全微分公式为dz=—dx+—dy oxoyA

72、全微分求法

（1）、先求出两个一阶偏导数一和一.

（2）、然后裔入上述公式即可.dxdy例1:设函数2=$皿%・丁）+3工2+）一1,求dz.3z dz解:一二ycosx・y+6x,—=xcosx-y+l dxdy0z3z:・dz=一dx+一dy=[ycosx・y+6x1dx+[xcosx-y+1]dy dxdy例2设函数z=/x+1求心.解噎=2g C7・•.dz=—dx+—dy=le2x+ydx+e2x+ydydx dySdz d2z_”1两次都对X求偏导dz d2z_””2先对x求偏导，再对y求偏导dz d2z__/”

3.......先对y求偏导，再对x求偏导dd24两次都对y求偏导Sy dydy

四、二阶偏导的表达措施和求法:可见二元函数的二阶偏导苏玛竹，它们都是的函数在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1|设函数2=%32一3孙3一+1,求d Z,和S Z-------1dx2dxdy dydxdy2d2z d2z22d2z2n-6x2y-9y2-1,=-ISxyF昕-9ydydx dy解9—=3x2y2-3y3-y,-=2x3y-9xy2-xdxdy-------d2z d2z例2设函数z=ycosx,求一7,drdxdy左刀・・Sz.,日寸z d2z.M・一二一ysinx dx二一ycosx,--------二一得获sin%dxdy、一元函数的积分学IV

一、原函数的定义设方（X）是区间I上的一种可导函数，对于区间I上的任意一点X,均有/（©=/（©,则称尸（元）是/（%）在区间I上的一种原函数.例1|（sinx）=cosx,因此sinx是cosx的一种原函数，cosx是sinx的导数.由于（sinx+c）=cosx,可见只要函数有一种原函数，那么他的原函数就有无穷多种.例2|设/（x）的一种原函数为求f（x）.X111\1解由于一是/（X）的一种原函数，即尸（X）二一，因此/（X）二/（X）二-二一一.7yX JXX X,1^21得f x=--=--注:——x x\XX X

二、不定积分

（一）、定义我们把了（X）的所自愿函数称为/（X）在区间I上的不定积分，记作:J f（x）dx=F（x）+C（其中尸（X）=/（X））注意不定积分是原函数的的全体，因此计算成果常数C勿忘！

（二）、不定积分的性质J kfxcbc=攵J于xdx（其中人为常数）〈1〉j[fM±g（x）]tZx=Jf{x）dx±jg（x）dx⑴^Odx=C〈2〉^kdx=kx+C k为常数⑶\xadx=——+C二-1〈4〉—dx=\n x+C xJa+1⑸J e xdx—ex+C6cosxdx=sinx+C〈7〉jsin xdx--cos x+C8_/=arcsin x+CJi-x2

（三）、基本积分公式（和导数公式同样,必须熟记）r ax-9--------=arctan x+CJ1+x2J2sin xdx=-2cosx+C例1j-3dx=-3x+C4r rC^dx=—+C--dx=-------1-厂x3例2tan2xcl tan x={u2du=~+C=X+C（运用换元法，设tanx=〃）J33又如J cos~xxd cos龙=In cosx+Cj Vinxd In—in+C

（四）、不定积分的计算

1、直接积分法对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的措施j x2+1%=22=+x2dx+^dx=例1+X例2|k1-2sinx+—=J ltZx-2jsinAzZx+3j—x+2cosx+31nx+C

2、凑微分法

（1）合用前提假如被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（一般为较为简朴的复合函数）的状况，此时可以考虑用凑微分法〈1〉凑微分2）换元〈3〉直接积分法〈4〉反换元例1（

1.凑微分）将xdx凑成d」/2cos udu（

2.换元）将一换元成〃「

1.=—sinw+C（

3.直接积分法）求出〃的不定积分2=—sinx2+C2（

4.反换元）〃再用/反换元2例2求不定积分J比上拄解:原式二J In2MIn%（

1.凑微分）将凑成dlnxx

（2）凑微分法解法环节（

2.换元）将In%换元成4—+c3（

3.直接积分法）求出M的不定积分。