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文本内容:
选修不等式选讲教学札记4-5
一、课程目的解读选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括不等式的基本性质、具有绝对值的不等式、不等式的证明、几种著名的不等式、运用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生理解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题处理问题的能力
二、教材内容分析作为一种选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的展现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,构造如卜图所不第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回忆了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本措施回忆了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同步推广到n个正数的情形，但教学中只规定理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数措施给出证明通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解具有绝对值不等式的一般思想和措施，而不是系统研究第二讲是“证明不等式的基本措施”，教材通过某些简朴问题，回忆简介了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法其中，用反证法利放缩法证明不等式是新的课程原则才引入到中学数学教学中的内容这些措施大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几种简朴途径和措施，例如舍掉或加进某些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）本讲内容也是本专题的一种基础内容第三讲是“柯西不等式和排序不等式”这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材重要简介柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点实际上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简朴应用，两者同样重要，在某些问题中，异曲同工例如书本P41页，习题
3.2第四题排序不等式只作理解，提议在老师指导下由学生阅读自学，理解教材中展示的“探究一一猜测一一证明一一应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识第四讲是“数学归纳法证明不等式”.数学归纳法在选修2-2中也学过，提议放在第二讲，结合放缩法的教学，深入理解“归纳递推”的证明同步理解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用
三、教学目的规定
1.不等式的基本性质掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简朴的不等式变形
2.具有绝对值的不等式理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式
3.不等式的证明通过某些简朴问题理解证明不等式的基本措施比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等号成立.思索怎样运用数轴给出推论2的几何解释？设A,B,C为数轴上的3个点，分别表达数a,b,c,则线段ABK AC+CR当且仅当C在A,B之间时，等号成立这就是上面的例3尤其的，取c=0即C为原点，就得到例2的后半部分
三、经典例题c c例
1、已知x-a—,y-b—,求证|x+y-2+Z|c.证明x+y—a+6=x—a+y-/|x—a+|j-Z|1c一x—Cl2,c cx-a+y-b—+—=c222例
2、已知＜|2x-3Jao由1,2得|x+y-6/+Z|ca证明,忆，由例1及上式，|2x—3y|〈|2x|+|3y注意在推理比较简朴时，我们常常将几种不等式连在一起写但这种写法，只能用于不等号方向相似的不等式例3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间来回一次,要使两个施工队每天来回的旅程之和最小,生活区应当建于何处？解假如生活区建于公路路碑的第x km处，两施工队每天来回的旅程之和为Sxkm那么Sx=2|x-10|10x20+|x-20|
四、课堂练习L书本Bo习题
1.2第1题求证11a+8+〃一b22Q；2a+b-a-b W2b
2.书本％习题
1.2第3题求证1x-a+x-b2a-b；2x-a—x—b W a-b
3.
1、已知A—ci—,B—b—.求证|A—B—6/—Z|co
2、已知x-a—,4y-t\求证:\2x-3y-2a+3k\c o
五、课堂小结
1.实数〃的绝对值的意义:a a0a=0;定义-a a
0.⑵Q的几何意义
2.定理（绝对值三角形不等式）假如a,b是实数，则|同一同W|a土耳W同+㈤注意取等的条件
六、课后作业书本叫第2,4,5题七.教学后记课题第05课时绝对值不等式的解法教学目的1理解并掌握和〃型不等式的解法2充足运用观测、类比、猜测、分析证明的数学思维措施，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明教学重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用教学难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件教学过程
一、复习引入在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的某些基本知识有了一定的理解请同学们回忆一下绝对值的意义在数轴上，一种点到原点的距离称为这个点所示的数的绝对值即如果x,x0如果x|=0,x=0o一如果x,x0在此基础上，本节讨论具有绝对值的不等式
二、新课学习有关具有绝对值的不等式的问题，重要包括两类一类是解不等式，另一类是证明不等式下面分别就这两类问题展开探讨
1、解在绝对值符号内具有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成一般的不等式重要的根据是绝对值的几何意义.
2、具有绝对值的不等式有两种基本的类型第一种类型设a为正数根据绝对值的意义，不等式的解集是[x\-axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离不不小于a的点的集合是开区间（一a,a）,如图所示-a图1-1a假如给定的不等式符合上述形式，就可以直接运用它的成果来解第二种类型设a为正数根据绝对值的意义，不等式〃的解集是或x-〃},它的几何意义就是数轴上到原点的距离不小于a的点的集合是两个开区间（—00,—〃）,（〃,oo）的并集如图1-2所不-a a图1-2同样，假如给定的不等式符合这种类型，就可以直接运用它的成果来解3\ax+b c^\ax+b2c型不等式的解法\ax+b c=-cax+bc|以+母c^ax+b-c^ax+bc
4、x—a+《c和x—a+x—Z2c型不等式的解法（三种思绪）
三、经典例题例
1、解不等式|3x—1|%+2例
2、解不等式|3x—1|2—X措施1分类讨论措施2依题意，原不等式等价于3%一12-x或3工一1工一2,然后去解例
3、解不等式|2x+l|+|3x—2|25例
4、解不等式|x—2|+|x—1|5解本题可以按照例3的措施解，但更简朴的解法是运用几何意义原不等式即数轴上的点x到1,2的距离的和不小于等于5由于1,2的距离为1,因此x在2的右边，与2的距离不小于等于2=5-1+2；或者x在1的左边，与1的距离不小于等于2这例
5、不等式x-l+x+3a,对一切实数x都成立,求实数的取值范围
1、2|2x-1|L
2、41-3壮
10、、4x+12-x.5-2x-4Vl7IR+x-2|
48、x—l+x+
326.
10、忖_卜-
42.
四、课堂练习解下列不等式:
五、课后作业书本20第
6、
7、
8、9题
六、教学后记第二讲证明不等式的基本措施课题第01课时不等式的证明措施之一比较法教学目的能纯熟地运用作差、作商比较法证明不等式教学重、难点能纯熟地运用作差、作商比较法证明不等式教学过程
一、新课学习要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即运用不等式的性质:abo a-b0a=b oa—b=6ab=a—b0
二、经典例题例
1、设〃力都是正数，且〃人，求证6Z3+Z3a2b+ab20例
2、若实数xwl,求证31+X2+%41+X+X
22.证明采用差值比较法教学札记31+X2+X4-1+X+X22=3+3/+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2,-X37+1=2X-12X2+x+l1399=2X-12[%+-2+-].2413X WL从而X—12〉0,且X H--厂H-0,241399•・•2X-12[X+-2+-]0924・・・31+X2+X41+X+X
22.讨论若题设中去掉xwl这一限制条件，规定证的结论怎样变换？例
3、已知求证/反2〃
5、本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种措施进行证明1差值比较法注意到要证的不等式有关对称，不妨设々之〃
0.V6Z-Z,从而原不等式得证0:.aabb-cibba abbbaa-b-ba-bQ2商值比较法设〃2匕0,/.%=铲b
1.故原不等式得证例
4、甲、乙两人同步同地沿同一路线走到同一地点甲有二分之一时间以速度机行走，另二分之一时间以速度〃行走；乙有二分之一旅程以速度加行走，另二分之一旅程以速度〃行走假如根问甲、乙两人谁先抵达指定地点分析设从出发地点至指定地点的旅程是S,甲、乙两人走完这段旅程所用的时间分别为乙,%2要回答题目中的问题，只要比较乙的大小就可以了解设从出发地点至指定地点的旅程是S,甲、乙两人走完这段旅程所用的时间分别为小右，根据题意有Lm+L〃=S,—+—=z,可得％=31,t222m Inm+n Sm+n22mn2S Sm+7S[4/w:-{m+n2]Sm-n2从而—12m+n2mn2m+rinm2m+其中都是正数，且加W于是乙一，20，即乙12从而知甲比乙首先抵达指定地点讨论假如根=〃，甲、乙两人谁先抵达指定地点？
三、课堂练习
1.比较下面各题中两个代数式值的大小1/与%2-X+1；2%2+X+1与X+1尸.
2.已知求证1a222-1;2—^-
1.1+a2a+b+c
3.若aN/Nc0,求证
3.
四、课时小结比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的措施用比较法证明不等式的环节是作差或作商、变形、判断符号“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用措施
五、课后作业书本23页第
1、
2、
3、4题
六、教学后记课题第02课时不等式的证明措施之二综合法与分析法教学目的
1、结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本措施分析法和综合法
2、理解分析法和综合法的思索过程教学重点会用综合法证明问题；理解综合法的思索过程教学难点根据问题的特点，结合综合法的思索过程、特点，选择合适的证明措施教学过程
一、引入综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明措施，也是不等式证明中的基本措施由于两者在证明思绪上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思绪措施的特点所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐渐推导出要证的不等式而分析法，则是由成果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”打一种比方张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐渐寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地,这是“分析法”
二、经典例题例
1、已知a,c0,且不全相等求证+c2_|_+a2+c〃2+6abe分析用综合法例
2、设求证3+人32证法一分析法要证a3+b3a2b+ab2成立.只需证+b〃2-ab+b2aba+b成立，又因a+b0,只需证-ab+b2ab成立，又需证4-2ab+b10成立，即需证5-〃220成立.而〃-切2〉显然成立.由此命题得证证法二综合法a—b NOni-2ah+h2a2-ah+b2ab注意到a0,b0,即a+b0,由上式即得q+/〃-ab+b2aba+b,从而a3+b3a2b+ab2成立议一议根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的重要特点吗？H+m a例
3、已知a,b,m都是正数，并且求证-----------------.1b+m b证法一要证1,只需证84+m+〃22要证2,只需证〃相〃力23要证3,只需证匕4已知4成立，因此1成立上面的证明用的是分析法下面的证法二采用综合法证法二由于m是正数，因此物2々相两边同步加上得ba+/n♦〃+根两边同步除以正数人人+%2得1例
4、证明通过水管放水，当流速相似时，假如水管横截面的周长相等，那么横截面教学札记是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大分析当水的流速相似时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小设截面的周长为；周长为L的正方形为内，截面积为4L,则周长为L的圆的半径为三，截面积为〃riV2O因此本题只需证明2证明设截面的周长为L,则截面是圆的水管的截面面积为万,截面是正方形的2兀⑷2水管的截面面积为人O只需证明/UJ为了证明上式成立，只需证明--—o41612411两边同乘以正数F，得一〉一因此，只需证明4»上式显然成立，因此不2兀1}714这就证明了通过水管放水，当流速相似时，假如水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大例
5、证明tz2+/2+c2ab+bc+cao证法一由于a2+b22ab2b2+c22bc3c2+6Z22ca4因此三式相加得2/+b2+c22ab+be+cd5两边同步除以2即得Do证法二er+b2+c2—ab+be+cci——a—Z2H—b—c2-\—c—a220,因此1成立例
6、证明a2+/c2+d2NQc+/7d了.1证明1a2+b2c2+d2-ac+bd202=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-a2c2+2abcd+b2d203o b2c2+a1cl2-labed04=be-ad2055显然成立因此1成立例
7、已知也都是正数，求证3+〃+c323abe并指出等号在什么时候成立？分析本题可以考虑运用因式分解公式/+/73+/—3abe—a+/+c6z^+—ab—be—ccT着手证明a3+/+一3abe=a+b+ca2+b2+c2-ab-be-cdT»+C[j2+j2+…2].由于〃，仇都是正数，因止匕a+〃+c
0.而一匕2+b—c2+C—Q20,可知3+_3abe0即a3+Z3+c33abc等号在a—b—c时成立探究假如将不等式储+〃3+323aA中的313了3分别用兄,来替代，并在两边/同除以3,会得到怎样的不等式？并运用得到的成果证明不等式l+a+〃l+〃+cl+c+a27,其中也c是互不相等的正数，且Hc=L
三、课堂小结解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同步加上或减去一种数或代数式，移项，在不等式的两边同步乘以或除以一种正数或一种正的代数式，得到的不等式都和本来的不等式等价这些措施，也是运用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧
四、课堂练习
1、已知x〉0,求证x+—
2.xa+Z7+c+d/一~~/、a+b+c+d AI~i r1-------------------y/ab+ylcd;2-------------------Mabed.
246、已知a,b,c都是互不相等的正数，a+b+cab+be+cd9abc.
五、课后作业书本25页第
1、
2、
3、4题
六、教学后记课题第03课时不等式的证明措施之三反证法教学目的通过实例，体会反证法的含义、过程与措施，理解反证法的基本环节，会用反证法证明简朴的命题教学重点体会反证法证明命题的思绪措施，会用反证法证明简朴的命题教学难点会用反证法证明简朴的命题教学过程
一、引入前面所讲的几种措施，属于不等式的直接证法也就是说，直接从题设出发，通过一系列的逻辑推理，证明不等式成立但对于某些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的措施所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地到达目的其中，反证法是间接证明的一种基本措施反证法在于表明若肯定命题的条件而否认其结论，就会导致矛盾详细地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p,并否认命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定本来的结论是对的的运用反证法证明不等式，一般有下面几种环节第一步分清欲证不等式所波及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理措施，推出矛盾成果；第四步断定产生矛盾成果的原因，在于开始所作的假定不对的，于是原证不等式成立
二、经典例题例
1、已知QZ0,求证板扬几且〃1例
1、设［3+/=2,求证Q+5K
2.证明假设Q+Z2,则有2—b,从而a38-120+6/—/,a3+b36/72-12Z+8=6Z-l2+
2.
4.几种著名的不等式1认识柯西不等式的几种不一样形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简朴的证明与求最值2理解掌握两个或三个正数的算术一几何平均不等式并应用3理解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式
5.运用不等式求最大小值会用两个或三个正数的算术一儿何平均不等式、柯西不等式求某些特定函数的最值
6.数学归纳法与不等式理解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简朴的不等式会用数学归纳法证明贝努利不等式
四、教学重点难点
1、本专题的教学重点不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；
2、本专题的教学难点三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法;用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等
五、教学总体提议
1、回忆并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有第
一、初中课标规定的不等式与不等式组1根据详细问题中的大小关系理解不等式的意义，并探索不等式的基本性质2解简朴的一元一次不等式，并能在数轴上表达出解集解由两个一元一次不等式构成的不等式组，并会用数轴确定解集3根据详细问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，处理简朴的问题第
二、高中必修5不等式内容1不等关系通过详细情境，感受在现实世界和平常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式组的实际背景2一元二次不等式3二元一次不等式组与简朴线性规划问题4基本不等式及其应用求最值第
三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容回忆并重视学生在学习本课程时已掌握的有关知识，可合适指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，到达复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系
2、控制难度不拓展在解绝对值不等式的教学中，要控制难度含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的有关未知数的函数重要限于一次函数解具有绝对值的不等式的最基本和有效的措施是分区间来加以讨论，把具有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；不等式证明的教学，重要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其他措施如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只规定理解代数恒等变换以及放缩法常常使用某些技巧这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要竭力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对某些技巧不做更多的规定，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中由于63—12+222,因此3+川2,这与题设条件/+3=2矛盾，因止匕原不等式〃+人2成立例
2、设二次函数/%=，+庶+外求证|/⑴|,|/2川/3|中至少有一种不不不小于2证明假设⑴|,，2|,|/3|都不不小于;，则/1|+2|/2|+|/3|
2.⑴另首先，由绝对值不等式的性质，有/1|+2|/2|+1/3||/1-2/2+/3|2=|1+p+q-24+2p+q+9+3p+q\=
21、2两式的成果矛盾，因此假设不成立，本来的结论对的注意诸如本例中的问题，当要证明几种代数式中，至少有一种满足某个不等式时，一般采用反证法进行议一议一般来说，运用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾成果，一般是指所推出的成果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等多种状况试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、措施有什么特点？例
3、设0a,b,c v1,求证1-ah,1-hc,1-c〃,不也许同步不小于—4证设1—db—,1—bc—,1—ca一,444则三式相乘ab\-6ZZ*1一Zcel-ca—
①641-d+a又•・•1A0l-aa24同理1—〃hV,，l-cc-44以上三式相乘1-6l6Z*l-//•1-CC^—与
①矛盾.••原式成立64例
4、已知Q+/+0,ab+be+ca0,abc0,求证a,b,c0证设0,Vabc0,/.be0又由Q+8+C0,则Z+C=—Q〉0ab+be+ca=ab+c4-/c0与题设矛盾又若Q=0,则与c、〉0矛盾,・二必有0同理可证b0,c0
三、课堂练习/7+m n
1、运用反证法证明若已知a,b,m都是正数，并且人，则-------------------------.b+m b
2、设Ov,b，c2,求证2-ac,2-2-cb,不也许同步不小于
13、若x,y0,且x+y2,则巴上和上匕中至少有一种不不小于2x y提醒反设上二2Vx,y0,可得x+y W2与x+y2矛盾%y
四、课时小结运用反证法证明不等式，一般有下面几种环节第一步分清欲证不等式所波及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理措施，推出矛盾成果；第四步断定产生矛盾成果的原因，在于开始所作的假定不对的，于是原证不等式成立
五、课后作业书本29页第
1、4题
六、教学后记课题第04课时不等式的证明措施之四放缩法教学目的教学札记
1.感受在什么状况下，需要用放缩法证明不等式
2.探索用放缩法证明不等式的理论根据和技巧教学重、难点
1.掌握证明不等式的两种放缩技巧2,体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”教学过程
一、引入所谓放缩法，即是把要证的不等式一边合适地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的措施这种措施是证明不等式中的常用措施，尤其在此后学习高等数课时用处更为广泛下面我们通过某些简朴例证体会这种措施的基本思想
二、经典例题例
1、若〃是自然数，求证4+二+[+・・・+二
2.I122232M111,c-证明:-----------=-------------=2,3,4,・•・,〃・k2ZZ—1^-l kii1H---7H-7+,••+—2232〃一1111—I----------1--------F•••H---------------11-22-3〃一l•九111/II、11z二一+（---）+（---）+・・・+（-------11223n-1n=2--
2.n注意实际上，我们在证明!+±+1+…+!2的过程中，已经得到一种更强I22232/的结论4+4+4+---+42--,这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想I22232n2n例
2、求证1+』+」一+—--+・・・+------------------------------------
3.教学札记11x21x2x3Ix2x3x・・・x〃证明:由----------------------------------------------——（Z是不小于2的自然数）1X2X3X---XA:1-2-
23.7H----7+・・・+——-72-12232b例
3、若a,b,c,dcR+,求证:-------------------1-----------------F-----------------1---------------a+b+cl b+c+a c+d+b d+a+cc d证一记机-+----------------+----------------b,c,deKa+b+d b+c+a c+d+b d+a+cabed=
2.e.1m2即原式成立----------1-----------1-----------1---------a+b a+b c+d d+ca+b+c+a c+d+a+b d+a+b+c例
4、当〃2时，求证log〃（〃一l）log〃（〃+l）1证V/t2log〃（〃一1）0,log〃（〃+l）0教学札记一12r9呜（〃+l）l°g，，（D；log，，5+l）=蛆”・・・〃2时，log〃（〃一l）log〃（〃+1）1
三、课堂练习
1、设〃为不小于1的自然数，求证」一+」一+^—+・・・+‘〉’.n+\n+2n+32n
22、设〃为自然数，求证（2—工）（2—』）（2—*）・・・（2—立」n n n n n!
四、课时小结:常用的两种放缩技巧对于分子分母均取正值的分式，I假如分子不变，分母缩小分母仍为正数，则分式的值放大；II假如分子不变，分母放大，则分式的值缩小
五、课后作业书本29页第
2、3题第三讲柯西不等式与排序不等式课题第01课时二维形式的柯西不等式一教学目的认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等教学札记式及向量形式.教学重点会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点理解几何意义.教学过程
一、复习准备
1.提问二元均值不等式有哪几种形式？答案土也24石a〉0,b0及几种变式.
22.练习已知a、b、c、d为实数，a2+b2c2+d2ac+bd2证法比较法/+b2c2+d2-ac4-bd2=•••.-{ad-be20
二、讲授新课
1.柯西不等式
①提出定理1若/b、C、为实数，则/+02c2+d22Qc+M
2.一即二维形式的柯西不等式一什么时候取等号？
②讨论二维形式的柯西不等式的其他证明措施？证法二综合法a2+Z2c2+d2=a2c2+a^d2+b2c2+b2d2教学札记=ac+hd2+〃d-Zc2ac+bd
2.要点展开f配方证法三向量法设向量〃2=,，n=c,d,则|加|=,|止Jc、2+/.nfn-ac+bd,且m・〃=|m||〃|cos根,〃,则|帆・川|加||./.….证法四函数法/x=a2+b1x2-2{ac+bdx+c2+tZ2,则/x=ax-c2+Sx-d220恒成立.••・A=[-2ac+bdf-4a2+b2c2+J2^0,即…・・
③讨论二维形式的柯西不等式的某些变式？变式y/a2+b1^c1+d2\ac+bd\或y/a2+b2^c2+d2\ac\+\bd\或J er+•J2+d~2ac+bd.
④提出定理2设a,£是两个向量,则|a•夕区|a||
0.即柯西不等式的向量形式由向量法提出一讨论上面时候等号成立？夕是零向量，或者,万共线
⑤练习已知a、b、、d为实数，求证+12+Jo+/-J〃-c2+b-d
2.证法分析法平方一应用柯西不等式一讨论其几何意义？构造三角形教学札记
2.教学三角不等式
①出示定理3设玉，,，入2，，2，则Jx；+短+%2N JX]_52+y_%
2.分析其几何意义一怎样运用柯西不等式证明一变式若办,%,々，％，不，为^^，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例例1已知a,b为实数，求证d+Z/x/+02203+032阐明:在证明不等式时,联络经典不等式,既可以启发证明思绪，又可以简化运算因此,经典不等式是数学研究的有力工具例题2求函数y=5JU+J10—2x的最大值分析运用不等式处理最值问题，一般设法在不等式的一边得到一种常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值\ac+bd\y]a2+b2-7c2+d2解函数的定义域为【1,5],且y0y=5x y/x-1+V2x J5一丁752+V22x7V^T2+V5^2=j27x4=6V^教学札记当且仅当血xj』=5xj二时，等号成立，即x=*Z时，函数取最大值6行27课堂练习
1.证明x2+y4a4+b2a2x+by
222.求函数y=3jx-5+4j6-x的最大值.例
3.设a,b是正实数，a+b=l,求证工+工24a h分析注意到+」=〃+与1+1,有了Q+b_L+_L就可以用柯西不等式了a ba b a b
四、巩固练习
1.练习试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2.已知x+2y=l,求x2+y2的最小值.
五、课堂小结二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
六、布置作业P37页，4,5,7,8,9
七、教学后记教学札记课题第02课时二维形式的柯西不等式
（二）教学目的会运用二维柯西不等式及三角不等式处理问题，体会运用经典不等式的一般措施——发现详细问题与经典不等式之间的关系，通过合适变形，根据经典不等式得到不等关系.教学重点运用二维柯西不等式处理问题.教学难点怎样变形，套用已知不等式的形式.教学过程
一、复习引入
1.提问二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案（/+b1）（c2+2（ac+bd）2；个x；+yj+Jx1+%2之+（X-%）
2.讨论怎样将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.怎样运用二维柯西不等式求函数y=GT+万7的最大值？要点运用变式|ac、+Zd|W+〃.2”
2.
二、讲授新课教学札记
1.最大（小）值1出示例1求函数y=3jx—l+J10—2x的最大值分析怎样变形？一构造柯西不等式的形式一板演一变式y=4-1+J1O-2xf推广y=ajbx+c+fx,（a,b,c,d,e,于£（）2练习已知3x+2y=l,求犬+丁的最小值.解答要点（凑配法）x2+/=-（x2+/）（32+22）＞-（3x+2y）2=-.131313讨论其他措施（数形结合法）
2.不等式的证明
①出示例2若入,）£，x+y=2,求证—+—
2.%y分析怎样变形后运用柯西不等式？（注意对比一构造）要点++）（+）=:［
（4）2+（V7）2］［（-U）2+（-^）2］之…x y2x y2教学札记讨论其他证法（运用基本不等式）
②练习已知、be R+,求证（〃+力（，+_1）
24.a b
三、应用举例例1已知
9.2,都是实数，求证一（〃［++…+〃）Clj31,Hn2W+〃2~+…+n分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式例2已知a,b,c,d是不全相等的实数，证明a2+b2+c2+d2ab+be+cd+da分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数构成的式子,尤其是右边式子的字母排列次序启发我们,可以用柯西不等式进行证明例
3、已知x+2y+3z=l,求x2+y2+z2的最小值.分析:由x+2y+3z=1以及Y+J+z2的形式,联络柯西不等式,可以通过构造（F+个+）作为一种因式而处理问题
四、巩固练习
1.练习教材
8、9题P37149练习L设x,y,z为正实数，且x+y+z=l,求一+—+—的最小值x y z
2.已知a+b+c+d=l,求5+b2+c2+d2的最小值教学札记
3.已知a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9,求J五+J也+八的最大值选做
4.已知a,b,c为正实数，且/+2^+3（=6,求a+b+c的最小值（08广一模）
5.已知a,b,c为正实数，且a+2b+c=l,求工+工+工的最小值（08东莞二模）a bc
6.已矢口x+y+z=2A/5,贝U ni=x+Zyz的最小值是.（08惠州调研）
五、布置作业教材
1、
6、7题P371已知/ER,且@+^=1,则x+y的最小值.%y要点J=（—+—）（X+^）=•••.f其他证法尤y2若x,y,z£R+，且x+y+z=l,求/+y+的最小值.（要点运用三维柯西不等式）变式若x,y,z£7+，且x+y+z=l,求6+J7+G的最大值.
六、课堂小结比较柯西不等式的形式，将目的式进行变形，注意凑配、构造等技巧.
七、教学后记教学札记课.题第03课时一般形式的柯西不等式教学目的
1.认识柯西不等式的几种不一样形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析处理某些问题，体会运用经典不等式的一般措施教学重点一般形式柯西不等式的证明思绪，运用这个不等式证明不等式教学难点应用一般形式柯西不等式证明不等式教学过程
一、复习引入定理1柯西不等式的代数形式设均为实数，则面+b2c2+d2ac+bd2,其中等号当且仅当ad=bc时成立定理2柯西不等式的向量形式设a,夕为平面上的两个向量，则||・|万闫a・/|,其中等号当且仅当教学札记两个向量方向相似或相反即两个向量共线时成立定理3三角形不等式设为，%,々，为/3，%为任意实数，则-々2+y-乃2+-%32+为一%22-%32+%一%尸
二、讲授新课类似的，从空间向量的几何背景业能得到I a.B|W|a||B|.将空间向量的坐标代入，可得到「当且仅当共线时,a+a2+a2t^2+b2+b2+a b+a3b32a,0232322即百或存在一个实数使得时，等峨立.=6,k,a,=£b,d=l,2,3这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜测出一般形式的柯西不等式吗？定理4（一般形式的柯西不等式）设〃为不小于1的自然数，%也（i=l,2,…，几）为任意实数，则（tij2+6Z2+（42+仇2+bj）N（%瓦+a2b2+也）2即教学札记n nn h h h也）2,其中等号当且仅当」=上=…时成立（当%=0时,Z7M Z=12an约定2=，1=1,2,…，n）o证明构造二次函数/（%）=一A）+（a x-b）2+・・・+（%%-力〃尸22即构造了一种二次函数:/（%）=这必）/_2也.口+邙/=1i=l/=1由于对任意实数X,20恒成立，则其AW0,即A=4（之〃也）—4（X%2）（$2）02z=l/=1/=1〃〃〃即
①她U-ZQ，/=]/=1/=1等号当且仅当一4=a x-b=・・・=a〃x—b〃=0,22即等号当且仅当2=3=...=九时成立（当为=0时，约定，=0,1=1,2,…，〃）%a a2n假如%全为3结论显然成立
三、应用举例教学札记例3已知ai,a2,…，an都是实数，求证工（q+出+.・.+Q〃）2/十/+..一4n22分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式例4已知a,b,c,d是不全相等的实数，证明a2+b2+c2+d2ab+be+cd+da分析上式两边都是由a,b,c,d这四个数构成的式子，尤其是右边式子的字母排列次序启发我们，可以用柯西不等式进行证明例
5、已知.x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值.分析由x+2y+3z=l以及f+V+z2的形式，联络柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一种因式而处理问题
四、巩固练习练习
1.设x,y,z为正实数，且x+y+z=1,求4+±+2的最小值x yz
2.已知a+b+c+d=l,求才+9+（+，的最小值
3.已知a,b,c为正实数，且a+2b+3c=9,求J五+J赤+八的最大值选做
4.已知a,b,c为正实数，且aZbBcJG,求a+b+c的最小值（08广一模）
5.已知a,b,c为正实数，且a+2b+c=l,求工+工+工的最小值（08东莞二模）a bc教学札记
6.已矢口x+y+z=2后，贝U ni=x+2y2+z2的最小值是.（08惠州调研）
五、课堂小结重点掌握三维柯西不等式的运用
六、布置作业P41习题
3.22,3,4,5
七、教学后记课.题第04课时排序不等式教学目的
1.理解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析处理某些简朴问题;
2.体会运用经典不等式的一般思想措施.教学重点应用排序不等式证明不等式教学难点排序不等式的证明思绪教学过程
一、复习准备教学札记
1.提问前面所学习的某些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）
2.举例说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课
1.教学排序不等式
①看书P《i〜PM.如如图，设/46=二，自点沿04边依次取〃个点4,4，，4，OB边依次取取〃个点用，层,，4,在4边取某个点4与OB边某个点鸟连接，得到AA0与，这样一一搭配，一共可得到〃个三角形显然，不一样的搭配措施，得到的AA,O吗
3、重视不等式的应用不等式应用的教学，重要是引导学生处理波及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题重要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作规定
4、重视展现著名不等式的背景几种重要不等式大均有明确的几何背景教师应当引导学生理解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力争直观理解这些不等式的实质尤其是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读理解有关背景知识第一讲不等式和绝对值不等式课题第01课时不等式的基本性质教学目的
1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础
2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简朴的不等式教学重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，尤其是反证法教学难点灵活应用不等式的基本性质教学过程
一、引入不等关系是自然界中存在着的基本数学关系《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；平常生活中息息有关的问题，如“自来水管的直截面为何做成圆的，而不做成方的呢？”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一种小正方形，制成一种无盖的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的有关知识才能得到处理并且，不等式在数学研究中也起着相称重要的作用本专题将简介某些重要的不等式具有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等和它们的证明，数学归纳法和它的简朴应用等人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状构造，事与事成因与成果的不一样等等都体现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的还可从引言中实际问题出发，阐明本章知识的地位和作用生活中为何糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题a克糖水中具有b克糖ab0,若再加mm0克糖，则糖水更甜了，为何？hh+/7+772h分析起初的糖水浓度为一，加入m克糖后的糖水浓度为--------------------,只要证—^2即a a+m a+m a可怎么证呢？
二、不等式的基本性质
1、实数的运算性质与大小次序的关系数轴上右边的点表达的数总不小于左边的点所示的数，从实数的减法在数轴上的表达可知a ba-b0教学札记a=b oa—b=4不一样，问04边上的点与05边上的点怎样搭配，才能使〃个三角形的面积和最大（或最小）？设OA=%,OBj=bj（i,j=1,2,i）,由已知条件，得a a aab b-b[2323n由于AA/O与的面积是,而是常数，于是，上面的儿何问题就可以归结为代数问题设，C〃是数组4也，也的任何一个排列，则5=〃©+%2++〃,£何时取最大（或最小）值？我们把S=qq+%2+…+〃〃叫做数组（％，生，…，*与（么也，也）的乱序和.其中，S[=〃也+%也1+〃3么-2++4也称为序和.S=%仄+612b2+a3b3++也称为序和・这样的三个和大小关系怎样2设有两个有序实数组
①«生工•••（〃〃；44么qg,…％是4也，•••也的任一排列,则有岫+a2b2+…+也（同序和）a c+a c+…+a c（乱序和）a b+a b_+•••+*x x22nn[n2n1（反序和）当且仅当4=2=•••=4〃或4=4=••”》〃时，反序和等于同序和.（要点理解其思想，记住其形式）
三、应用举例例1设q,生，…M〃是〃个互不相似的正整数，求证.111a.a,an1F…、彳+…------------------H1H WeH T-H—~17*23n12232分析怎样构造有序排列？怎样运用套用排序不等式证明过程设々也,…，2是q,2，…〃的一种排列，且々〈仇…2贝之1也22,…,22〃.又1_L_L..._L,由排序不等式,得2232/名生,b b,hq+齐+夕+…+正泌+尹+孕+…+/N小结分析目的，构造有序排列.
四、巩固练习
1.练习教材1题
2.已知Q,dc为正数,求证2a3+/3+c3a2b+c+b2+c+c2a+b.P45解答要点由对称性，假设贝11片〈/于是era+t^b+c2ca2c+b2a+c2b,era+b^b+crc erb+b2c+c2a，两式相加即得.
五、课堂小结排序不等式的基本形式.
六、布置作业教材口
3、4题5
七、教学后记第四讲数学归纳法证明不等式课题第01课时数学归纳法
（一）教学目的
1.理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明某些简朴的与正整数有关的数学命题；
2.深入发展猜测归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程，体会类比的数学思想教学重点数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题环节的掌握教学难点数学归纳法中递推思想的理解教学过程
一、创设情境，引出课题
（1）不完全归纳法今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？由于清晨我在学校门口看到第一种进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学于是得出结论学校里所有都是男同学，同学们说我的结论对吗？（这显然是一种错误的结论，阐明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）
（2）完全归纳法一种火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？（将火柴盒打开，取出剩余的火柴，逐一进行验证）注对于以上二例的成果是非常明显的，教学中重要用以上二题引出数学归纳法结论不完全归纳法一结论不可靠；完全归纳法一结论可靠问题以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想对的的处理一种与此有关的问题，就可靠性而言，应当选用第几种措施？（完全归纳法）情境一（播放多米诺骨牌视频）问怎样才能让多米诺骨牌所有倒下？
二、讲授新课探究一让所有的多米诺骨牌所有倒下，必须具有什么条件？条件一第一张骨牌倒下；条件二任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下探究二同学们在看完多米诺骨牌视频后，与否对怎样证明4+22+32+…+E=+1）（2+D有些启发6得出结论证明F+22+32+…+r=5+D（2+l）的两个环节6
（1）证明当〃=1时，命题成立；
（2）假设当〃二左（左21次£*）时命题成立，证明当左+1时命题也成立一般地，证明一种与正整数〃有关的命题，可按下列环节进行
（1）（归纳奠基）证明当〃取第一种值4（4£N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设〃=%（女2〃o，A£N*）时命题成立，证明当〃二人+1时，命题也成立只要完毕以上两个环节，就可以鉴定命题对从小开始的所有正整数〃都成立上述措施叫做数学归纳法
三、应用举例例1用数学归纳法证明l+3+5+・・・+2n—1二Y证明1当〃=1时，左边=1,右边=仔=1,等式成立；2假设当〃=左k2l,k£N*时,l+3+5+-+2k-l=k2,那么1+3+5+…+2k-l+2k+l=+2供++=4+［了，则当“=%+1时也成立根据1和2,可知等式对任何〃EN*都成立注
①对例1,首先阐明在运用数学归纳法证题时，当〃=Z+1时的证明必须运用〃=左的归纳假设，例2用数学归纳法证明求证/+5〃〃£N*能被6整除.［证明］:1°.当〃=1时，/+5X1=6能被6整除，命题对的；2°.假设〃=左时命题对的，即左3+5-能被6整除,•••当〃=%+1时，伏+13+5左+1=/+3k2+3左+1+5左+5=/+5k+3左伏+1+6,•・•两个持续的整数的乘积kk+1是偶数，.・.3kk+1能被6整除，・♦・/+5攵+3kk+1+6能被6整除，即当〃=Z+1时命题也对的,由1°,2°知命题时nuN*都对的.即当〃=左+1时，等式成立根据1和2,可知等式对任何〃£N”都成立注上例可让学生独立完毕，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般环节
四、巩固练习P50练习题第
1、2题
五、课堂小结问今天我们学习了一种很重要的数学证明措施，通过本节课的学习，你有哪些收获？学生总结，教师整顿
1、数学来源于生活，生活中有许多形如“数学归纳法”这样的措施等着我们去发现
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想递推思想；
3、数学归纳法一般环节:若〃=kk2£N时命题成验证〃=%时命题成立，证明当1时命题也成立归纳奠基归纳递推命题对从“开始所有的正整数n都成立
4、应用数学归纳法要注意如下几点1第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的；2第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法;3n是使命题成立的最小正整数，n不一定取1,也可取其他某些正整数；4第二步的证明必须运用归纳假设，否则不能称作数学归纳法
六、布置作业P50练习题第
1、
2、3题
七、教学后记课题第02课时数学归纳法二教学目的1,掌握数学归纳法的证明环节，纯熟体现数学归纳法证明过程.
2.对数学归纳法的认识不停深化.3,掌握数学归纳法的应用教学重点解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题环节教学难点数学归纳法证题有效性的理解教学过程
一、复习回忆数学归纳法两大步G归纳奠基证明当〃取第一种值功时命题成立；//归纳递推假设麻衣在A£N*时命题成立，证明当/T=A+1时命题也成立.只要完毕这两个环节，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.练习1已知/〃=1+3+5++2〃-猜测/〃的体现式，并给出证明？过程试值/*⑴=1,/⑵=4,…，一猜测/〃=/一用数学归纳法证明.
2.练习与否存在常数a、b、使得等式Ix3+2x4+3x5+……+nn+2=-nan2+bn+c6对一切自然数〃都成立，试证明你的结论.
二、讲授新课
1.教学数学归纳法的应用例1求证1一」+，-l+・・・+—!-------------—!—+・・+J-,〃£N*2342n-\2nn+\n+22n分析第1步怎样写？小〃的假设怎样写？待证的目的式是什么？怎样从假设出发？关键在假设炉4的式子上，怎样同补？证明略小结证炉A+1时，需从假设出发，对比目的，分析等式两边同增的项，朝目的进行变形.例2求证〃为奇数时，/+/能被x+y整除.分析要点凑配/+产=9•/+/.六//+/+/,y-/.y=//+_/+_/y-V=/x*+j/+y•y+x y—x.证明略例3平面内有〃个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这〃个圆将平面提成fn二才一巾2个部分.分析要点77=4+1时，在4+1个圆中任取一种圆C,剩余的A个圆将平面提成FA个部分,而圆与4个圆有24个交点，这24个交点将圆提成24段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增长了24个平面部分,因此，Fg+1=FQ+2k42一4+2+2斤4+12一01+
2.证明略
三、巩固练习1求证1+11+1・・・1+—＞，2一+1〃金/馋.32/1-12用数学归纳法证明I72,-42-297能被264整除；II向+1+l2〃T能被/+4+1整除其中a为正整数♦3与否存在正整数勿，使得F〃=2加7・3+9对任意正整数〃都能被加整除若存在，求出最大的加值，并证明你的结论；若不存在，请阐明理由.4教材
51、
2、5题
四、课堂小结两个环节与一种结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；从〃二A到炉A+1时，变形措施有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
五、布置作业教材
504、
5、6题.
六、教学后记课.题第03课时用数学归纳法证明不等式一教学目的
1、理解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，
2、理解数学归纳法的操作环节，
3、能用数学归纳法证明某些简朴的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点能用数学归纳法证明儿种经典不等式.教学难点理解经典不等式的证明思绪.教学过程
一、复习准备I222〃2〃71+1*
1.求证——+------++-----------------=---------,neN.1-33-52〃—12〃+122〃+
12.求证1+—+—+—+H------.2342〃-1
二、讲授新课
1、用数学归纳法证明不等式的措施作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜测、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想措施
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种措施.设要证命题为P n.1证明当n取第一种值n时;结论对的，即验证P no对的；2假设n=k k£N且k2n0时结论对的，证明当n=k+1时，结论也对的，即由P k对的推出P k+1对的，根据1,2,就可以鉴定命题P n对于从n开始的所有自然数n都对的.在用数学归纳法证明不等式的详细过程中，要注意如下几点1在从n=k到n=k+l的过程中，应分析清晰不等式两端一般是左端项数的变化，也就是要认清不等式的构造特性；2瞄准当n=k+1时的递推目的，有目的地进行放缩、分析；3活用起点的位置；4有的试题需要先作等价变换
三、应用举例例1比较〃2与2〃的大小，试证明你的结论.分析试值〃=1,2,3,4,5,6-猜测结论一用数学归纳法证明一要点k+1+++心〈….证明略小结反思试值一猜测一证明巩固练习1已知数列｛4｝的各项为正数，Sn为前〃项和，且S”=%+,归纳出的2%公式并证明你的结论.解题要点提醒试值上1,2,3,4,一猜测a一数学归纳法证明例2证明不等式|sin〃夕区〃|sin6|.要点|sin^+1/91=|sinkOcos0+cos-sin0\\sin kOcos0\+\cosZSsin0\|sin攵例+1sin区左|sin91+1sin81=%+1|sin0\证明略例3证明贝努利不等式.1+xn\+nx X—1,XWO,〃£N,〃1分析贝努力不等式中波及到两个字母，x表达不小于-1且不等于0的任意实数，〃是不小于1的自然数，用数学归纳法只能对〃进行归纳巩固练习2试证明不管正数外b、是等差数列还是等比数列，当〃且H、b、互不相等时,均有d+/2从V解答要点当以b、为等比数列时，设年旦，c=bq0且qWl..•・成+六….q当外b、为等差数列时，有2房卅八则需证《±£1@±£〃〃22且〃£N*.22^+1,+1[[1口一|・a l/代介k.k\Xlz111c miA+l,-1i1/A+l,1,・・•.3ZFA+1时，---------------=—a+c+a+c—a+c+a•c^c•a244=_Lac%3c£±£J£+££+£^i.=
42223.小结反思应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧凑配、放缩.
四、巩固练习
1.用数学归纳法证明1+—^1+—+—1—=tan2〃.cos2cos4cos2n0tan2-------------------------------------------------.已矢口〃EN,及22,证明[■———1——F+—
1.2〃+1〃+22n
五、课堂小结
六、布置作业教材%
3、
5、8题.
七、教学后记ab=a—b0得出结论要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可
2、不等式的基本性质
①、假如ab,那么ba,假如ba,那么ab对称性
②、假如ab,且bc,那么ac,即a〉b,bc=aco
③、假如ab,那么a+cb+c,即abna+cb+c推论假如ab,且cd,那么a+c〉b+d.即ab,cd=a+cb+d.
④、假如a〉b,且c0,那么ac〉bc；假如ab,且c0,那么ac〈bc.
⑤、假如ab0,那么〃〃nwN,且nl
⑥、假如ab0,那么七〉底neN,且nl
三、经典例题例
1、比较x+3x+7和x+4x+6的大小分析通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系例
2、已知求证a-cb—d.例
3、已知ab0,cd0,求证J五〉J万
四、课堂练习1已知x3,比较/+1lx与6/+6的大小h a2已知ab0,c〈d0,求证-------------------a-c b-d
五、课后作业书本巴第
1、
2、
3、4题
六、教学后记课题第02课时基本不等式教学目的
1.学会推导并掌握均值不等式定理；2,可以简朴应用定理证明不等式并处理某些简朴的实际问题教学重点均值不等式定理的证明及应用教学难点等号成立的条件及解题中的转化技巧教学过程
一、知识学习定理1假如外代R,那么^十尸22必当且仅当a=b时取=”号证明a2+b~—2ab=a-b2当wWA时，a—Z20,当a=6时，a—b2=0因此，Qa—b）220即1+/22加由上面的结论，我们又可得到定理2（基本不等式）假如a,b是正数，那么自乎2板（当且仅当a=6时取“=”乙号）证明（F）2+（立）,2仃*.ab^2y[ab,即^y[ab乙显然，当且仅当a=6时，，:“=我乙阐明1）我们称—为d8的算术平均数，称寂为a,的几何平均数，因而，此乙定理又可论述为两个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数.2）和刍乎三”装成立的条件是不一样的前者只规定a,6都是实数，乙而后者规定a6都是正数.3）“当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义.
二、例题讲解例1已知x,y都是正数，求证
（1）假如积灯是定值R那么当x=y时，和x+y有最小值
2、伊；
（2）假如和x+y是定值S,那么当x=y时积盯有最大值6证明由于必y都是正数，因此中已心乙
（1）积灯为定值〃时，有中N炉.x+y^2y[p乙上式当x=y时，取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2炉.__C]
（2）和x+p为定值S时，有，町£-S2乙±上式当产y时取“=”号，因此，当产y时，积盯有最大值
352.阐明此例题反应的是运用均值定理求最值的措施，但应注意三个条件i）函数式中各项必须都是正数；ii）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；iii）等号成立条件必须存在例2已知以b、
0、d都是正数，求证Qab+cd）（ac~\~bd）》4abcd分析此题规定学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联络，从而对的运用，同步加强对均值不等式定理的条件的认识.证明由a、b、c、d都是正数，得ac+bd、/------------ab~\~-------ac•bd0,ab•cd0,乙cd-2~ab+cd ac+bd/.----------------------------------》abcd4即Qab+cd ac+bd、4abcd例3某工厂要建造一种长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,假如池底每的造价为150元，池壁每In的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解设水池底面一边的长度为如，水池的总造价为1元，根据题意，得7=240000+7202240000+720X
2、/x•x Yx=240000+720X2X40=297600当才=即牙=40时，，有最小值297600x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的合用条件.
三、课堂练习书本P%练习1,2,3,
4.
四、课堂小结通过本节学习，规定大家掌握两个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明某些不等式及求函数的最值，，不过在应用时，应注意定理的合用条件
五、课后作业书本Bo习题L1第5,6,7题
六、教学后记课题第03课时三个正数的算术•几何平均不等式教学目的
1.能运用三个正数的算术-几何平均不等式证明某些简朴的不等式，处理最值问题；
2.理解基本不等式的推广形式教学重点三个正数的算术-几何平均不等式教学难点运用三个正数的算术-几何平均不等式证明某些简朴的不等式，处理最值问题教学过程
一、知识学习定理3假如/£火+，那么嬴当且仅当时，等号成立3XJ-4-•••XJ I推广—------------------------当且仅当1=%=…=〃时，等号成立L Nn语言表述n个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数思索类比基本不等式，与否存在假如凡那么（当且仅当4=/=时，等号成立）呢？试证明
二、例题分析393113如An=3四99解一y=2x2+-=2x2+-+-X XX例1求函数y=2/+—〉0）的最小值y=2x2+
32、212=2而当2/=3即xv xx解二:
2.容=27＜2=2^324・••Vmin=上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1若〃1e R+且〃＞，求+----------------的最小值（）a-b b由此题，你觉得在运用不等式处理此类题目时关键是要例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相似的小正方形，再把它的边缘名着虚线折转成一种无盖方底的盒子，间切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大变式训练2已知长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值.由例题，我们应当更牢记—二三,三者缺一不可此外，由不等号的方向也可以懂得积定，和定..
三、巩固练习
121.函数y=3x+=（x＞0）的最小值是（）x
162.函数y=4x2+的最小值是_______________（，+1）2A.6B.6V6C.9D.
123.函数＞=/（2-，）（0＜工＜及）的最大值是（）教学札记32D.—A.O
274.（浙江自选）已知正数羽yz满足x+y+z=1,求4”+
4、+4的最小值5（,江苏，21）设〃为正实数，求证\+\+\+abc243abc
四、课堂小结:通过本节学习，规定大家掌握三个正数的算术平均数不不不小于它们的几何平均数的定并会应用它证理,明某些不等式及求函数的最值，，不过在应用时，应注意定理的合用条件课后作业
五、Pio习题
1.1第11,12,13题教学后记
六、题第04课时绝对值三角不等式教学目的1理解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导措施，会进行简单的应用2充足运用观测、类比、猜测、分析证明的数学思维措施，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明教学重点绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用教学难点绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件教学过程
一、复习引入有关具有绝对值的不等式的问题，重要包括两类一类是解不等式，另一类是证明不等式本节课探讨不等式证明此类问题
1.请同学们回忆一下绝对值的意义如果x,x0如果0,x=0一如果x,x0几何意义在数轴上，一种点到原点的距离称为这个点所示的数的绝对值
2.证明一种具有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，常常还要用到有关绝对值的和、差、积、商的性质
（1）aa,当且仅当0时等号成立,a-a.当且仅当a0时等号成立=£bwO4b那么a+b=a
二、讲解新课:a探究:+b\,a-b|之间的什么关系1结论a+bWa+b（当且仅当ab NO时，等号成立.）已知处方是实数，试证明a+b^a+b（当且仅当〃力时，等号成立.）措施一证明1°.当ab》O时,2°.当a仅0时，ab=-\ab\,ah=|ab I,\a+h\=a+\a+b\=JQ+Z2b¥=y/a2+2ab+b2=y/a2+2ah+b2=J|a|2+2|aM+M=,]\a\2-2\ab\+\b\2=J.I+㈤广af+2\a\\b\+\bf=1I+1b I=Jll+g|=\a\综合1°,2°知定理成立.+\b\措施二分析法，两边平方略定理1假如是实数，则|+44同+|方（当且仅当时，等号成立.）
（1）若把力换为向量力情形又怎样呢根据定理1,有a+b+|-^|a+b-b,就是，a+b+baQ定理（绝对值三角形不等式）假如,8是实数,则||a—训W a土〃Wa+|b注当力为复数或向量时结论也成立.+02+•♦+a〃W%+[a2|+,一+a教学札记推论2假如〃、b、C是实数，那么Q-cWa-〃+）-c|,当且仅当（一方）（万一c）时,
1142、已知x0,y0,x wy,求证一+—---------------.x yx+y
3、已知ab0,求证yla-b4a-4b.
4、已知0,/
0.求证1a+b^a-1+Z-
14.2a+b\a2+b2a3+/3Sa3b
3.
5、已知〃,b,c,d都是正数求证:。
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