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圆锥曲线
一、椭圆
（1）椭圆的定义平面内与两个定点几居的距离的和等于常数（不小于\FF I）的点{2的轨迹其中两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距注意片「表达椭圆；片|表达线段式尸百尸|没有轨迹;2”|2I2”|12;2”|2中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上原则方x2y2y2+Y—2=}ah0b2+g=lQb0a2CT
（2）椭圆的原则方程、图象及几何性质:4（一力,0），4（瓦0）对称轴x轴，y轴；短轴为2〃，长轴为2〃住占F[0-c,尸2°，c
八、、\FF\==a2-b22CC0C2}2e=-（0el）（离心率越大，椭圆越扁）离心率a2b2J（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
223.常用结论
（1）椭圆二+2_=1（八0）的两个焦点为片,歹2，过匕的直线交椭圆于A32b2两点，则的周长二AA5F2（）设椭圆二2+”之2
①〉/,〉）左、右两个焦点为月,心，过匕且垂直于对称轴的直a22b2线交椭圆于P,两点，则P,的坐标分别是\PQ\=B、（0-a）,B（a）0,2
二、双曲线:（）双曲线的定义平面内与两个定点几G的距离的差的绝对值等于常数（不不小于122222222A二+匕⑻二+匕=ly w0C——F=1D——F=ly w0=
125162516251625、已知椭圆的长轴13长是短轴长的6倍，则椭圆的离心率等于（）2DA C..D.设椭圆G的离心率为5，焦点在％轴上且长轴长为
26.
4、若曲线G上的点到椭圆G的两222222A.工-匕=1B工-乙=1C土—匕—1D.1321224232132523242—1r
25、=1（〃0）的渐近线方程为3x±2y二0则,的值为（C）.设双曲线一7A4B3C2D1双曲线丁的实轴长是（）、2/_2=8C6B2c D4V2A2C个焦点的距离的差的绝对值等于则曲线的原则方程为8,G双曲线三-£二的焦点到渐近线的距离为（
1412、7A.B.2C.V3D.122以双曲线工-上=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（A）
9168、8A.8x2+y2-10x+16=0C.x2+y2+10x+16=0D.x2+f+10x+9=
0229、、过椭圆^+£=1«60）的左焦点片作x轴的垂线交椭圆于点p尸为右焦2,点，若/耳，则椭圆的离心率为（PR=60C.D.amnQv是“方程必十町;表达焦点在轴上的椭圆的
10.22=i„yA充足而不必要条件B必要而不充足条件C充要条件D既不充足也不必要条件22解析:将方程后+
④］转化为,+千根据椭圆的定义，要使焦点在轴上必须满2==1,ym n因止匕工〉—0,—0,J-,m nn m、写出满足下列条件的椭圆的原则方程112222⑴长轴与短轴的和为焦距为二+乙=或二+匕=18,6;_________11;____________________,2516162522⑵焦点坐标为—6,0,6,0,并且通过点⑵1；++±=
1.63⑶椭圆的两个顶点坐标分别为-3,0,3,0,且短轴是长轴的工；_q+/=1或+］=1；39981⑷离心率为在，通过点二+或二+亡=2,0;
1.2=］
24416222、与椭圆二+二有相同的焦点，且短轴长为的椭圆方程是12=12++V=
1946、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点耳，尸在入轴上，离心率为13xOy2—.过片的直线/交于两点，且的周长为那么的方程为AA5E16,21-222L=1二十
1682214、已知耳尸为椭圆J+==1的两个焦点，过耳的直线交椭圆于A B两点，若25912任任卸则|川同=A|+|=12,
8.
22、已知片、是椭圆C,的两个焦点，分为椭圆上一点，且a~b~15E=+==1410而上电,若月国的面积是贝9,11=
3.、求心在原点，焦点在坐标轴上，且通过2叵,3两点的椭圆16P4,-V3,Q方程22Y2故-----为所求F=12015解设椭圆方程为二十二=1，将p，Q两点坐标代入，解得=20/=15cr b~22圆锥曲线练习题2抛物线的焦点到准线的距离是
1.y2=i0xB5u15sA.-B.5C.—D.1022若抛物线丁=尤上一点到其焦点的距离为则点的坐标为
2.P9,P C8A.7,±V14B.14,±V14C.7,±2714D.-7,±2714A.B.1648927以椭圆二十上=的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程
3.12C2516或二一L—2L=12_以上都不对C.D.1648927我卜尸是椭圆一+±二的两个焦点，为椭圆上一点，且则△的面积为
4.1A NAaF2=45°,2C7V5一A.7B.C.D.497以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是
5.2x+6y+9=0，+y2—D A.=312或〉=一
312.y=3x2BC.y2=-9x^y=3x2D.=-3x2,y2=9x若抛物线产=不上一点尸到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为
6.P B（D）A.20B.22C.28D.24若点的坐标为（）尸是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使|“月+|阿获
8.A3,2,V=2x M得最小值的M的坐标为（D）A.（0,0）B.C.（1，后）D.（2,2）（）2丫2与椭圆——共焦点且过点（）的双曲线方程是（）
9.=102,1A+2422222A.--y2=1B.二—y2=i c.A:y2y------=1D.x2--=
133210.若椭圆/+机）2=i的离心率为~r则它的长半轴长为1,或
211.双曲线的渐近线方程为x+2y=0焦距为10,这双曲线的方程为
242053912.抛物线的准线方程为巳.V=6x_x=—13椭圆的一种焦点是）那么.5/=5Q2,Z=1+6222厂
14.椭圆—+二=的离心率为,，则上的值为或—*14,上+
892415.双曲线82—62=8的一种焦点为（0,3）,则左的值为-116若直线与抛物线交于、B两点,则线段的中点坐标是_（）.x—y=2V=4x AA84,
217.左为何值时，直线丁和曲线产=有两个公共点？有一种公共点=h+22/+36y=kx+2解:,得2/+3（息+2/=6,即（2+3左2）f+12京+6=0八23/=6没有公共点左（左）72k2-A=144-242+3=4822当公—即左〉或时，直线和曲线有两个公共点;A=72480,45,Z-Y533当△=即攵=如,或％=-如时，直线和曲线有一种公共点;72^—48=0,33＜女＜如时，直线和曲线没有公共V6点3当左一即—A=72480,23在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短
18.y=4/y=4x-54，-4/-54/一4，+5解设点设（人）距离为d,d=4»,当/=工时，获得最小值，此时（』,）为所求的点d Pl2222双曲线与椭圆二十二有相似焦点，且通过点（、后）求其方程
19.=1,4,27362222解椭圆斗+工的焦点为（）设双曲线方程为与-一二二=10,±3,c=3,1a29-cr3627过点、后则二——工得或而/,4,=1,2=4,36,9,CI CL9—22片二双曲线方程为乙-土=4,14522设耳，鸟是双曲线、•-气■二的两个焦点，点尸在双曲线上，且/片求△耳夕的
20.1P8=60°,6面积x2y
22.解双曲线——2—=1的=3,=5,不妨设〉入，则PfJ—Pg=2〃=6916F、F；=PF+PF；-2PF\•PF而厅鸟=得PF；+PF2_PR PF2=PRcos60°,2c=10・22-PF2+PF PF=1QO2[2PF石PF PF=6^S=-PF sin60°=16C2C2\F FI）的点的轨迹X2其中两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距注意|尸FJ—|「尸21=2〃与|尸2ITPFJ=2〃（2〃|片厂2I）表达双曲线的一支々=|《尸表达两条射线；|五产没有轨迹;22a2|2|（）双曲线的原则方程、图象及几何性质中心在原点，焦点在轴上2x中心在原点，焦点在轴上y原则X2二2二〉b~y2X2l0/0cT二---=1^0,/0a~方程司々,与0,-对称轴x轴，y轴；虚轴为2实轴为2a隹占尸一c,0,F C,06（0「c），K（o,c）12
八、、2=a2+b2W|=2cc0C/（离心率越大，开口越大）离心率
1、y=±^xa渐近线ay=±—xb（）双曲线的渐近线3
①求双曲线/小的渐近线，可令其右边的为,即得《_上=0，因式分解得到122
②与双曲线I-与22a b~I共渐近线的双曲线系方程是方
（4）等轴双曲线为——J=/，其离心率为正
（4）常用结论
（1）双曲线二一9二=21（〃0*0）的两个焦点为公山，过大的直线交双曲Q2b2线的同一支于两点，则的周长二AB AABE22
（2）设双曲线三一”=1（4〉0/0）左、右两个焦点为片,尸过匕且垂直于对称轴a2b22,的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是\PQ\=P,Q P,
三、抛物线（）抛物线的定义平面内与一种定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹12抛物线的原则方程、图象及几何性质p0其中定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线焦点在x轴上,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点在y轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下原则x2=2py x1pyy2=2px y2=-2px=-2方程图形顶点对称轴隹占吗尸一F0F0-^,0
八、、§,0乙离心率x=-P）一2与焦半径PFI Hy°l+焦点弦焦准距
四、弦长公式|43|=，1+左Jl+玉%=J1+攵2|——%2|=%2+122-422---I A|其中，△分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去后所得有关的一元二次方程A yx的鉴别式和/的系数求弦长环节
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得有关x的一元二次方程心2++=0,设，以尤2，为），由韦达定理求出玉+工2=-0，X/2=C；
（3）代入弦长公式计算A~A法
（二）若是联立两方程，消去得有关的一元二次方程+的+则对应X,y Ay2c=o,的弦长公式是|J1+,）2|%%1=++
（1）2*）（必+必产―4y-=j+
（1）
2.奇注意（）上面用到了关系式|-%\=尸一七％=一和1+%244IA|-%=加必+%）必=奇M2_4%注意
（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段提成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法法
（一）
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得有关x的一元二次方程Ax++C=0,设，B（X,y）,由韦达定理求出％]+々=一勺；22~~A
（3）设中点M（%o，y0）,由中点坐标公式得与=土!玉；再把％=与代入直线方程求出y=y（）°法
（二）用点差法，设玉,必），（为），中点〃（%,方），由点在曲线上，线段3%,的中点坐标公式，过、两点斜率公式，列出个方程，通过相减，代入等变形，求出A B5x，X）°
六、求离心率的常用措施法一，分别求出再代入公式a,c,法
二、建立满足的关系，消去再化为有关的方程，最终解方程求（求时，要a,b,c b,e ee注意椭圆离心率取值范围是而双曲线离心率取值范围是）0e1,e199上的任一点，定点D的坐标为（8,0）,若点M满足=4厂+y-~PM=2MD.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.解设点M的坐标为点尸的坐标为为,%,由同加,x,y,7=228-%,x0=3x—16,%=3y.得工一天,丁一%=一,，即由于点在圆上，因此占即『+二p%,%Y+y2=42+%2=
4.3x—163»4,+/=-,这就是动点M的轨迹方程.953例2已知椭圆的两个焦点为-2,0,2,0且过点？,-口，求椭圆的原则方程
2.2解法1由于椭圆的焦点在，轴上，因此设它的原则方程为『土心…,由椭圆的定义可知26Z=J|+22+-|-02+而--22+---02=2___92・.4=而又c=2,・・.〃=/一/=6因此所求的原则方程为土+匕=110622解法••八因此可设所求的方程为将点
2.2,YMS222百一代人解得W因此所求的原则方程为m3=1♦P,8,例
3.辅圆^-给=1上有一点它到椭圆的左焦点耳的距离为求“耳丹的面积.解］由椭圆的定义，得|P£|-|Pa|=24=20,所以|=
12.又甲吊匕里『一座『cos/f、工-_812163—1’2\PF\\PF\X X}22x8x12-1•.sin朋=•则S『=gx8xl2x孚=12历.・
4.例过椭圆内一点引动弦.孙求弦的中点的轨迹方程J+J=l
1.0M3f•J设/七，凹,Bx,力，4B的中点M x,y,则x=,y=,且4x；+9y；=」36——
①4xJ+9yJ=36
②，
①•
②得4工一大乂%+三+9歹-J+K=°一歹，4覆+冬4%乂一K y4x y•1••——^=一丁—二=一丁又——心=心乂=--X一七9凹+乃9y%一电工T即所求的轨迹方程为4x-12+9/=1高二圆锥曲线练习题
1、是定点,且动点满足』+二则点的轨迹方程是（）1F”F2|FE|=6,M|MF|MF216,M（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段22222222口）二+匕=1⑻二十匕=ly w0C------F=1D——F-^―=ly w
251625160、已知的周长是（）（）则动点的轨迹方程是（）2AA3C16,A-3,0,B3,0,
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A.C.V3D.2设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为G x
26.
4、若曲线2上的点到椭圆G的两2222A.土-乙=1B工-工=1D.132122423213252设双曲线一
5、7=1（〃0）的渐近线方程为3x±2y=0,则的值为（—矿A4B3C2D
16、双曲线2/_y2=8的实轴长是（B272D472A2C双曲线三-的焦点到渐近线的距离为（
412、7A.273B.2C.V3D.1个焦点的距离的差的绝对值等于则曲线的原则方程为8,、8A%2+y2-10x+9=0B.X+-10%+16=
0.C.x2+y2+10x+16=0D.x2+y2+10x+9=
09、、过椭圆=1ab0的左焦点片作x轴的垂线交椭圆于点P,尸为右焦点，2若/则椭圆的离心率为4Pg=60°,也正A.B.
2310.〃0”是“方程如2+町;2=1表达焦点在y轴上的椭圆的充足而不必要条件必要而不充足条件A B充要条件既不充足也不必要条件C D、写出满足下列条件的椭圆的原则方程11长轴与短轴的和为焦距为118,6;焦点坐标为并且通过点2-V3,0,V3,0,2,1;椭圆的两个顶点坐标分别为且短轴是长轴的工；3-3,0,3,0,离心率为正,通过点42,0;
292、与椭圆二+二有相同的焦点，且短轴长为的椭圆方程是12=
1294、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点片,歹在轴上，离心率为13xOy2x过的直线,交,于两点且叫的周长为⑹那么的方程为:T-E A2AA
22、已知斗尸为椭圆六+的两个焦点，过耳的直线交椭圆于两点，若1421=1A
315、已知耳、F2是椭圆C,=1〉〃〉0的两个焦点，P为椭圆上一点，且FA\+\FB\=n则二|AB|229而上电,若△尸耳工的面积是贝9,Ijb=.、求心在原点，焦点在坐标轴上，且通过两点的椭圆16P4,-V3,Q272,3方程圆锥曲线练习题2抛物线的焦点到准线的距离是
1.V=10%厂515sA.-B.5C.—D.1022若抛物线上一点到其焦点的距离为则点的坐标为（）
2.V=8x P9,PA.7,±V14B.14,±V14C.7,±2714D.-7,±2/
14223.22222222X V,--=1C.x y,或以上都不对B.L—2L=12L_L=
1.927DA.------------=116489271648以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆了一的圆心的抛物线的方程是（）
4.2+22]+6+9=0A.=3工或y二一3工.=3x2*422BC.y1--9x^y=3x2D.y=-3x2^y2=9x若抛物线=工上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点尸的坐标为（）
5.F P、
1016、1B.―C.―,D.―,“土A.o
4484226.椭圆+卷=1上一点P与椭圆的两个焦点£、F的连线互相垂直，则△片尸的面积为（）2A.20B.22C.28D.24若点的坐标为（）歹是抛物线犬的焦点，点〃在抛物线上移动时，使|/月+|凡获得
7.A3,2,F=24最小值的的坐标为（）MA.0,0B.C.1,V2D.2,2共焦点且过点（）的双曲线方程是（
8.与椭圆一=12,14以椭圆匕的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（）L+=
1216912.椭圆5/+上,=5的一种焦点是（o,2）,那么攵=_一上―
212.椭圆上一+匕的离心率为上，则左的值为13=1oZ+
89214.双曲线82—62=8的一种焦点为（o,3）,则攵的值为o若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是
15.x—y=2y=4x A8AB%为何值时，直线丁二+和曲线有两个公共点？有一种公共点？没有公共点？
16.22/+3y2=6在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短
17.y=4/y=4x-522双曲线与椭圆二+二=有相似焦点，且通过点（屏）求其方程
18.1,4,2736设耳，鸟是双曲线二—上一二的两个焦点，点在双曲线上，且/月尸工=
19.1P60°,916求△耳夕入的面积高二圆锥曲线练习题、%,是定点,且动点满足」+则点的轨迹方程是（1F2|FR|=6,M|MF|MF21=6,M D（A）椭圆（B）直线（C）圆（D）线段
2、已知AA3C的周长是16,A（-3,0）,B（3,0）,则动点的轨迹方程是（B）22以双曲线工-乙=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是19162221x xV21B.--------y2=1C.------------=1D.433若椭圆/+畋的离心率为且，则它的长半轴长为
9.2=1双曲线的渐近线方程为焦距为这双曲线的方程为抛物线的准线方程为
10.x±2y=0,10,
11.V=6x。
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