2025年命题逻辑深度解析充分必要条件考点梳理与解题策略

・高考明方向1,理解命题的概念.

2.理解“若.则，形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的互相关系.

3.理解充足条件、必要条件与充要条件的含义.★备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一,考察形式以选择题为主，试题多为中低级题目,命题的重点重要有两个:一是命题及其四种形式，重要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重.命题的热点是运用关系或条件求解参数范围问题，考察考生的逆向思维.

一、知识梳理《名师一号》P4知识点一命题及四种命题

1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子体现的，可以判断真假的陈说句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.注意:命题必须是陈说句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题

2.U种命题及其关系i⑴四种命题间的互相关系.⑵四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相似的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关.当a=0时，方程为2x+1=0符合题意.当时，方程ax2+2x+l=0应有一正一负根或rA=4—4a0—1aLa-o解得a0或0al.综上若方程依2+2X+1=0至少有一负根，则把L故有关x的方程ax2+2x+l=0至少有一种负根的充要条件是al.注意（补充）证明充要条件务必明确充足性和必要性并分别予以证明练习（补充）已知/（X）是定义在R上的函数，求证/（X）为增函数的充要条件是任意的%、%且％W.恒有玉一々e R,0分析设〃补％e凡且百/恒有/（“）~士）0一一玉-X2q/（x）为增函数；证明夕是q的充要条件，只需分别证明充足性（p=q）和必要性（q=〃）即可课后作业计时双基练P209基础1-11v培优1-4书本P2-4变式思索

1、

2、3；对应训练

1、

2、3预习第三节简朴的逻辑联结词、全称量词与存在量词补充作业（安徽）设数列｛%｝中的每一项都不为零，证明数列｛｝为等差数列4的充足必要条件是对任意〃均有£N*,111n---------------------------------------------------1F H=•〃〃23注意补充1\一种命题不也许同步既是真命题又是假命题

2、常见词语的否认原词语等于=不小于»不不小于«是不等于不不小于不不不小于否认词语不是*W2至多有一种至多有个或原词语都是n否认词语至少有两个至少有个且不都是n+1至少有一种原词语任意两个所有的任意的否认词语一种也没有某两个某些某个知识点二充足条件与必要条件

1、充足条件与必要条件的概念1充足条件:p n q则p是q的充足条件即只要有条件p就能充足地保证结论q的成立,亦即要使9成立，有p成立就足够了，即有它即可2必要条件p nq则q是p的必要条件p nqO—g n—p1即没有4则没有，，亦即乡是P成立的必须要有的条件,即无它不可补充3充要条件pn q且q np即poq则p、9互为充要条件既是充足又是必要条件“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“0当且仅当p”等补充

2、充要关系的类型D充足但不必要条件定义若p=q,但9力夕，则p是q的充足但不必要条件;2必要但不充足条件定义若q=p,回p4q,则P是q的必要但不充足条件3充要条件定义若p=q,且q=p,即则p、9互为充要条件;4既不充足也不必要条件定义苇p#q,q书p.则p、q互为既不充足也不必要条件.

3、判断充要条件的措施《名师一号》P6特色专题

①定义法；

②集合法；

③逆否法等价转换法.逆否法一一运用互为逆否的两个命题的等价性集合法一一运用集合的观点概括充足必要条件若条件p以集合A的形式出现，结论以集合3的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断.D若4§万，则p是q的充足但不必要条件2若则p是q的必要但不充足条件3若A=B,则，是q的充要条件4若AUB,且A力6,则P是q的既不必要也不充足条件补充简记作一一若A、B具有包括关系，则1小范围是大范围的充足但不必要条件2大范围是小范围的必要但不充足条件

二、例题分析-四种命题及其互相关系例

1.⑴《名师一号》P4对点自测1命题“若/y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是A.若x+y是偶数，则X与y不都是偶数若x+y是偶数，则”B.与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则“与不都是偶数D.若x+y不是偶数,则”与y都不是偶数答案C例

1.2《名师一号》P5高频考点1501下列命题中对的的是（）

①“若0,则〃厚0”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若/710,则x2+x—m=o有实根”的逆否命题；2_

④“若工一3是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.

①②③④B.

①③④C

②③④D.

①④解析

①中否命题为“若=0,则必=0，对的；

②中逆命题不对的；

③中，4=1+4机，当机0时，J0,原命题对的,故其逆否命题对的；

④中原命题对的故逆否命题对的.答案B注意《名师一号》P5高频考点例1规律措施在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一种命题定为原命题，也就对应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；鉴定命题为真命题时要进行推理，鉴定命题为假命题时只需举出反例即可.对波及数学概念的命题的鉴定要从概念自身入手.例

1.

（3）《名师一号》P4对点自测2（陕西卷）原命题为“若Zl,Z2互为共聊复数，则团尸•巴有关其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，对的的是（）A.真，假,真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假解析易知原命题为真命题，因此逆否命题也为设zi=3+4i,Z2=4+3i,则有出产㈤，不过Z1与Z2不是共辗复数，因此逆命题为假，同步否命题也为假.注意《名师一号》P5问题探究问题2种命题间关系的两条规律⑴逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同真假.⑵当判断一种命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.同步要关注“特例法”的应用.例

2.⑴补充山东文已知命题“若则/+从+，，的否命5a,b,cER,a+Z+c=3,2302题是•••A若a+b+c，3,贝I]a2+b2+c23B若a+b+c=3,贝IJ a2+b2+c23若手则可C a+b+c3,“2+/+223若/+〃+贝D23,i]b+=3a+c【答案】A【解析】命题“若则夕”的否命题是“若则F”p,—p,例

2.⑵（补充）命题“若肛则或=”的否/是=0,x=0y【答案】若孙则且=0,xwO ywO【解析】命题的否认只变化命题的结论注意命题的否认与否命题的区别（-）充要条件的判断与证明例

1.

（1）（补充）（7制已知〃是〃的充足条件而不是必要条件，9是厂的充足条件，S是厂的必要条件，q是S的必要条件既有下列命题

①S是9的充要条件；

②P是9的充足条件而不是必要条件；

③〃是夕的必要条件而不是充足条件；

④-1〃是-1S的必要条件而不是充足条件；

⑤〃是S的充足条件而不是必要条件，则对的命题序号是（）A.

①④⑤B.

①②④C.

②③⑤D.

②④⑤箕室/口B p

1、运用定义判断充要条件《名师一号》P6特色专题措施一定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若P,则必与“若小则P”的判断，根据两个命题与否对的，来确定p与q之间的充要关系.p二q则p是q的充足条件;q是p的必要条件

2、运用逆否法判断充要条件《名师一号》P6特色专题措施三等价转化法当所给命题的充要条件不好鉴定期，可运用四种命题的关系，对命题进行等价转换.常运用原命题与逆命题的真假来判断P与q的关系.令P为命题的条件，q为命题的结论，详细对应关系如下

①假如原命题真而逆命题假，那么p是q的充足不必要条件；

②假如原命题假而逆命题真，那么p是q的必要不充足条件；

③假如原命题真且逆命题真，那么p是q的充要条件；

④假如原命题假且逆命题假，那么P是q的既不充足也不必要条件.简而言之,逆否法——运用互为逆否的两个命题的等价性例

1.

（2）《名师一号》P6特色专题例1（北京卷）设｛〃〃｝是公比为q的等比数列.•则是“｛〃〃｝为递增数列”的（）A.充足而不必要条件B.必要而不充足条件C.充足必要条件D.既不充足也不必要条件【规范解答】若ql,则当ai=—l时,a=-qn~l｛斯｝为递减数列,因此%产分n3“｛斯｝为递增数列”;若｛斯｝为递增数列，则当〃=一0时，«1=—夕=；1,即“｛斯｝为递增数列”故选D.例

1.

（3）《名师一号》P6特色专题例2（湖北卷）设U为全集.A,B是集合，贝卜存在集合•C使得A=C,.）A.充足而不必要条件B.必要而不充足条件C.充要条件D.既不充足也不必要条件【规范解答】如图可知，存在集合C,使ACC,B0uG则有ACB=.若AAB=，，显然存在集合C.满足A=C,B=uC.故选C例

1.4《名师一号》P4对点自测5已知p—4vk0,q\函数y=fcr2一履一i的值恒为负，则p是夕成立的A.充足不必要条件B.必要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不必要条件解析:-4vk0=k0,J=A;2+4^0,函数y=kx2—kx—1的值恒为负,但反之不一定有一4vk0,如左=0时，函数了=入2一乙一1的值恒为负，即夕而q书p.可用定义或集合法注意

3、‘运用集合法判断充要条件《名师一号》P6特色专题措施二集合法波及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合有关的命题时，一般采用集合间的包括关系来鉴定两命题之间的充要性.详细对应关系如下若条件p以集合A的形式出现，结论4以集合区的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断.D若4^3,则p是9的充足但不必要条件2若则p是q的必要但不充足条件3若A=B,则p是q的充要条件4若A95,且则P是9的既不必要也不充足条件1小范围是大范围的充足但不必要条件2大范围是小范围的必要但不充足条件补充简记作一一若A、B具有包括关系，则例

2.《名师一号》P5高频考点例

3.10g2X,X0,函数/U=»…有且只有一种零点的2x—a,x0充足不必要条件是A.或°1B.0ar cAalD.a010g2X,X0,解析:由于/%=…有»且只有一种零点[2x—ax09的充要条件为a0或al.由选项可知，使“心0或成立的充足条件为选项D.注意《名师一号》P5高频考点例3规律措施有关探求充要条件的选择题，解题关键是首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；另一方面，运用以小推大的技巧，即可得结论.务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习补充已知且yw2,q:x+y^5贝!是4的9—条件答案既不充足条件也不必要条件例

3.《名师一号》P6特色专题例3已知命题P有关X的方程4x2—2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集,命题q1—mxl+m,m0,若r是F的必要不充足条件，求实数m的取值范围.【规范解答】:「p是f的必要不充足条件，•・・.p是q的充足不必要条件.对于命题P,依题意知A=-2a2—4*42a+5=4a2—8a—200,/--2a10,令P={a|—2a10},Q={x|l_mxl+m,m0},in0,f m0,//1—m—2,或1—m—2,j+m10j+m10,由题意知解得.因此实数m的取值范围是{m|mN9}.注意补充凡结合已知条件求参数的取值范E是求满足条件的等价条件即充要条件练习补充已知p:-2x10;q:l—mxl+mm

0.若「p是「q的必要但不充足条件，求实数机的取值范围.解”是的必要但不充足条件即F与f且等价于q与p pnq即p是q的充足但不必要条件A={x-2x101令B=|xl-mxl+0}mm1——2m4A uB29则即《解得因此实数机的取值范围是m1+m101——2Am4注是B的真子集，须保证《l+m10中的等号不一样步获得例

4.补充求证有关X的方程〃/+2工+1=0至少有一种负根的充要条件是al.证明充足性当〃=0时，方程为2x+l=0的根为“=一；,方程有一种负根，符合题意.当a0时，A=4—4a0,方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实根，且%0,方程有一正一负根，符合题意.当0al时，A=4—4a0,「2八—-o方程%2+2%+1=0有实根，且,-0【〃故方程有两个负根，符合题意.综上当al时，方程ax2+2x+l=0至少有一种负必要性若方程Qx2+2x+l=0至少有一种负根.。