上海交大数值分析课件数值分析

上海交通大学数值分析课程本课件旨在为学生提供数值分析的理论知识和实践技巧，帮助学生理解和应用数值方法解决实际问题课程简介介绍数值分析课程内容应用领域数值分析是数学的一个分支，它研究用数值本课程将介绍数值分析的基本概念、方法和数值分析在科学研究、工程技术、金融等领方法解决数学问题应用域都有广泛应用课程目标掌握数值分析的基本概念熟练运用数值分析方法理解误差分析、数值稳定性以及算法的效率掌握常用的数值解法，包括插值、逼近、数值积分、微分方程数值解法和优化方法能够应用数值方法解决实际问题，并评估其精度和可靠性能够使用计算机软件工具实现数值算法，并进行数值实验数值分析的基本概念数值计算误差分析12用数值方法逼近问题的精确分析数值计算过程中的误差来解，在计算机上进行计算源和传播收敛性分析稳定性分析34分析数值方法的精度和收敛速分析数值方法对初始数据微小度变化的敏感性浮点数和误差分析浮点数表示浮点数是计算机中用于表示实数的一种方式，它将实数表示为一个符号、一个尾数和一个指数舍入误差由于计算机存储空间有限，浮点数的表示会造成舍入误差，这会导致计算结果与真实值之间产生偏差误差传播误差会在计算过程中传播，导致最终结果的误差累积，影响计算结果的精度误差分析误差分析是数值分析中的重要组成部分，它用于估计误差的大小和传播规律，并采取措施控制误差方程的数值解法迭代法1迭代法是一种常用的数值解法，通过不断迭代逼近方程的解牛顿迭代法是一种常用的迭代方法，它利用函数的导数来加速迭代过程直接法2直接法通常通过对系数矩阵进行分解或消元来直接求解方程组的解高斯消元法是一种常用的直接法，它通过对系数矩阵进行一系列初等变换，将方程组转化为上三角形式，从而得到解数值稳定性3数值稳定性是指在计算过程中，由于舍入误差或其他误差的积累，不会导致解的误差过大对于不稳定的数值方法，需要采取一些措施来提高其稳定性，例如使用更高的精度或采用更稳定的方法插值与逼近插值1在已知数据点的基础上，寻找一个函数，该函数能够通过所有已知数据点逼近2找到一个函数，该函数能够尽可能地接近已知数据点，但不要求函数必须通过所有数据点方法3插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等应用4插值和逼近在数值分析中应用广泛，例如函数逼近、数据拟合、数值积分等数值积分数值积分是利用数值方法近似计算定积分的方法这是因为很多函数的原函数无法用初等函数表示，或者原函数过于复杂，难以直接计算定积分牛顿柯特斯公式-利用插值多项式近似被积函数，然后计算多项式的积分1复合求积公式2将积分区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间应用牛顿柯特斯公-式，最后将各个小区间的积分值加起来自适应求积3根据被积函数的性质，自适应地调整积分步长，以提高计算精度微分方程的数值解法欧拉方法1欧拉方法是求解微分方程最简单的方法，也称为一阶方法，它使用微分方程在当前点的斜率来估计下一个点的值，是一种近似解法龙格库塔方法-2龙格库塔方法是更精确的解法，通常使用更复杂的公式来计算-下一个点的值，例如四阶龙格库塔方法-有限差分法3有限差分法是将微分方程转换为差分方程，然后用数值方法求解，常用于求解偏微分方程特殊函数的数值计算特殊函数是数学中广泛应用的一类函数，如伽马函数、贝塞尔函数等它们通常没有显式表达式，只能通过数值方法计算近似公式利用泰勒级数展开或其他近似公式进行计算1数值积分2利用数值积分方法，如牛顿科特斯公式或高斯求积公式，对特殊函数的积-分进行近似计算递归关系3利用特殊函数的递归关系，递推计算函数值线性代数基础向量空间线性变换向量空间是线性代数的核心概线性变换是保持向量空间结构的念，它定义了向量加法和标量乘映射，例如旋转、缩放和投影法运算矩阵行列式矩阵是线性变换的有力工具，它行列式是与矩阵相关的标量值，可以用来表示线性变换和解决线用于描述线性变换的体积变化性方程组特征值和特征向量特征向量特征值矩阵特征值分解线性变换下方向不变的向量，体现矩阵作用特征向量在变换下缩放的比例，反映矩阵对将矩阵分解为特征向量和特征值，简化计的本质特征向量的影响程度算，揭示矩阵的本质特征数值线性代数矩阵运算线性方程组求解涉及矩阵加减、乘法、求逆等基包括直接法和迭代法，如高斯消本运算，并探讨其在数值计算中元法、分解、雅可比迭代、高LU的应用斯赛德尔迭代等-特征值和特征向量计算矩阵分解探讨特征值和特征向量在矩阵分讨论各种矩阵分解方法，如分QR析和线性变换中的重要性，并介解、奇异值分解，以及它们在数绍常用的计算方法值计算中的应用有限差分法离散化1将连续的微分方程转化为离散的代数方程网格节点2在定义域上建立网格，每个节点代表一个离散值近似解3通过求解代数方程组得到近似解有限差分法是数值分析中重要的数值解法它可以用于求解常微分方程和偏微分方程有限元法网格划分将连续的物理域离散化为有限个单元插值函数使用插值函数近似表示单元上的解弱形式将微分方程转换为积分方程组装方程将每个单元的方程组装成全局方程求解方程求解线性方程组得到节点解偏微分方程的数值解法有限差分法将偏导数用差商近似，将偏微分方程转化为差分方程有限元法将求解区域划分为有限个单元，在每个单元上采用插值函数近似求解谱方法使用全局的基函数展开，将偏微分方程转化为代数方程组其他方法包括边界元法、有限体积法等，适用于不同类型的偏微分方程常微分方程的初值问题定义1初值问题是指求解满足给定初始条件的微分方程解数值方法2欧拉方法、龙格库塔法、泰勒级数方法等-应用3物理、化学、工程等领域边值问题边值问题是微分方程的一种特殊类型，其中解的条件不是在时间或空间上的单个点，而是在一个区域或时间段内的边界上给定的定义与分类1边值问题定义，分类，例如二阶边值问题求解方法2数值方法，例如有限差分法，有限元法应用场景3物理模型，工程应用，如热传导，结构力学例如，在热传导问题中，我们可能知道物体两端温度，并需要求解物体内部温度分布边值问题在物理学，工程学，经济学等领域都有广泛的应用方程组的迭代解法当方程组规模较大或系数矩阵较为复杂时，直接求解方法可能效率低下或无法直接实现迭代法是一种通过反复逼近的方式逐步求解方程组的数值方法初值1选择一个初始解向量迭代公式2根据方程组的性质，选择合适的迭代公式迭代过程3使用迭代公式不断更新解向量收敛性4判断迭代过程是否收敛最优化理论与方法目标函数约束条件

1.

2.12定义优化问题的目标函数，描限制优化问题中可行解的范述要优化的目标，例如最大化围，例如资源限制或生产能利润或最小化成本力优化算法应用

3.

4.34寻找满足约束条件并使目标函应用于各种领域，如工程设数达到最优值的解计、金融投资、机器学习等数值最优化基本概念常用算法数值最优化问题寻求在给定约束条件下，使目标函数取得最小值梯度下降法•或最大值的解•牛顿法例如，寻找函数在特定区间内的最小值点，或者寻找满足特•共轭梯度法fx定条件的线性规划问题•单纯形法敏感性分析参数变化影响敏感性分析评估模型参数变化对输出结果的影响优化决策它有助于理解哪些参数对模型结果最敏感，从而做出更明智的决策风险管理通过识别敏感参数，可以更好地评估模型的风险和不确定性插值与逼近实例插值与逼近在科学计算中应用广泛，例如信号处理、图像处理、数据分析等它们提供了一种方法来从离散数据点中构建连续函数，以进行预测、分析和建模插值通过在数据点上创建函数，并在数据点之间进行平滑过渡逼近则寻求找到一个近似函数，尽可能地拟合数据点数值积分实例数值积分应用广泛，如计算面积、体积、物理量的平均值等例如，计算不规则形状物体的体积，可使用数值积分方法通过对物体进行分割并求每个部分的体积，再将它们加起来得到总体积数值积分方法可以用来解决各种实际问题，在工程、物理、金融等领域都有广泛应用例如，计算桥梁的受力情况、分析电路中的电流分布、预测股票价格走势等微分方程数值解法实例数值方法能够为各种微分方程提供近似解这些方法包括欧拉方法、龙格库塔-方法以及有限差分法数值解法在物理学、工程学和金融学等领域中广泛应用，例如模拟电路、预测天气以及建模金融市场线性代数实例数值线性代数在解决实际问题中发挥着重要作用例如，在工程领域，可以使用数值方法求解大型线性方程组，以模拟结构的应力分布和流体流动此外，数值线性代数在数据科学、机器学习和图像处理等领域也有广泛应用非线性方程组实例牛顿法求解割线法求解拟牛顿法求解牛顿法是一种常用的非线性方程组求解方割线法是一种不需要计算导数的非线性方程拟牛顿法是一种不需要计算二阶导数的非线法，它利用泰勒展开式来近似求解方程组的组求解方法，它利用两个点的函数值来近似性方程组求解方法，它利用梯度信息来近似根求解方程组的根求解方程组的根最优化实例最优化实例在数值分析中至关重要，它们提供实际应用的具体案例，帮助我们理解理论方法在解决实际问题的过程中如何发挥作用这些实例涵盖了各种领域，例如工程、金融、机器学习等，并展示了如何通过数值方法来找到最佳解决方案一个典型的例子是设计一个结构，以最大限度地承受外部载荷数值最优化技术可以帮助工程师找到最优的材料分配和形状，以确保结构的稳定性和耐久性在金融领域，最优化技术被用于投资组合优化，以最大化收益和最小化风险通过分析市场数据和风险因素，我们可以使用数值方法来找到最优的资产配置策略总结与展望课程总结未来发展本课程介绍了数值分析的基本理论和方法数值分析领域不断发展，新方法和技术层出不穷涵盖了数值线性代数、插值与逼近、数值积分、微分方程数值解例如，机器学习、深度学习和高性能计算等技术的应用，正在推法等主题动数值分析向更复杂和更现实的应用领域发展参考文献数值分析数值方法

1.

2.12李庆扬，王能超，易大义高，.David KincaidWard等教育出版社机械工业出版社Cheney.数值线性代数数值计算方法

3.

4.34，张成林，刘歆科学出版社Lloyd N.Trefethen David.科学出版社Bau III.。