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勾股定理知识点归纳和题型归类4xga〃+S-Q2=c2,化简可证.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.一.知识归纳四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；S=4x—6Z-i-c2=2ab4-c22表达措施假如直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么/+A2=c2大正方形面积为S=a+〃2=/+2ah+,因止匕a1+b2=c
12.勾股定理的证明措施三S梯形=j（Q+〃）•（〃+人）勾股定理的证明措施诸多，常见的是拼图的措施，用拼图的措施验证勾股定理的思绪是S梯形，化而得证
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化
3.勾股定理的合用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只合用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特性，
②根据同一种图形的面积不一样的表达措施，列出等因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角式，推导出勾股定理三角形常见措施如下
4.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD在MBC中，ZC=90°,则c=，/+/,b=Vc2—cT,a=y/c2—h2
②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理处理某些实际问题
5.勾股定理的逆定理假如三角形三边长，b,满足那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边措施二:2〃+1,21+2〃,2〃+2〃+1（nl的整2
①勾股定理的逆定理是鉴定一种三角形与否是直角三角形的一种重要措施，它通过“数转化为形”来确定三数）角形的也许形状，在运用这一定理时，可用两小边的平数）方和/+/与较长边的平方
7.勾股定理的应用作比较，若它们相等时，以4,b,为三边的三角形是直角三角形；若时，以勾股定理可以协助我们处理直角三角形中的边长的计算b,为三边的三角形是钝角三角形；若4+〃2〉或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股2,时，以b,C为三边的三角形是锐角三角形；定理时，必须把握直角三角形的前提条件，理解直角三
②定理中，b,及^+从二^只是一种体现形式，不可角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满足/+^二/，行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对的使用勾股定理进行求解.那么以，b,c为三边的三角形是直角三角形，不过b为斜边8・.勾股定理逆定理的应用
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成当勾股定理的逆定理能协助我们通过三角形三边之间的数斜边的平方等于两条直角边的平方和时、这个三角形是量关系判断一种三角形与否是直角三角形，在详细推算直角三角形过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思索的用两边的平方和与第三边的平方比较
6.勾股数而得到错误的结论.
①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾
9.勾股定理及其逆定理的应用股数，即/+〃=/中，Q,c为正整数时，称〃，b,c为一组勾股数勾股定理及其逆定理在处理某些实际问题或详细的几何问题中，是密不可分的一种整体.一般既要通过逆定理鉴
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；定一种三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的6,8,10；5,12,13；7,24,25等长度，两者相辅相成，完毕对问题的处理.
③用含字母的代数式表达〃组勾股数题型一直接考察勾股定理丢番图发现的式子例
1.在AA3C中，ZC=90°.m2-ri2,2mn,m2+n2（m n的正整数）（D已知AC=6,BC=
8.求AB的长毕达哥拉斯发现的⑵已知AB=17,AC=15,求3C的长柏拉图发现的2痴一i,/+i（〃i的整题型二应用勾股定理建立方程例
2.则这个三角形的面积为题型三实际问题中应用勾股定理⑴在AABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_L A3于，CD=例
5.如图有两棵树,一棵高8c加,另一棵高2,两树相距8cm,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,梢,至少飞了mo题型四应用勾股定理逆定理，鉴定一种三角形与否是⑶已知直角三角形的周长为30C772,斜边长为直角三角形13cm,则这个三角形的面积为例
6.已知三角形的三边长为Q,b,C,鉴定AABC与否为直角三角形例
3.如图AABC中，ZC=90°,N1=N2,CZ=
1.5,BD=
2.5,求AC的长
①Q=
1.5,b=29c=
2.5®a=-9b=l,4例
4.如图R/MBC,NC=90AC=3,3C=4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积例7•三边长为〃，b,c满足a+b=10,^=18,c=8的三角形是什么形状？题型五勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例
8.已知AABC中，AB=i3cm,BC=10cm,BC边上的中线4=12cm,求证AB=AC.
3、如图，铁两站（视路上A、B为点）相距25直线上两千米，E BAC、D为两个村庄（视为两个点），DA±AB于A,CBA,AB于B,D4=15千米，千米，现要在铁路上建设一种土特产收购站E,使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？
1、在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你懂得乙船是沿哪个方向航行的吗？
4、在河L的同侧有两个仓库A、B相距1640米，其中A距河210米，8距河570米，现要在河岸上建一种货运码头，使得两仓库到码头的旅程和最短，问这个最短旅程是多少？码头应建在何处？
2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长
5、有一种水池，水面是一种边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺假如把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好抵达池边的水面这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？二.勾股定理的逆定理
1.已知，在AABC中，NA,NB,NC的对边分别是a,b,c,a=n2-\,b=2n,c=n2+1（〃1）,求NC的度数经典题训练一.勾股定理
2.在RtZ^ABC中,AC=12,AB=20,求BC的长
3.如图，A,B是公路1（1为东西走向）两旁的两个小村庄，A村到公路1的距离AOlkm,B村到公路1的距离BD=2km,B村在A村的南偏东45方向上.
（1）求出A,B两村之间的距离；
2.ZSABC中,若AC=15,BC=13,AB边上的高
（2）为以便村民出行，计划在公路边新建一种公共汽CD=12,求Z\ABC的周长车站P,规定该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹）
4.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行三.最短途径问题240海里时方北L如图所示是一种三级台阶，它的每一级的长、宽和高向仪坏了，凭分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相-----东►经验，船长指-V「对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食挥船左转90―T-------------1物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬°,继续航行到B点，最短线路是多少？70海里，则距E出发地250海里，你判断船转弯后与否沿正西方向航行？
2.有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点围绕油罐建梯子，恰好到A点的正上方B点，若油罐底面半径是4m,高是7m,n3,问梯子最短是多少米？三.折叠问题L如图,矩形纸片ABCD中,AB如cm,把矩形纸片沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F,若AF=
6.25cm,
3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边求AD的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重叠，求CD的长
5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B，处，点A对应点A,且B03,求CN和AM的长
6.如图，折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，BC=10cm,AB=8cm,求EC的长
2.如图所示,在ZSABC中,AC=10,BC=17,面积四.网格问题CD=8,AD=6,1求BD的长；2求AABC的
1.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1,AABC的三个顶点在格点上，求AABC中AB边上的高六.勾股定理的证明
1.一种直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理一种新的验证措施.如图，火柴盒的一种侧面ABCD倒下到AB C，D的位置，连接CC,设AB=a,BC=b,AOc,请运用四边形BCC，I的面积验证勾股定理a2+b2五.面积问题
1.如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为6和8,求b的面积。
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