2025年命题证明技巧与核心要点深度解析

命题、定理与证明的知识点总结知识构造梳理

二、知识点归类知识点一定义的概念对于一种概念特性性质的描述叫做这个概念的定义如两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义注意定义必须严密的，一般防止使用模糊不清的语言，例如“某些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现知识点二命题的概念论述一件事情的句子（陈说句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈说句是一种命如“你是一种学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等注意

（1）命题必须是一种完整的句子

（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否认的判断，两者缺一不可知识点三命题的构造每个命题均有题设和结论两部分构成题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项一般地，命题都可以写出“假如那么——”的形式有的命题表面上看不具有“假如―，那么——”的形式，但可以写成这种形式如“对顶角相等”，改写成“假如两个角是对顶角，那么这两个角相等”例把下列命题改写成“假如一一，那么——”的形式，并指出条件与结论、同角的余角相等、两点确定一条直线12知识点四真命题与假命题假如一种命题论述的事情是真的，那么称它是真命题；假如一种命题论述的事情是假的，那么称它是假命题注意真、假命题的区别就在于其与否是对的的，在判断命题的真假时，要注意把握这点知识点五证明及互逆命题的定义、从一种命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明1注意证明一种命题是假命题的措施是举反例，即找出一种例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题、一种命题的条件和结论分别是另一种命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的2一种命题叫作另一种命题的逆命题注意一种命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题与否为真，需要详细问题详细分析例说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假

（1）直角三角形的两锐角互余；

（2）全等三角形的对应角相等命题原命题逆命题否命题逆否命题表达若p则q若q则p若p坝IJ qS q则p真可真可假可真可假真央又假可真可假可真可假假可真可假真真可真可假可真可假假假可真可假类型一例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？

（1）对顶角相等；

（2）画一种角等于已知角；

（3）两直线平行，同位角相等；

（4）力两条直线平行吗？

（5）鸟是动物；

（6）若,=4,求a的值；

（7）若则a=b思绪点拨通过本题熟悉命题的定义解析:句子⑴⑶（）⑺对事情作了判断,句子（）52

（4）

（6）没有对事情作出判断.其中⑴⑶

（5）判断是对的的，

（7）判断是错误的.【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？

（1）若ab,则一右一4；Q）三角形的三条高交于一点；

（3）在AABC中，若ABAC,则NC吗？NB

（4）两点之间线段最短；

（5）解方程-2x-3=0；

（6）1+2,

3.【答案】

（1）

（2）

（4）

（6）是命题，

（3）

（5）不是命题.类型二例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“假如……那么……”的形式

（1）三条边对应相等的两个三角形全等；

（2）在同一种三角形中，等角对等边；

（3）对顶角相等；

（4）同角的余角相等；

（5）三角形的内角和等于180°；

（6）角平分线上的点到角的两边距离相等.思绪点拨找出命题的条件和结论是本题的难点，由于命题在论述时规定通顺和简洁，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去.解析

（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最佳把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等可以改写成“假如两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”.（）“等角对等边含义“是指有两个角相等所对的两条边相等可以改写成“假如在同一种三角2形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”值得注意的是，命题中包括了一种前提条件“在一种三角形中”，在改写时不能遗漏.

（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是两个角相等这个命题可以改写成“假如两个角是对顶角，那么这两个角相等”.

（4）条件是“两个角是同一种角的余角“，结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“假如两个角是同一种角的余角，那么这两个角相等”.（）条件是“三个角是一种三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于”.这个命题5180可以改写假如“三个角是一种三角形的三个内角，那么这三个角的和等于；180-（）“假如一种点在一种角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”总结升华6注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整【变式】试将下列各个命题的题设和结论互相颠倒或变为否认式，得到新的命题，并判断这些命题1的真假.⑴对顶角相等；

（2）两直线平行，同位角相等；（）若则；（）两条直线不平行，则一定相交；3a=0,ab=04【答案】⑴对顶角相等（真）；相等的角是对顶角（假）；不是对顶角不相等（假）；不相等的角不是对顶角（真）.（）两直线平行，同位角相等（真）；同位角相等，两直线平行（真）；两直线不平行，同位角2不相等（真）；同位角不相等，两直线不平行（真）.（）若则（真）；若则（假）；若则（假）；若则3a=0,ab=0ab=0,a=0a^O,abWO ab#O,a#）（真）.（）两条直线不平行，则一定相交（假）；两条直线相交，则一定不平行（真）；4两条直线平行，则一定不相交（真）；两条直线不相交，则一定平行（假）.【变式】判断正误2⑴假如两个角是对顶角，那么这两个角相等（）（）假如两个角相等，那么这两个角是对顶角（）2假如两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角3假如两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角4假如两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角5⑹假如两个角的和是那么这两个角是邻补角180°,⑺对顶角的角平分线在同一条直线上假如两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角8【答案】1;2x；3x；4x；54；6x；74；8x注判断题假如是对的的命题需要加以阐明或论证，找出根据，假如是错误的命题，只要举出一种反例即可知识点六公理与定理数学中有些命题的对的性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始根据，这样的真命题叫做公理以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理注意1公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的根据，定理是需要证明；2定理都是真命题，但真命题不一定都是定理例填空同位角相等，则两直线；平面内两条不重叠的直线的位置关系是四边形是平行12;3四边形知识点七互逆定理假如一种定理的逆命题也是定理，那么称它是本来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理注意每个命题均有逆命题，但并非所有的定理均有逆定理如“对顶角相等”就没逆定理知识点八证明的含义从一种命题的条件出发，通过讲道理推理，得出它的结论成立，从而鉴定该命题为真，这个过程叫做证明推理证明的必要性判断猜测的数学结论与否对的，仅仅依托经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理证明命题的环节由题设出发，通过一步步的推理最终推出结论书证对的的过程叫做证明证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此此前学过的定理证明命题的格式一般为按题意画出图形；分清命题的条件和结论，结12合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；在“证明”中写出推理过程3证明的四个注意注意

①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命1

②公理可以作为鉴定其他命题真假的根据注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择某些最基本最常用的真命题作2为定理，可以以它们为根据推证其他命题.这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.注意在几何问题的研究上，必须通过证明，才能作出真实可靠的判断如“两直线平行，3同位角相等”这个命题，假如只采用测量的措施.只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的,但采用推理措施证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.注意证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.

①论据必须是真命题，如；定义、4公理、已经学过的定理和已知条件；

②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；

③论据应是论题的充足理由.例

1.证明两直线平是截线内错角已知分析要求证a//b,cZ1=//b已知角相等等直线平相等行，同位量代换•・・N1=N3对顶角，Z1=Z2只要证即可，由于与是对顶角，根据平行线的性质,N3=N2N3N1例

2.如图所示，已知Z A=Z F,Z C=Z D,求证BD//CE分析要证BD〃CE,只需证得ND=NCEF或ND+NCED=180即可，由于NC=ND,F可以得出AC〃DF,故此题可证因此只要NC=NCEF或NC+NCED=180，这就需要有AC〃DF,由已知条件中的NA二N证明•/Z行AC//DF内错角相直等NON CEF两线又•/Z D二・・・ND=NCEF等量代换，BD〃CE同位角相等，两直…JE F【变式】已知如图正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且ABCD ECD FBC CE=CF求证也1ABCE ADCF若，求的度数2NFDC=30NBEFB C知识点九反证法反证法在证明一种命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，通过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾的结论，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题成立，这种证明措施叫做反正法反证法的基本环节假设命题的结论不成立.从这个假设出发，通过推理论证得出矛盾L

2.有矛盾鉴定假设不对的，从而肯定命题的结论对的3结论的背面不止一种情形的反证法应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论，再全面地否认结论，假如结论的背面不止一种情形，那么必须把多种也许性都列出来，并且在逐一加以否认之后才能肯定原结论对的已知如右图,直线11，b，b在同一平面内，且h〃12，13与h相交于点P.求证与相六.1312使用反证法;握这种措施规律y思绪点拨仔细阅读反证法的定义，掌相交；/n解析证明假设，与不1312即b〃______又•/h〃b与直履平行，11,1312过直线外一点有两条直线12P这与，通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，假设不成立，即求证的命题成立，・•・13与12相交.【变式】用反证法证明也不是有理数1【变式］我们年级有名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日.2367巩固训练把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“假如……，

1.那么……”的形式是命题“假如a2=b2,那么〃=的逆命题是

2.Z”命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一种命题（填

3.“真”或“假”）.

4.如图，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,则AB=CD=4,BC=7,NB=.

5.用反证法证明“b1〃b2”时，应先假设..下列语句中，不是命题的是（）6直角都等于面积相等的两个三角形全等A.90°B.互补的两个角不相等C.作线段D.AB.下列命题是真命题的是（）7两个等腰三角形全等等腰三角形底边中点到A.B.两腰距离相等C.同位角相等D.两边和一角对应相等的两个三角形全等下列命题的逆命题是真命题的是（）

8.A.两直线平行同位角相等B.对顶角相等C.若=乩则/=/D.若（a+l）x〃+1,则x1两条直角边对应相等斜边和一锐角对应相等A.B..下列条件中，不能鉴定两个直角三角形全等的是（）9斜边和一条直角边对应相等面积相等C.D.的三边长,/,满足关系式

（一））（）一）

（一）=0，则这个三角形一

10.AABCA.等腰三角形B.等边三角形定是C.等腰直角三角形D.无法确定.如图，点在正方形的边上，若的长为11E ABCDAB EB1,的长为那么正方形的面积是（EC2,ABCDA.V3B.A/

5、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一种反例阐明.12

（1）有一种角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形.。