《oint类与向量》课件

关节类和向量关节是人体运动的关键,由多个连接的骨头组成向量则是描述物体方向和大小的数学概念,在计算机图形学和运动学中广泛应用本节将详细介绍这两个重要的概念及其在3D动画中的应用类的基本概念Joint关节自由度关节属性12Joint类描述机器人关节的Joint类包含关节位置、角空间自由度,决定了关节的度、速度、扭矩等关键属运动范围性,用于描述关节的状态运动学分析3Joint类在机器人正逆运动学分析中起关键作用,是建立运动模型的基础类的常见类型Joint万向节滑动关节自由度高，可360度旋转，常用允许沿一个轴移动，广泛应用于于机械臂设计各类机械设备铰链关节球面关节仅允许绕一个轴转动，简单可靠可实现三个轴的旋转运动，多见，常见于机械手等于机器人和医疗设备Joint类的定义与分类Joint类的定义关节的自由度Joint是机器人和计算机图形学中用来表示物体连接点的基本概念它通不同类型的Joint拥有不同数量的自由度,表示它在空间中的运动自由度过3个维度来描述位置和姿态信息常见的有1自由度、2自由度和3自由度的关节123Joint类的分类Joint可以分为转动关节和移动关节两种主要类型转动关节用于表示绕某个轴的旋转，而移动关节用于表示沿某个轴的平移类的属性Joint关节自由度关节位置和姿态关节力矩关节类具有不同的自由度,即可以移动关节类可以表示关节在空间中的位置关节类还可以表示关节所施加的力矩,的方向和范围这决定了关节在空间和姿态,包括角度、轴向等信息这是这是描述关节受力状态的关键属性中的运动能力描述关节运动状态的重要参数类的坐标系Joint关节类Joint是机器人学中描述关节运动的基本单元,它定义了关节的坐标系坐标系是决定关节位置和姿态的重要参考系,包含原点、坐标轴和坐标值关节类的坐标系通常采用右手坐标系,其中x轴指向前方,y轴指向左侧,z轴指向上方这种坐标系可以直观地描述机器人手臂或腿部的运动轨迹和位置关系类的位置与姿态表示Joint空间位置Joint类的空间位置可以用三维笛卡尔坐标系X,Y,Z来表示空间姿态关节的空间姿态可以通过三个欧拉角Roll,Pitch,Yaw来描述坐标系转换通过旋转矩阵可以在不同坐标系之间进行位置和姿态的转换向量的概念向量的定义向量的表示向量的作用向量是既有大小又有方向的数学向量通常用粗体字母或带箭头的向量可以用来描述物体的运动状实体,可以用来描述物理世界中的符号来表示,如a、v向量的大态,并进行数学运算,如加法、减法⃗速度、力、位移等物理量小称为模或长度,方向用角度表示、数乘等,进而解决实际问题向量的三种表示形式坐标向量分量形式单位向量向量可以由起始点和终点坐标构成的向量也可以由各个分量值构成的数组向量还可以由方向和大小两部分构成数组表示,例如x,y,z这种形式直表示,例如a,b,c这种形式更加简,其中方向用单位向量表示,大小用长观且便于计算运算洁,适用于抽象数学计算度或范数表示这种形式直观形象向量的基本运算向量加法1两个向量相加，结果仍是一个向量向量减法2两个向量相减，结果仍是一个向量向量数乘3向量乘以一个标量，结果仍是一个向量向量的基本运算包括向量加法、向量减法和向量数乘这些基本运算是学习线性代数的基础,能够帮助我们更好地理解向量在几何空间中的性质和运用向量的加减运算向量的加法1将两个向量相加获得新的向量向量的减法2从一个向量中减去另一个向量得到新的向量向量的线性组合3使用标量因子将多个向量相加向量的加法和减法是两种基本的向量运算通过这些运算，我们可以构建更复杂的向量表达式来描述物理和几何关系理解这些基本运算对于后续学习更高级的向量代数概念和应用非常重要向量的数乘运算概念1向量的数乘指的是将一个向量与一个实数相乘的运算结果仍然是一个向量性质2数乘运算满足交换律、分配律和结合律等性质对向量进行数乘可以改变其长度和方向应用3数乘运算在许多场景中有广泛应用,如缩放向量大小、改变变换方向等它是向量代数中的一项基本运算向量的内积运算定义1两个向量的内积定义为这两个向量对应分量乘积的和计算2通过坐标乘以对应坐标并求和来计算内积性质3内积满足交换律和分配律等基本性质向量的内积运算是向量空间中最基本的运算之一，能够反映两个向量之间的关系内积定义简单明了,通过计算即可得到向量之间的夹角余弦值,为后续的向量分析和计算提供了重要依据向量的外积运算相互垂直1向量a和b所对应的外积c是一个与a和b都垂直的向量方向确定2外积c的方向遵循右手螺旋定则大小计算3外积c的大小等于a和b的面积向量的外积是一种特殊的向量运算,它可以用来计算两个向量所张成的平行四边形的面积,并且得到的结果仍然是一个向量外积运算不满足交换律,但是满足其他向量运算的基本性质向量的范数向量范数表示向量的大小或长度L1范数（曼哈顿范数）各分量绝对值之和L2范数（欧式范数）各分量平方和的平方根L∞范数（最大绝对值范数）所有分量绝对值中的最大值向量的范数是一种度量向量大小的指标常见的三种范数分别是L1范数、L2范数和L∞范数，表示方式各不相同在实际应用中可根据需要选择合适的范数向量的单位向量定义计算方法应用单位向量是指长度为1的向量，用将向量除以其长度（范数）即可单位向量广泛应用于物理、几何来表示方向而不具有大小得到单位向量、计算机图形学等领域，用于描述方向向量的线性组合定义向量的线性组合是指将一组向量按照一定的系数相加得到的新向量这是向量空间中最基本的运算之一表示方法向量的线性组合可以用数学符号表示为:v=a1u1+a2u2+...+anun，其中a1,a2,...,an为标量系数性质向量的线性组合满足加法和数乘的基本性质,是向量空间的基本运算之一向量的线性相关性定义判断标准应用场景如果一组向量可以表示为若一组向量中存在一个向线性相关性在矩阵理论、另一组向量的线性组合,则量可以表示为其他向量的线性代数、信号处理等众称这组向量是线性相关的线性组合,则这组向量是线多领域都有广泛应用,用于否则,称这组向量是线性性相关的如果所有向量判断向量组的独立性和表无关的都不可以表示为其他向量示方式的线性组合,则这组向量是线性无关的向量空间的概念向量空间定义向量空间的性质向量空间的应用向量空间是一个由向量组成的集合,具向量空间具有封闭性、交换性、结合向量空间广泛应用于物理、工程、计有加法和数乘两种基本运算,满足一系性等基本代数性质,使向量运算可以按算机科学等领域,用于描述和分析各种列代数公理向量在此集合中相互之照预期方式进行这些性质保证了向实际问题中涉及的向量和线性关系间可以执行加法和数乘运算量空间作为一个良好的数学结构向量空间是线性代数的核心概念向量空间的性质封闭性线性相关性12向量空间中任意两个向量向量空间内存在线性相关的加法和数乘都属于该向的向量,即某些向量可以用量空间其他向量的线性组合表示内积投影34向量空间中可以定义内积向量在向量空间中可以进运算,使向量空间具有内积行正交投影,得到在某个子结构空间上的投影向量向量空间的基与维数向量空间的基向量空间中的一组线性无关的向量称为该向量空间的基基可以唯一地表示向量空间中任一向量向量空间的维数向量空间的维数为基中向量的个数维数反映了向量空间的大小和复杂度基与坐标表示向量空间中任一向量都可以用基向量的线性组合来表示基向量的系数即为该向量在该基下的坐标正交基与正交向量正交基的概念正交向量的性质Gram-Schmidt正交化正交基是线性无关的向量集合，其中正交向量满足内积为0的条件，即它们通过Gram-Schmidt正交化过程，可以任意两个向量都是正交的这种向量之间没有任何线性相关性这样的向从一组线性无关的向量构造出一组正集合构成了一个向量空间的基量集合具有良好的数学性质交基这是一种重要的数学工具Gram-Schmidt正交化过程选取一组线性无关向量从给定的向量集合中选取一组线性无关的向量作为初始基正交化过程采用Gram-Schmidt正交化方法，将初始基正交化得到正交基单位化正交基将正交基向量单位化得到标准正交基向量在正交基上的表示任意向量都可以表示为标准正交基上的线性组合向量在正交基上的表示在正交基中表示向量可以大大简化向量的计算和分析通过正交基的性质，我们可以将向量唯一地分解为沿每个正交基向量的分量这种表示形式使向量的几何意义更加清晰，并简化了向量的各种运算分量表示1向量在正交基上的表示由各分量组成正交性2正交基向量彼此正交，相互独立唯一性3向量在正交基上的分解是唯一的仿射空间的概念坐标系线性性质变换性质仿射空间中存在一个坐标系,用于描述仿射空间具有线性性质,可以进行平移仿射空间中的点可以经过各种线性变空间中的位置和方向关系、旋转等线性变换换,如平移、缩放、旋转等仿射空间的性质封闭性平行性齐性可嵌入性仿射空间中的任意两个向仿射空间中的向量可以平仿射空间中的所有点都具仿射空间可以嵌入到更高量的和仍然属于该空间,保行移动,不会改变其方向和有相同的性质,没有特殊的维的空间中,保持了几何对持了向量空间的基本性质大小,这种性质在几何变换区分,体现了几何对象的均象的基本性质中很重要匀性仿射空间中的线性变换定义1线性变换是仿射空间中的一种特殊变换,它保持了向量之间的线性关系它可以表示为矩阵乘法的形式性质2线性变换具有保持加法和数乘的性质,即它能将向量的加法和数乘保持不变应用3线性变换在图形变换、机器学习、计算机视觉等领域有广泛应用,是仿射几何的基础仿射变换的性质保持直线性保持平行性12仿射变换保持直线和平面的直线性,即直线变直线,平面变仿射变换保持相互平行的直线或平面在变换后仍然平行平面不保持长度和角度可逆性34仿射变换一般不会保持长度和角度,只会保持比例关系仿射变换通常是可逆的,存在唯一的逆变换来恢复原状几何变换的分类平移变换旋转变换将图形沿一定方向和距离移将图形绕某个固定点旋转一动的变换保留形状和大小定角度的变换保留形状不不变变缩放变换反射变换将图形在一个或多个方向上将图形关于某条直线或某个放大或缩小的变换改变图点对称的变换改变图形的形的大小方向总结与展望展望未来智能技术引领新时代科技与人性的完美融合随着技术日新月异,我们可以期待更多人工智能、机器人等技术的崛起将彻我们应该着眼于如何让科技与人类的令人兴奋的创新和发展,为人类社会带底改变人类的生活,为我们带来无限的价值观、情感需求实现完美的结合,让来巨大的变革可能性科技真正服务于人类发展。