解析几何中的最值问题师

解析几何中的最值问题（师）解析几何中的最值问题大致可分为两类一是求夹角、面积、距离最值或与之相关的一些问题,二是求直线与圆锥曲线（圆）中几何元素的最值或与之相关的一些问题这类问题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，因而这类最值问题成为历年各省市数学高考中的热点和难点考生在解答该类问题时，常常表现为无从下手，或者半途而废解决这类问题的关键在于通观全局，局部入手，整体思维宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路的整体设计上狠下功夫即可顺利过关这类问题的解决方法虽没有固定的模式，但也有规律可寻，下面通过一些例题的分析归纳,总结解析几何中最值问题的一些求法

一、曲线定义法【理论阐释】圆锥曲线的定义刻画了动点与定点（或定直线）距离之间的不变关系，利用这种不变关系，化动为静即可很快解决问题此种题型多以选择题或填空题出现，关键要对曲线定义及曲线几何性质等概念理解透，用得活，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可考虑利用圆锥曲线的定义去研究解决.【典例导悟】【例1】直线4:4x—3y+6=0和直线4x=—1，抛物线V=4x上一动点尸到直线1137A.2B.3C.—D.—5164和直线4的距离之和的最小值是（由图可知，距离和的最小值，即F到直线Zi的距离【解析】选A.如下图，动点P到/2x=-1的距离可转化为PF的距离1=4=

2.22【例2】F是双曲线土-匕=1的左焦点,412A（l,4）,尸是双曲线右支上的动点，那么竹+~4的最小值为【解析】注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为Fr（4,0）,于是由双曲线性质|PF|一|尸方|=2a=4而|PA|+|P尸云|A二|=5,两式相加得|PF|+|PA］云

五、三角函数法【理论阐释】利用圆、椭圆的标准方程的结构特点，进行三角代换借助于三角函数的有界性，求出与它们有关的最值利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是解题的关键要注意代换的等价性【典例导悟】【例1】在平面直角坐标系xOy中，点Px,y是椭圆一+y=1上的一个动点，求x2JQ=73cosD、解析因椭圆一+y2=1的参数方程为1—为参数故可设动点尸的坐标为3y=sin°J5cos0,sin，其中百］71因此S=x+y=/3+sin=2^—cos0+—sin=2sin0+一,A COS/兀c所以当一时，S取最大值

2.6

六、不等式法【理论阐释】在用根本不等式求最值要掌握“配凑”.方法与技巧，三条件“一正二定三相等”须同时具备缺一不可【典例导悟】225+==1a b0过M⑵/,N,1两点，O为坐a b标原点,9【例1】设椭圆E:I求椭圆E的方程;H是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且Q4,03假设存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，假设不存在说明理由【解析】〔I〕因为椭圆E:+斗=1〔a,b0〕过M〔2,血〕,N后，1两点，所以a b,421~2O《二8,椭圆E的方程为E+K b2=4]，所以

8461、屋+庐〔IIX设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且Q4_L0B,设该圆的切线方程为y=kx+m=辰+加解方程组得x2+2kx+m2=8,22—+—=1184即1+2%2%2+4hnr+2/n2-8=0,那么16公/_41+262/-8=88左2—加？+4〉，即跳？—加2+44km22y y={kx+mkx+m=k^xx+kmx+x+m212[2[2122m-8公2疗-84k2m2加之_8左22;--------------------------z-+m=---------------丁要使4_L OB,需使X1%+y%=°，2加8根8k0/o r\1—8c2—2—2222-----------即-----------H厂=0,所以3zn—8左一8=0,所以2二--------------------0m282/62/62A、A又8左—根+40,所以22v.，所以相-------一，即根2或根W------------23m8333因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径r=,户=病=一_=§,即「=豆5,所求的圆为/+/=号，此时圆V17F1+z2]3/—8333+8的切线=辰+m都满足加之马员或加工―马员，而当切线的斜率不存在时切线为33222/6v2/6,2/62逐、2a、A YA AZX Zx=土包.与椭圆±+二=1的交点坐标为或一一—满足3843333综上存在圆心在原点8的圆x+y=—，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且4_L

03.34kmx+x-------------~1+2左/、\2/2/，所以（为一/）=（%+%）—/4km筌.2m2-88（8左—根+4）22---------（）-4x7l+2k28（8公—加2+4）324左+5）42+1（1+公）4/+4左2+1k2[1+32Tn］，4左4+4左2+1V2=T^F3211

①当左w0时，I A81=------------------—[1+],因为4k2+—+48,所以234Z:+-y+4卜132321ri——]12,所以改指|AB\2g°T4人不——-，所以一—[1++43-----------------------------------------------当且仅当左二土立时取“=24x/6

②当人=0时，|A8|=1^3-2462瓜,2/62亚A

③当AB的斜率不存在时，.两个交点为（---------------,±--------）或（---------,±--------），所以此时iw=乎综上，|AB|的取值范围为士后〈I AB区2百即IA5仁止跖2强3322］［例2直线x—2y+2=0经过椭圆C:二+==1（〉人＞0）的左顶点A和上顶点cr bD,的右顶点为3,点S是椭圆上位于1轴上方的动点，直线AS,5s与直线/%二分别交于M,N两点3的方程;（I）求椭（）II求线段MN的长度的最小值;（皿）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点7,使得ANB的面积为,？假设存在，确定5点了的个数，假设不存在，说明理由【解析】〔I〕由得，椭圆C的左顶点为A（—2,0）,上顶点为a=2,b=l故椭圆C的2X2,方程为一+/=1,4（II〕直线AS的斜率上显然存在，且左＞0,故可设直线AS的方程为y=左（工+2）,从而M（W,呸），＞（）=%%+2由112得（1+4左2）入2+16左2%+16左2一4=0设S（%,y）,那么2—+y=11416k2-42—8/4k2-8/4k即S丁得%=从而,-•X]=z,y=-1+4尸’1+4左111+4左1+4k%1+4左22252,010y--77%―2x二—16k14左

231.,衅,4,故鹏二----------1------,得一藐33k10x=一16k\6k1_8,即攵=，时等号3+A16k1又女〉O,・・.|MN|二当且仅当4~^3k~333k成立.[

8.,・%=—时，线段MN的长度取最小值一〔川〕由〔II〕可知，当脑V线段取最线段小值时，k=-4644近此时直线BS的方程为x+y—2=0,s—,—,/.|BS|=-----172要使椭圆上存在点丁，使得ATS5的面积等于一，只须7到直线的距离等于——，所以T54在平行于3S且与BS距离等于孝的直线/上设直线/:x+y+t=O\t+2\V

23、5那么由—■=—=—解得t=—或/=—.V24229,当且仅当A、P、b三点共线时等号成立.【答案】9【例3】以原点为中心的双曲线的一个焦点D6且离心率e=

45.1求该双曲线的方程；2如题20图，点A的坐标为-石,0,2x=1上的点，点M在双曲线右支上,求|M4|十|MB|的最小值，并求此时〃点的坐标;【解析】〔1〕由题意可知，双曲线的焦点在X轴上，故可设双曲线的「八一45a2^5由准线方程为x=—22得———,x y,〉0,Z〉0,设c=da2+t25c5方程为----------—=1由e=得£=逐解得〃=1,=逐，从而〃二2,二该双曲线的方程为，ax1II〕设点D的坐标为J5,0,那么点A、D为双曲线的焦点，|MA|—|MZ|=2a=2所以\MA\+\MB\=2+\MB\+\MD\^2+\BD\由5是圆J+—石尸=i上的点，其9圆心为co,6，半径为1,故=-1从而\MA\+\MB\^2+\BD V10+1当M,5在线段CD上时取等号，此时|MA|+1M例的最小值为J16+1直线CD的方程为y=—％+J5,因点M在双曲线右支上，故4%2—y2=4-^+4/2A x0由方程组解得X=——-——，y y——x+346-4后》-----------------所以M点的坐标为3—/5+4\/24/5—4\/2A;—35

二、平面几何法【理论阐释】有些最值问题具有相应的几何意义如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式,平面中两点之间线段最短等等，假设能恰当地利用其几何意义，那么可数形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解【典例导悟】【例1】x+y+l=O,那么Jx—l2+y—12的最小值为.【解析】所求Jx-l2+y_l2的值可看成直线％+y+1=0上的动点到定点1,1的距离,3逝3/2A其最小值即定点到定直线的距离d=.答案2~2~【例2】两点A-2,4,83,1,在x轴上找一点C,求点C到A、B两点的距离的和的j小值.【解析】在工轴上任取一点M,且找到点A—2,4关于x轴的对称点—2,—4,那么+忸闾=|射+忸射引回二50,此时C2,

0.⑴求—的最大值和最小值;x+3【例3】x、y满足x—2『+y—2『=ly22,⑵假设b=2x+y,求，的最大值和最小值.【解析】如下图，12士|的值，可以看作半圆上的动点Px,y与定点M-3「3的连线的斜率k x+3的值，故等价于直线丁+3=左％+3与半圆有交点时斜率k的最值问题，结合图形知k kk.因为A3,2,所以左%=3,kMA M8为与半圆相切的直线的斜率，从而有MB62k—2+3k—343-oF^=1得%=3或仁丁舍.故而f.所以备的最45大值和最小值分别为一一.3626的几何意义为直线的纵栈距，相当于直线与半圆有交点时求纵截距的最值，结合图形知直线过E1,2时,6最小为4；当过点尸时，直线和半圆相切时”有最大值，由6-b=1,得Z=6±G舍小值.而4V〃V6+J

5.所以的最大值和最小值分别为6+75,

4.

三、函数法【理论阐释】解析几何中的许多问题可通过选择恰当的变量转化为函数如一次函数、二次函数、三次函数、对号函数等的最值问题，在利用二次函数求最值时要注意自变量的取值范围及对称轴位置，当对称轴位置不确定时，必须进行分类讨论【典例导悟】二次函数配方法2【例1】双曲线C亍-俨=1,P为上的任意一点1求证点尸到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；2设点A的坐标为3,0,求|尸A|的最小值.【解析】〔1〕证明设PXi，yJ是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是I x—2y.Ix—2y=0和x+2y=

0.点P%，X到两条渐近线的距离分别是厂力和1|%+2y|-2y\I x,+2y||x2-4）；

214.先入立11[l，它们的乘积是一」厂——厂二—!---------乙-二一.即点P到双曲线的两―广V5V5V555条渐近线的距离的乘积是一个常数.〔2〕设P的坐标为（x,y）,那么|P4|2=（x—3）2+y2N f151242------------------=1一3+1=-%厂+一4455]242^/5当工=—时，|PA|有最小值为一，即的最小值为----------------.【例2】如图，抛物线£V=x222M:x-4+y=r r0三次函数求导法相交于A、B、C、D四个点（）1求r的取值范围（）2当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标【解析】

（1）将抛物线石丁=%代入圆〃（%—4）2+丁=2

[1]抛物线石2=%与圆/:（工一4）2+丁2二12（厂〉0）相交于

4、B、C、O四个点的充要条件是方程〔1〕有两个不相等的正根r049-416-r20-V15-e、小即r-或r〉22Xj+x=702-4r4Xj-x=16——20解这个不等式组得〔2〕设四个交点的坐标分别为A（X[,JR）、伏C（%2，—JE）、O（%2，JE）那么由〔1〕根据韦达定理有％+x=7,石々=16—产，r2G,4那么后=工玉喜+后S=J-2|%2_%1+12_1S2=[%+x22-4X]X2]X[+O+21%2=7+216—14户一152r=t那么S=7+227—2下面求S2的最大值9令,16一方法1利用三次均值求解三次均值目前在两纲中虽不要求，但有时在处理一些最值问题时很方便它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似由三次均值有:广=7+2*7—*7+的7+2…17+2t+7+2t+14—Art3=7当且仅当7+2/=14—4%,即/=一时取最大值经检验此时满足厂£,46方法2设四个交点的坐标分别为氏、％2,—JE、％2，、区那么直线AC、BD的方程分别为x-x2x解得点P的坐标为J//Q°___________________I7设t=d工逮2,由t=J16一/及〔1〕得，e o,_由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S=L2j[+2jKI%]一%2I2那么S2=巧+2巧工2+%2[巧+X22—4巧“2]将1+工2=7,,a32=£代入上式,并令/，=S2,得7ft=7+2/27-20=-8Z3-28/+98,+3430/-,277•••/、«=-24/-56t+98=-22/+76,一7,令/、«=0得f=—,或£=一一627777；〔舍去〕当Ovt—时，/、力0当，=一时/、«=；当一V£V—时，/、«v0666277故当且仅当£=一时，ft有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为一,0o66【例3】在平面直角坐标系xOy中，点P到点F3,0的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和；I求点P的轨迹CII设过点F的直线，与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值【解析】〔I〕设点P的坐标为〔X,y〕，那么d=4jx—3+y2+3|X-2|22当x2时，由

①得JX—32+产6--x,化简得工+J.23627由题设d=18+x,即4JX—32+y2+31x-21=18+x

①当xV2时.由

①得.

③化简得V=12XII如图2所示，易知直线x=2与2的交点都是A[2,2/6X B2,-2/6X直线AF,A ABF的斜率分别为左4产二一2，k=2V

6.BF当点P在G上时，由

②知PF当点P在2上时，由

③知PF=3+x假设直线/的斜率k存在,那么直线/的方程为y=Zx—3当kWZ.，或k，

⑥，即kW-2aF或k，2通时，直线/与轨迹C的两个交点M〔用,%〕，N[七,yj都在C1上，此时由

④知22I MF|=6—X,I NF|=6-—X..从而|MN|=|MF|+|NF|]222〔6一—七〕+6--X=12--X,+X212222y=%x-3得3+4左2/-24左21+36攵2-108=

0.那么屈，x是这个方程的两1222——=i1362724k2,I MN|=12--〔占+x]=12-2k根，所以元1+X3+4左223+4左22因为当左W-2瓜或k2c时,k224,12100------------所以|MN|=127=12-113+4/之3彳11k2—+424当且仅当左=±2直时，等号成立当仁左左.，即一2%2«时，直线/与轨迹C的两个交点M%,y,NX2，y2分别在上，不妨设点M在G上，点N在G上,由

④⑤知，|/刊=6—工X],|N司=3+々，设直线AF与椭圆G的另一交点为,%,则%

2.EX oX],%2MF=6--x,6--x0=|EF|,|A^F|=3+x23+2=|AF|22|£E|+||=||,AF AEA EG所以|朋叫=|而点都在上,且％=—2遥，有⑴知|A©=*，所以|MN|¥么玉=x2=3,此时|MN|AE.假设直线，的斜率不存在，那=12—工%+%=911〜，，100综上所述，线段MN长度的最大值为——11

四、判别式法【理论阐释】利用条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程的判别式寻求题目的答案利用判别式求最值要有主元变换的思想，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的【典例导悟】225+器=1（”“）的右顶点为A（l,0）过G的焦点且垂直长轴的弦长为1・【例1】椭圆G（D求椭圆G的方程;di）设点P在抛物线Gy=x2+h（heR）±G在点P处的切线与G交于点M，N.当线段AP9的中点与MN的中点的横坐标相等时，求力的最小值.人=1「9a=222【解析】〔I〕由题意得《A,.，所求的椭圆G方程为匕+/=2——=1b=l

4.a〔II〕不妨设M（X]，H）,N（X2，y2），尸亿产+小），那么抛物线2在点P处的切线斜率为y=2t，直线MN的方程为y=2tx-t2+h,将上式代入椭圆G的方程中，得x=4/+（2枕一/+丸）2—4=0,即4（1+产）％2一小（产一0X+Q2—02-4=0,°设线段MN的中点的横坐标是与，那么当,设线段PA的中点的横坐标是同，Xj+x_tt-h2因为直线MN与椭圆G有两个不同的交点，所以有A12=-162]—1+/r+2（力+2）产一力2+40,t+19那么/=——,由题意得x=x,即有r+l+/tt+l=0，其中的A=1+Zi2—420,・34二/z21或/z—3；当/z—3时有+20,4—0,因此不等式A1=16—+2/z+2/一九2+40不成立；因此ZzZl,当Zz=l时代入方程t2+l+ht+l=0得t=-l,将h=l,t=-l代入不等式A1=16「一/+2/z+2/—/2+4］〉0成立，因此Zz的最小值为

1.。