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第一章控制系统的状态空间体现式
1.状态空间体现式x=Ax+Bun阶w:rxl A:nxn B:nxr C:rnxn D:mxry=Cx+DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联络；B为输入（或控制）矩阵，表达输入对每个状态变量的作用状况；C输出矩阵，表达输出与每个状态变量间的构成关系，D直接传递矩阵，表达输入对输出的直接传递关系
2.状态空间描述的特点
①考虑了“输入一状态一输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出
②状态方程和输出方程都是运动方程
③状态变量个数等于系统包括的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择
④状态变量的选择不唯一
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观测的量更为合适
⑥建立状态空间描述的环节a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算措施，尤其适合于用计算机计算
3.模拟构造图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟构造图的环节积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在合适的位置，每个积分器的输出表达对应的某个状态变量，然后根据状态空间体现式画出对应的加法器和比例器，最终用箭头将这些元件连接起来
4.状态空间体现式的建立1由系统框图建立状态空间体现式a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成对应的模拟构造图；b每个积分器的输出选作匕，输入则为司；c由模拟图写出状态方程和输出方程2由系统的机理出发建立状态空间体现式如电路系统一般选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量运用KVL和KCL列微分方程，整顿
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间体现式，即实现问题实现是非唯一的措施微分方程一系统函数-模拟构造图—状态空间体现式注意a假如系统函数分子累次等于分母鼎次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作b模拟构造图的等效如前馈点等效移到综合反馈点之前p28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟构造图
5.状态矢量的线性变换也阐明了状态空间体现的非唯一性不变化系统的特性值特性多项式的系数也是系统的不变量特性矢量Pi的求解也就是求（4[-A）X=O的非零解状态空间体现式变换为约旦原则型（A为任意矩阵）重要是要先求出变换矩阵a互异根时，各特性矢量按列排b有重根时，设3阶系统，4=4,4为单根，对特性矢量P3求法与前面相似，称作4的广义特性矢量，应满足（4/-A）〃2=-Pl系统的并联实现特性根互异；有重根措施系统函数-部分分式展开—模拟构造图—状态空间体现式
6.由状态空间体现式求传递函数阵W（S）W（s）=C（sl-A）T+B+D mxr的矩阵函数[W..]W..表达第j个输入对第i个输出的传递关系JJ状态空间体现式不唯一，但系统的传递函数阵W（s）是不变的子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间体现及传递函数阵W（s）措施画出系统构造图，理清关系，用分块矩阵表达第二章控制系统状态空间体现式的解
（1）分离性复合系统（由观测器构成的状态反馈闭环系统）其特性多项式等于矩阵A+BK和A—GC特性多项式的乘积即闭环系统的极点等于直接状态反馈（A+BK）的极点和状态观测器（A—GC）的极点总和，且互相独立因此输出误差反馈阵G和状态反馈阵K可以分别进行设计
（2）传递函数矩阵的不变性可以推出复合系统的传递函数为W（s）=C[sl—（A+B,等于直接状态反馈闭环系统的传递函数或者说它与采用观测器反馈无关
（3）观测器反馈与直接状态反馈的等效性稳态时，两者等价选择K,可以变化闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能选择G,可以变化观测器的极点，从而加速使状态误差％一主衰减到o一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点（CA+BK）的极点）略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰
3.设计环节（只给出低阶系统的设计环节）
①判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵K和观测器输出误差反馈阵G存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置
②设计状态反馈阵K求A+BK的特性多项式为（丸），由期望的闭环极点得期望的特性多项式力/
（2），比较系数，从而得到K
③设计观测器输出误差反馈阵G求A—GC的特性多项式儿
（4）,由观测器期望的配置极点得期望的特性多项式九*
（2）,比较系数，从而得到G
④给出观测器方程即*2式
⑤结合*1式和*3式，画出对应的模拟构造图一.线性定常系统齐次状态方程（文=Ax）的解二.矩阵指数函数一一状态转移矩阵
1.⑺二e”表到达x
（0）X）的转移5个基本性质
2.的计算a定义；b变换为约旦原则型A（^J）=T-y ATeAt=TeM T-^TeJt T-［yc用拉氏反变换=£-1［（5/-A）-,］记忆常用的拉氏变换对11/、I I-fit Ifj〃!—（it I♦CD s---------------------------------------------------）（；）5Q—l;l O—/—r e―;t———-\te—-;smcot——-;cosa t——7S YS+4S向（S+〃）2S2+CO2S2+CO2d应用凯莱-哈密顿定理三.线性定常系统非齐次方程（文=Ar+3〃）的解工）=）］
（0）+［«一了）及4
（7）1丁可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思绪）求解环节先求«）=e4,然后将B和u⑴代入公式即可特殊鼓励下的解第三章线性控制系统的能控性和能观性一.能控性及能观性定义（线性持续定常、时变系统，离散时间系统）二.线性定常系统的能控性鉴别（具有一般系统矩阵的多输入系统）鉴别措施
（一）通过线性变换x=Ax+Bu z=T~}ATz+T~x Bui.若A的特性值互异，线性变换（、=姓）为对角线原则型，\=TAT、能控性充要条件没有全为o的行变换矩阵T的求法2,若A的特性值有相似的，线性变换kx=Tz＞为约当原则型，J=T-AT,能控性充要条件
①对应于相似特性值的部分，每个约当块对应的中最终一行元素没有全为0的
②中对应于互异特性根部分，各行元素没有全为的变换矩阵T的求法这种措施能确定详细哪个状态不能控但线性变换比较复杂，关键是求
7、T，T B.,鉴别措施
（二）直接从A B鉴别x=Ax+Ba能控的充要条件是能控性鉴别矩阵M=（民45人2民・・・4〃-13）的秩为n在单输入系统中，M是一种〃x〃的方阵；而多输入系统，A/是一种〃x〃〃的矩阵，可通过%mLM=也〃左（脑07）三.线性定常系统的能观性鉴别元=Ax z=T-l ATz鉴别措施
（一）通过线性变换「Ty=Cx y=TCzi.若A的特性值互异，线性变换Qx=Tz）为对角线原则型，N=TAT,能观性充要条件7C中没有全为0的列变换矩阵T的求法
2.若A的特性值有相似的，线性变换kx=Tz＞为约当原则型，J=T-］AT,能控性充要条件
①对应于相似特性值的部分,每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为o的
②对应于互异特性根部分，对应的TC中各列元素没有全为o的变换矩阵T的求法这种措施能确定详细哪个状态不能观但线性变换比较复杂，关键是求
7、厂
1、TC.,鉴别措施
（二）直接从A c鉴别C、CA能观性的充要条件是能观性鉴别矩阵N=.的秩为no在单输入系统中，N是一种〃x孔的方阵；而多输入系统，N是一种/W2X的矩阵，可通过北/成几/成（脑0，）六.能控性与能观性的对偶原理
1.若人2=人，B二C,C=B；,则£］（4，用，］）与22（4，52，2）对偶对偶系统的传递函数阵是互为转置的且他们的特性方程式是相似的
2.3与对偶，则E1能控性等价于能观性，％能观性等价于能控性时变系统的对偶原理？？？？七.能控原则型和能观原则型对于状态反馈，化为能控原则型比较以便；对于观测器的设计及系统辨识，能观原则型比较以便
1.能控原则I型（假如已知系统的状态空间体现式）
①鉴别系统的能控性
②计算特性多项式|浦一%1元1+,・・%2+（），即可写出1
③求变换矩阵0〃］=「
④求,计算,c=cT,也可以验证与否c{Pl
12.能控原则n型
①鉴别系统的能控性
②计算特性多项式|几/—A|=/l〃+・・・）+0,即可写出11I
1.o_
③求变换矩阵42=g，A，…，4切
④求.2，计算〃二42一〃二.,石=叫2,也可以验证与否有**0=-}.A TATC2C
23.能观原则I型
①鉴别系统的能观性
②计算特性多项式1〃一4|=几〃+%_］元I+・・・）+（），即可写出彳
③求变换矩阵cA
④求，i，计算人=一%,c=cT=■[10…0],也可以验证与否有A=（「
[1]oX
4.能观原则n型「2=h，ATo・・，AiT」，0
④求（）2，计算=7021b，c=CT=[o0・・・1],也可以验2
①鉴别系统的能观性
②计算特性多项式|加一A|=2〃+*_]/T+・・・4%+劭，即可写出彳
③求变换矩阵证与否有彳=，2一%7；
25.假如已知传递函数阵，可直接写出能控原则I型和能观原则n型的状态空间体现Ws=瓦./日+瓦-2S〃-2+・・・+4+4S-0100o00100*•••能控原则I型A=::b=00010一%一aa・・一n-\o a21-00…0一〃o-A-10…0-Q]AA=01…0—电b=**c=[00・・,1]*•••*A-2••••••••••■—a・・n-00•1一〃一〃一N]+Cl Sn+Cl2+•♦•+〃[$+〃x I1U八.线性系统的构造分解
1.按能控性分解（状态不完全能控，即S〃上0=〃[H）,通过非奇异变换了=凡|完毕=（-・・R〃1・・・R〃）,前/个列矢量是M中/个线性无关的列，其他列矢量保证（非奇异的条件下是任意的
2.按能观性分解（状态不完全能观，即几〃），通过非奇异变换了=芝完毕t\氏R；能观原则n型:R,，前/个行矢量是N中0个线性无关的行，其他行矢量保证均「非奇异的条件下是任意的
3.按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐渐分解法，虽然啰嗦，但直观环节
①首先按能控性分解（七,能控状态，Z不能控状态）
②对不能控子系统按能观性分解（X为不能控能观状态，X而不能控不能观状态）
③将能控子系统按能观性分解（Z”能控能观状态，工卤能控不能观状态）
④综合各步变换成果，写出最终的体现式另一种措施化为约当原则型，判断各状态的能控性能观测性，最终按4种类型分类排列九.传递函数阵的实现问题
1.实现的定义由W（s）写出状态空间体现式，甚至画出模拟构造图，称为传递函数阵的实现问题条件
①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；
②元是s的真有理分式注意假如不是有理分式，首先求出直接传递矩阵=limMs）5-
002.能控原则型和能观原则型实现单入单出系统，W（S）是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控原则1型和能观原则2型实现多输入多输出系统，W（s）是矩阵，将W（s）整顿成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即,；+附,+4Ws=；此时的为又・・・Az-1是mxr维常数阵其能控原则型和能观S+a_S+2s FQ]S+n x原则型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I,常数变为常数乘单位矩阵，即一%注意能控原则型实现的维数是〃xr；能观原则型实现的维数是〃xm
3.最小实现（维数最小的实现）x=Ax+Bu「为W（s）最小实现的充要条件是E（A B.C）是完全能控能观的y=Cx环节对给定的W（s）,初选一种实现（能控原则型或能观原则型），假设选能控原则型，判断与否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，深入找出能控能观部分，即为最小实现注意传递函数阵W（s）的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的十.传递函数W（s）中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充足条件，也就是说，虽然存在零极点对消，系统仍有也许是能控能观的（P147例3-19）o对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断究竟是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观第四章稳定性与李雅普诺夫措施一.稳定性的定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍合用的稳定性定义
1.平衡状态\=）（演为齐次状态方程满足对所有3均有/（%/）三成立的状态矢量互称为系统的平衡状态稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的一般只讨论坐标原点处的稳定性
2.稳定性的几种定义
①李雅普诺夫意义下稳定，（相称于自控里的临界稳定）；
②渐近稳定，（相称于自控里的稳定）；
③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一种平衡状态；
④不稳定二.李雅普诺夫第一法（间接法）
1.线性定常系统的稳定判据状态稳定性平衡状态=0渐近稳定的充要条件是A的所有特性值具有负实部输出稳定性充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面
2.非线性系统的稳定性线性化处理©==—，若A的所有特性值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态/斩近稳定若A的人x=xe所有特性值至少有一种具有正实部，则原非线性系统在平衡状态演不稳定若若A的所有特性值至少有实部为零，则稳定性不能有特性值的符号来确定三.李雅普诺夫第二法直接法借助于一种李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断
1.预备知识Vx是由n维矢量X定义的标量函数，且在x=0处，恒有Vx=0,对任何非零矢量X,假如Vx0,则称之为正定；假如Vx0,则称之为负定；假如Vx0则称之为半正定或非负定；假如Vx0则称之为半负定或非正定；假如1/0:0或丫K0,则称之为不定Vx=x7为二次型标量函数，P为实对称阵要鉴别Vx的符号只要鉴别P的符号即可P的定号判据希尔维特斯判据首先求出P的各阶次序主子式A,.，若所有的A,〉，则尸Vx正定；若i=偶数的0,i=奇数的则Vx负定；
2.李雅普诺夫函数对于一种给定系统，假如能找到一种正定的标量函数Vx,而.X是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数Vx叫做李雅普诺夫函数李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数Vx的问题
3.稳定性判据
①设文=,fx,平衡状态为乙=0,假如存在标量函数Vx是正定的，即x=0时，有Vx=0,xwO时，有Vx0,且满足.x，则称原点平衡状态是渐近稳定的；假如当IMfs时，8,则系统是大范围渐近稳定的
②设兑=/x,平衡状态为匕=0,假如存在标量函数Vx是正定的，即x=0时，有Vx=O,xwO时，有Vx0,且满足廿x«0,但除x三0外，即xwO,廿x不恒等于o,则称原点平衡状态是渐近稳定的；假如当8时，8,则系统是大范围渐近稳定的
③设\=/x,平衡状态为乙=，假如存在标量函数Vx是正定的，即％=0时，有Vx=0,XW0时，有Vx0,且满足廿x«，但任意的九0,欧x恒等于o,则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的
④设\=/x,平衡状态为％=，假如存在标量函数Vx是正定的，即尤=0时，有Vx=0,xwO时，有Vx0,且满足.x0,,则称原点平衡状态是不稳定的需要注意
①这些判据定理知识充足条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不能阐明原点一定是不稳定的
②假如Vx是可找到的，那么一般是非唯一的，但不影响结论
③Vx最简朴的形式是二次型标量函数，但不一定都是简朴的二次型
④构造Vx需要较多技巧四.李雅普诺夫措施在线性系统中的应用
1.线性定常持续系统渐近稳定判据定理.x=若A是非奇异的，原点七，=是唯一的平衡点原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵，李雅普诺夫方程AT p+PA=-Q存在唯一的对称正定解P O9该定理等价于A的特性值具有负实部但高阶系统求解特性值复杂环节选定正定矩阵，一般为Q=/,代入李雅普诺夫方程，确定出P,判断与否正定，进而做出系统渐近稳定的结论第五章线性定常系统的综合综合常规综合，使系统性能满足某种笼统指标规定；最优综合，使系统性能指标在某种意义下到达最优一.线性反馈控制系统的基本构造及其特性
1.状态反馈将系统的每一种状态变量乘以对应的反馈系数，然后反馈到输入端与参照输入相加，作为受控系统的控制输入K称为状态反馈增益阵，rx/io设原受控系统=A氏，D=0ox=A+BKx+Bv「X状态反馈闭环系统的状态空间体现式简称K=A+BK,B,Cy=Cx与原受控系统Zo=4优比较，状态反馈增益阵K的引入，并不增长系统的维数，但可以通过K的选择变化闭环系统的特性值，从而使获得所规定的性能
2.输出反馈由输出端y引入输出反馈增益阵H rxm,然后反馈到输入端与参照输入相加，作为受控系统的控制输入状x=A+BHCx+Bv「态空间体现式为简称=A+BHC,B,Cy=Cx通过H的选择也可以变化闭环系统的特性值，从而变化性能，但可供选择的自由度远比K小一般相〃
3.从输出到状态变量导数文的反馈从输出y引入反馈增益阵G nxm到状态变量的导数无，所得状态空间体现式为x=A+GCx+Bu「；简称=A+GC,氏Cy-Cx通过G的选择也可以变化闭环系统的特性值，从而变化性能以上三种反馈的共同点是，不增长新的状态变量，系统开环与闭环同维，另一方面，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为线性反馈
4.闭环系统的能控性与能观性a状态反馈不变化受控系统X=AB,C的能控性，但不保证系统的能观性不变b输出反馈不变化受控系统=A氏的能控性和能观性二.极点配置问题就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所但愿的动态性能只讨论单输入单输出系统
1.采用状态反馈对系统Zo=A,Z,C任意配置极点的充要条件是Zo完全能控给定Z0=A/,c，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的措施:⑴能控规范型法，适合于〃23
①首先判断与否完全能控，是，则存在状态观测器
②通过线性变换x=无化为能控原则1型，得到斤二及51
③加入状态反馈增益矩阵底=[%,无，・・・,£,得到闭环系统=X+5,5,复K O状态空间体现式，求出对应的闭环特性多项式/2=|AI-A+bK\o
④由给定的期望极点，求出期望的闭环特性多项式/\2=n2-2/o
⑤将/㈤与/％比较，即可得到冗二仅0,无,・・・£_/
⑥把对应与手的玄，通过K=KT c~}=Mo，%,・・・M〃_J
⑦深入画出模拟构造图,⑵当阶次较低时，n3,可直接由反应物理系统的A b矩阵求状态反馈增益矩阵K=Mo,%,・・・，不通过非奇异变换，使设计工作简朴
①首N先判断与否完全能控，是，则存在状态观测器
②加入状态反馈增益矩阵K=M°,占，得到闭环系统K=A+bK/,c状态空间体现式，求出对应的闭环特性多项式/X=|；l/—A+〃K|
③由给定的期望极点，求出期望的闭环特性多项式/*4=％—4*
④将/㈤与/*㈤比较，即可得到K=£,%,・・・,
⑤深入画出模拟构造图注意，假如给定的是传递函数，则先画出其规定的模拟构造图，写出状态空间描述，然后做其他工作
2.采用输出反馈不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点
3.采用从输出到文的反馈对系统X=A4任意配置极点的充要条件是X完全能观设计Z从输出到文的反馈阵G的问题就是其对偶系统E设计状态反馈阵K的问题o o措施I能观原则型法，适合于3
①首先判断与否完全能观，是，则存在输出反馈G
②通过线性变换x=7；2M化为能观原则2型，得到手二瓦瓦
③加入输出反馈增益矩阵G=[瓦，访，♦・•，匹,得到闭环系统EG=彳+至口瓦亍状态空间体现式，求出对应的闭环特性多项式/4=|几/—无+3亍|
④由给定的期望极点，求出期望的闭环特性多项式/72=n2-2/o
⑤将/㈤与/*%比较，即可得到]=[瓦，否，・・•，瓦if
⑥把对应与手的G,通过6=7^3=[g0，gi，…，g-J
⑦深入画出模拟构造图⑵当阶次较低时，〃3,可直接由反应物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵G=[go，gi，・・・，g〃_J，不通过非奇异变换，使设计工作简朴
①首先判断与否完全能观，是，则存在输出反馈G
②加入从输出到、的反馈增益矩阵6=[0，g],・・・，8〃_]],得到闭E环系统G=A+Gc,c状态空间体现式，求出对应的闭环特性多项式/X=|4/—A+Gc|
③由给定的期望极点，求出期望的闭环特性多项式/*%=4—4*
④将/㈤与/*%比较，即可得到6=H0,8,・・・，g〃_J
⑤深入画出模拟构造图五.状态观测器作用闭环极点的任意配置、系统解藕以及最优控制系统都离不开状态反馈但状态变量并不是都能直接检测，有些主线无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题龙伯格提出的状态观测器理论，处理的状态重构问题，使状态反馈成为一种可实现的控制律
1.定义动态系统£以2的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量戈迫近于X,即lim|x—戈|=0,则称£为2的一种状态观测器构造原则必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；£的输出尤应以足够快的速度渐近于x；£在构造上尽量简朴具有尽量低的维数，以便于物理实现
2.等价性指标「x=Ax+Bu原系统z（）y=exx-Ax+Bu只要系统是稳定的，即A的特性值具有负实部，就可做到充与X是稳态等价的y=exx-x=A（x一x）得到x-x=
3.重构状态方程原因
①系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断与否有戈迫近于X;
②不一定能保证A的特性值均具有负实部克服这个困难，用对输出量的差值y—£的测量替代对状态误差x—2的测量，当lim|x-S|=0,有r—c©lim||cx—戌|=lim|cx-3|=0同步，引入反馈阵G,使系统的特性值具有负实部/-co/—00状态重构方框图为p
2135.16a规定纯熟记忆，这种状态观测器称为渐近观测器-i=Ax+Bu+Gy-y=A-GCx+Gy+Bu，令-”f状态观测器方程为记为Z=A—GC,民G这里的G称为输出误差反馈矩阵可以证明，假如A—GC的特性值具有负实部，那么状态误差x—C将逐渐衰减到0,即估计状态尤迫近于实际的状态x迫近的速度取决于G的选择，即A—GC的特性值的配置
4.观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的°观测器存在的充要条件是Z不能观子系统是渐近稳定的o六.运用状态观测器实现实状况态反馈的系统带观测器的状态反馈闭环系统
1.系统的构造与状态空间体现构造框图要非常熟悉221图
5.21P前提受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以任意极点配置…X-Ax+Bu受控系统=4氏*1式y=ex“一V/40八n、Ax+Bu+Gy-y=A-GCx+Gy+Bu_状态观测器E G=A-G，氏G7大2式D八一Ay=Cx反馈控制率〃=V+Kx*3式x=Ax+BKx+Bv整顿得整个闭环系统的状态空间体现式i=GCx+A-GCx+Gy+Bv也可写成矩阵形式y=Cx显然，这是一种2n维的闭环控制系统
2.闭环系统的基本性质。
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