2025年核心考点梳理与高频真题解析攻略

【课标规定】集合的含义与表达

1.（）通过实例，理解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；1（）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不一样的详细问题，感2受集合语言的意义和作用；集合间的基本关系

2.（）理解集合之间包括与相等的含义，能识别给定集合的子集；1（）在详细情境中，理解全集与空集的含义；2集合的基本运算

3.（）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简朴集合的并集与交集；1（）理解在给定集合中一种子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2（）能使用图体现集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用3Venn c【命题走向】有关集合的高考试题，考察重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考察，并向无限集发展，考察抽象思维能力，在处理这些问题时，要注意运用几何的直观性，注意运用图解题措施的训练，注意运用特殊值法解题，加强集合表达措施的转换Venn和化简的训练考试形式多以一道选择题为主预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的体现之中，相对独立详细三.【要点精讲】集合某些指定的对象集在一起成为集合

1.（）集合中的对象称元素，若是集合人的元素，记作若不是集合力的元素，记作力任1b；4（）集合中的元素必须满足确定性、互异性与无序性；2确定性设人是一种给定的集合，是某一种详细对象，则或者是人的元素，或者不是人x的元素，两种状况必有一种且只有一种成立；互异性一种给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相似的个体（对象），因此，同一集合中不应反复出现同一元素；无序性集合中不一样的元素之间没有地位差异，集合不一样于元素的排列次序无关；（）表达一种集合可用列举法、描述法或图示法；3列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内详细措施在大括号内先写上表达这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特性注意列举法与描述法各有长处，应当根据详细问题确定采用哪种表达法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不适宜采用列举法（）常用数集及其记法4非负整数集（或自然数集），记作N;正整数集，记作或N*N+;整数集，记作Z;有理数集，记作Q;实数集，记作R集合的包括关系

2.（）集合人的任何一种元素都是集合B的元素，则称八是的子集（或B包括1833/.M-{m m——}设全集={m\A0}={m\m——}|-2Um的取值范围是.e.CuM={m|m-2}.（解法二）命题o方程的小根一r=1-V-2m-30n J—2—31n—2m—31=/—

2.解法三设/x=，—2x+4,这是开口向上的抛物线，・.•其对称粘lx=l0,则二次函数性质知命题又等价于加70v0=v-2,注意，在解法三中，的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这样简朴/X已知两个正整数集合八二{血II130},B={a2，，，其中,“2aj}4234}若〃〃且+，且的所有元素之和是求集合、AcB={|,4},44=1AuB124,A B.分析命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质处理，注意“正整数”这个条件的运用，2222〃〃，•/1W]23〃4，_.a\〃2〃3〃4％，只可能有]=A nB={Q},n%=1,而q+a=10,「・%=9,・二w%，4⑴若=%,则，2=3,Au3={1,3,%932,81},/.%+蜡+94=124=%=5;若，则同样可得的〉与条件矛盾,不合；2=%3=3,=5”3,综上,A={135,9},8={1,9,25,81}.Ill设集合A={x9yly2=X+1}9B={羽y I4x2+2x-2y+5=0,kx+问是否存在自然数左/，使C={^yly=b},AuBnC=0,试证明你的结论.分析对的理解，并转化为具体的数学问题.AD3CC=0要使必须且AuBcC=AcCu3cC=0,AcC=03cC=0,由=%+121y+2^-i%+/-1=0,[y=kx+b当时，方程有解〃不合题意；k=0x=2—1,2当时由〃一0得b4kZ w0△1=2%12—4Z2s2—D+1

①4k工厂八〜42+2x—2y+5=0又由二kx2b—kx+b由二k24x~+21—+5—0,y=4241-2b得b-165—20—D

②,I20由

①、

②得bk+而—,4k—1,8为自然数，，代入

①、

②得k=lb=2,点评这是一组有关集合的“交、并”的常规问题，处理这些问题的关键是精确理解问题条件的详细的数学内容，才能由此寻求处理的措施题型课标创新题6例.七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在13正中间的位置，则有多少不一样的排法？解设集合｛甲站在最左端的位置｝,A=二｛甲站在最右端的位置｝,BL｛乙站在正中间的位置｝,二｛丙站在正中间的位置｝,D则集合

八、、C、的关系如图所示，8•・・不一样的排法有A；-4A+4A；=2640种.点评这是一道排列应用问题，假如直接分类、分步解答需要一定的基本功，轻易错，若考虑运用集合思想解答，则比较轻易理解上面的例子阐明了集合思想的某些应用，在此后的学习中应注意总结集合应用的经验例4是由定义在上且满足如下条件的函数构成的集合

①对任意

14.[2,4]0x均有；

②存在常数使得对任意的xe[l,2],02%£1,2LOL1,x px2e[1,2],均有|p2x1-p2x2\L\X X-X2\设证明p{x}A10x=#1+x,x£[2,4],e设假如存在加使得飞二夕那么这样的％°是唯一的;2£1,2,2/,3设QX£A,任取々，1,2,令/+1=°2%〃,〃=1,2,・・・，证明:给定正整数k,对任j k+T意的正整数成立不等式|p,4+/—4|——|x-Xj|Ho21—Z/解对任意《有，退为因x e[1,2],°2x=Vl+2x,xe[1,2],V3°2x12,此夕2X£1,2对任意的为,e口，122],2以玉-玉―々1/—一I2*21=1I/z wZ—\2+\ll[1+22+2x1+x+^/l+x22一々+々，3#1+2%2+[1+21+#1+22因此i——一2W，30々+.1+2x J-+.1+

2.1+[1+.232令//—=L,2玉々+yi+2+yi+2X]yq+XOL1,|夕21i一p2x\L\X-X I2{2因此夕％Ae反证法:设存在两个x,XQ G1,2,而w XQ使得x0=02x,X；=P2XQ则由|cpQx\L\x-xj|,-02x/0得|与/区因此矛盾，故结论成立-x L|/—4/|,|々-p2x|，x3-x|=2£|X2-%2x因此%+]_%-1r x-x21LK~]-X]O~T^L＜尸_玉+上〃-昆_玉…十昆―七+P-2k2131+1—Xk+p点~评Xk+p-函\数+X的k+概p-\念~是Xk在+p集-2合■理Xk论+\上~发Xk展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新奇口五.【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言体现数学问题，运用集合观点去研究和处理数学问题学习集合的基础能力是精确描述集合中的元素，纯熟运用集合的多种符号，如

1.£、任、U、、=、C.A,G等等;U,强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意运用几何

2.直观性研究问题，注意运用图解题措施的训练，加强两种集合表达措施转换和化简训练；Venn处理集合有关问题的关键是精确理解集合所描述的详细内容即读懂问题中的集合以及各个集合之间的关系，常常根据图来加深对集合的理解，一种集合能化简或求解，一般应考“Venn虑先化简或求解；确定集合的“包括关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，处理问题

3.时应根据问题所波及的详细的数学内容来寻求措施

①区别£与呈、呈与之、与⑹、巾与｛6｝、｛｝与｛｝；1,21,2

②时，有两种状况与A A=@AW6c

③若集合人中有〃个元素，则集合人的所有不一样的子集个数为〃，所有真子集的n£N2个数是〃一所有非空真子集的个数是〃21,2-2

④辨别集合中元素的形式:B=｛y\y=x1+2x+\｝\C｛y｝；=x,|y=x+2x+1D=｛x\x=x1｝+2x4-1;E｛2｝=x,j|=x+2x+1,x eZ,y eZ;F=｛x,y\y=x2+2x+l｝；G=｛z\y=x2+2x+l,z=—｝ox

⑤空集是指不含任何元素的集合｛｝、和｛｝的区别；与三者间的关系空集是0任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为在讨论的时候不要遗忘了=的状况Ac A

⑥符号“史”是表达元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线面的关系；符号是表达集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线面的关系“0,2”逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺乏的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力记作或；A,Au3集合相等构成两个集合的元素完全同样若且卫则称X等于B,记作A=B；若且4=884则称八是的真子集，记作B；笑AW8,B A简朴性质D若B则；若集合是个元素的集合，则集合214=42=43cC,A=C4A n人有个子集其中”一个真子集；全集与补集2n

13.包括了我们所要研究的各个集合的所有元素的集合称为全集，记作；1U若是一种集合，八则，且仁川称中子集人的补集；2S nS,Cs={x|x£S xS简朴性质CC=A；

①，

①二312gs=Cs SSS交集与并集

4.一般地，由属于集合且属于集合B的元素所构成的集合，叫做集合与的1A A8交集交集且AcB={x|x£A x£8}一般地，由所有属于集合或属于集合的元素所构成的集合，称为集合与2A8A8的并集A^x B}co B={x|x ee注意求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算成果仍然还是集合，辨别交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言体现，增强数形结合的思想措施Venn集合的简朴性质

5.1==2AuCE=AAu3=3uA;3AnBcAuB;；4A=B=A;A=5BC CAC CA5AGB=U CB,Z\UB=AQ8Ss Ss SUi题型集合的概念1湖南卷理某班共人，其中人爱慕篮球运动，人爱慕兵乓球运动，人对这两项3015108运动都不爱慕，则爱慕篮球运动但不爱慕乒乓球运动的人数为12答案12解析设两者都喜欢的人数为工人，则只爱慕篮球的有人，只爱慕乒乓球的有15-x由此可得解得因此10-xA,15—x+10—x+x+8=30,x=3,15—x=12,即所求人数为人12例已知全集集合{乂—和

1.=H,M=2«x—12}左一左=}的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示的N={x|x=21,1,2,Venn1集合的元素共有A.3个B.2个C.1个D.无穷多种答案B解析由河={闻一得一则有个，选2%—1W2}lx3,McN={l,3},2B.例集合〃若则〃的值为

2.A={0,2,},5={1,4},A5={0,12416},A.0B.1C.2D.4答案D解析〃〃故选•••A={0,2,a},5={1,},AUB={0,l,2,4,16}=4,D.【命题立意】本题考察了集合的并集运算，并用观测法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于轻易题.题型集合的性质2例集合力，若则a的值为

3.A={0,2,B={1,4},AI5={0,1,2,4,16},A.0B.1C.2D.4答案D解析A={0,2,a],〃故选V5={1,4},AUB={0,l,2,4,16}=4,D.【命题立意】本题考察了集合的并集运算，并用观测法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于轻易题.随堂练习设全集门2则下图中阴影表达的集合为（）L U=R,A={x£N WxWlO},B={x£R|x+x—6=0},A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}已知集合|丫丫+@/+若AGBW6,则实数的取值范围为.

2.A={y2-1+0+110},B={y|y2-6y+8W0},a分析处理数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最终得到所规定的结论，但有时会碰到从正面不易入手的状况，这时可从背面去考虑.从背面考虑问题在集合中的运用重要就是运用补集思想.本题若直接求解，情形较复杂，也不轻易得到对的成果，若我们先考虑其背面，再求其补集，就比较轻易得到对的的解答.解由题知可解得或我们不妨先考虑当时的范围.如图A={y|ya2+l ya},B={y12WyW4},AnB=6aI»由,得____________________________S+124^24a^+1a2a或6a-V3〃••W--A/3VS WQ W

2.即时的范围为一正或g〈.而时的范围显然是其补集,从而所求AGB=a aW2ACBW6a范围为卜|或-百百}.2评注一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其背面，再运用其补集，求得其解，这就是“补集思想”.例

4.已知全集S={1,3/3一尤2—2，A={L|2X—1|}假如gA={0},则这样的实数工与否存在？若存在，求出若不存在，阐明理由x,c解・・・；CsA={0}A3-x2-2x解得%=,々=一，％0e5M0,BP%=0,13=2当=时，为人中元素；x|2x—1|=1,当时，x=—1|2x—1=3eS当尤=2时，|2x—1|=3ES・••这样的实数x存在，是x=—1或x=2另法・・・CsA={0}・・且•0e S0eA,3e A且•e•--2x—012x-1|—3或%=-1x=2点评该题考察了集合间的关系以及集合的性质分类讨论的过程中“当时，x=0|2x-1|不能满足集合中元素的互异性此题的关键是理解符号{}是两层含义且=1”CsA=0£50e4变式题已知集合A={m,m+d,m+2d},B-{m,mcf,mq12},其中且求的值zwO,A=B,9解由可知，A=3[m+d=mq m+d=mq2，或1\21[m+2d=mqJ[m+2d=mq解得1q=l,解得夕=或，21,q=—5又由于当时，m=ivq=mq与题意不符，9=11x+「例已知函数-------------的定义域集合是函数gx=2-2a+lx+a2+a]的5/x=J A,lg[x\x-2定义域集合是B求集合、1A B若二求实数的取值范围..2A ABB,解⑴或A=x2}卜|工〃或¥々+B=1}_[d_1由人口得人=因此《28=88,\a+l2因此—,因此实数a的取值范围是1—1,1]例已知集合则CB=

6.4={1,3,5,7,9},3={0,3,6,9/2},41N因此，q——o2题型集合的运算3A.{1,5,7}B.{3,5,7}c.{1,3,9}D.{1,2,3}答案A解析易有广选A Cv3={l,5,7},A点评该题考察了集合的交、补运算题型图解法解集合问题4例（广西北海九中训练）已知集合N=+=1），则

7.M=jx|=11,{^l|2（）MDN=A.0（）（）B.{3,0,2,0}C.[-3,3]D.{392}答案C例设全集函数〃的定义域为集合

8.

1.U=R,/x=lg|x+l|+—lavl A,B={X\COS7UC=1},若CAcB恰好有2个元素，求a的取值集合解|x+l|+l—cz0x+111—a时，l-aQ，x-d^bca-2**•A.—一aoo,—2u-a,+oo玄—\.m—2k7i,x=2kkcos GZ/.B={x\x=2k,k z}e当〃时，2-a］在此区间上恰有个偶数a\1CuA=m—2a-a2=^-2tz0一—42W—

2、A={a^为}左其中,k,由中的元素构成两个对应的集合22,q£Zi=l,2,Ab\a A,a+be b\a be A,a-be.其中S={a,e A A},7={a,eA

①，力是有序数对，集合s和7中的元素个数分别为小和〃.若对于任意的〃EA,总有一〃金则称集合具有性质P.A,A（）对任何具有性质的集合证明〃组二；I PA,W D2（）判断加和〃的大小关系，并证明你的结论.II解（）证明首先，由中元素构成的有序数对（《，勺）共有上个.I A2由于因此（）（,k）；O^A,q,q eTi=L2,又由于当时，一时，一因此当（四,T时,QEA QEA,e（町a”T（i,,k）.J=12从而，集合T中元素的个数最多为一（％—%）=kd）,222即n-----------.2（）解m=n,证明如下II（）对于（，）根据定义，a^A,b^A,且〃从而1b£S,+/£A,（a+b,b）cT.假如（b）与（c,）是的不一样元素，那么与〃中至少有一种不成立，从a dS=c=4而与中也至少有一种不成立.a+Z=c+d=d故（b）与（）也是T的不一样元素.a+b,c+d,d可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即〃，S7mW（）对于（根据定义，R a-b^A,从而2a,6Z eA,Z eA,（a-b,）.假如（）与（）是的不一样元素，那么=与/=中至少有一种不/£S a,b c,d7c d成立，从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一种不成立，故（一/,b）与（c-d,）也是S的不一样元素.d可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即〃由（）（）可知，m-n.7S Wm,12例向名学生调查对、B两事件的态度，有如下成果赞成的人数是全体的五分之

9.50AA三，其他的不赞成，赞成的比赞成的多人，其他的不赞成；此外，对、B都不赞成的学B A34生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人问对、都赞成的学生和都不赞成的学生A31A B各有多少人？3解赞成的人数为赞成的人数为A50X2=30,3如上图，记名学生构成的集合为U,赞成事件30+3=33,50A的学生全体为集合赞成事件的学生全体为集合43Bo设对事件、B都赞成的学生人数为％则对、BA A都不赞成的学生人数为土+赞成而不赞成B的人数为一居赞成B而不赞成的人1,A30A3数为依题意解得产因此对、都赞成的同学33—x30—x+33—x+x+±+l=50,21A B3有人，都不赞成的有人218点评在集合问题中，有某些常用的措施如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握本题重要强化学生的这种能力解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表达出来本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索画出韦恩图，形象地表达出各数量关系间的联络例求到这个数中既不是的倍数，又不是的倍数，也不是的倍数的自

10.1200200235然数共有多少个？解如图先画出图，不难看出不符合条Venn的数共有200+2+200+3+200+5-200^10-2004-6-2004-15+200^30=146因此，符合条件的数共有个200—146=54点评分析个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足200条件的这一类原则明确而简朴，可考虑用扣除法题型集合综合题72x—1例（上海，）设集合B={x\----------------若求实

11.199917Z={x||x—o|2},1},4=8,x+2—数的取值范围解由|得-因此八二｛一｝|x—2,2xa+2,x|2Vxo+2,2x-l x—3由----------1,得--------0,即一2x3,因此B={x|—2x3}x+2X+234一23—22由于因此《，于是AUB,OWaWl—a+23点评这是一道研究集合的包括关系与解不等式相结合的综合性题目重要考察集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本措施在解题过程中要注意运用不等式的解集在数轴上的表达措施.体现了数形结合的思想措施例已知｛斯｝是等差数列，为公差且不为⑶和均为实数，它的前〃项和记作

12.d0,d41〃，设集合A=｛即,—\n｝,B=｛2—y2=｝S£N*x,y|-x1Rn4至多有一种元素；2ACB当时，一定有3GiWO ACIBW0解对的；在等差数列⑷中，加地卢，则%厚+编,这表明点1S1V11斯,」•的坐标适合方程〃于是点卬，」■均在直线上y=—X+1,y=—x+—011xy=-H—Q[2对的；设x,y£AG8,则x,y中的坐标x,j应是方程组221的解，由方2-x-/=l14n n222试问下列结论与否对的，假如对的，请予以证明；假如不对的，请举例阐明若以集合中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；1A程组消去得〃y20x+]2=—4*,2-4-^j-4-a22a1}当时，方程*只有一种解产，此时,方程组也只有一解mWOQ12—42%46当时，方程*无解，止匕时；i=0AG8=0故上述方程组至多有一解・至多有一种元素,.A n8s不对的；取d=l,对一切的有a=Oi+n—ld=n0,这时集n3ai=l,x@N*,0,n合中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，此外，由于假如A k1W0,AnswA D2那么据⑵的结论，AHB中至多有一种元素优而一四二-0,9,X0=4V2a5{所卬+这样的低,%任产生矛盾，故尸时AQB=0因此0,=30,41,“1ai^O249时，一定有是不对的的0点评该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题变式题解答下述问题设集合一〃若，求实数的取值范围.I24={1|/2%+22+4=0},3={%|%0},,24cBw m分析关键是精确理解工的详细意义，首先要从数学意义上解释AcB0AcBw0的意义，然后才能提出处理问题的详细措施解命题o方程—至少有一个负实数根—2%+2m+4=0设知={加|关于%的方程两根均为非负实勤，^_2%+2m+4=0A=4-2m-303贝1+々h X]=20=-2m,2mXjX=+402。